高中数学苏教版第二章平面解析几何初步 第2章圆的方程

第2章平面解析几何初步圆与方程2.2.1圆的方程A组基础巩固1．圆心是O(－3，4)，半径长为5的圆的方程为()A．(x－3)2＋(y＋4)2＝5B．(x－3)2＋(y＋4)2＝25C．(x＋3)2＋(y－4)2＝5D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25解析：将O(－3，4)，r＝5代入圆的标准方程可得．答案：D2．以点(2，－1)为圆心，且与直线3x－4y＋5＝0相切的圆的标准方程为()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9解析：由已知，得圆的半径长r＝eq\f(|3×2＋4×1＋5|,\r(32＋（－4）2))＝eq\f(15,5)＝3，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.答案：C3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，eq\r(5)为半径的圆的方程为()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5D．(x－1)2＋(y－2)2＝5解析：直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＝0，,－x－y＋1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，))所以C(－1，2)，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.答案：C4．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形是()A．以(a，b)为圆心的圆B．以(－a，－b)为圆心的圆C．点(a，b)D．点(－a，－b)解析：配方，得(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，所以方程表示点(－a，－b)．答案：D5．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径长分别为()A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16解析：由x2＋y2＋4x－6y－3＝0，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，故圆心为(－2，3)，半径长为4.答案：C6．点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围为________．解析：由(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以2＋2a2所以a2<1.答案：(－1，1)7．若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围是________．解析：由题意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－1）2＋12－4m>0，,1＋（－1）2－1－1＋m>0，))解得0<m<eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))8．点P(a，10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是________．解析：eq\r(（a－1）2＋92)>eq\r(2)，即点P(a，10)在圆外．答案：在圆外9．点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2t,1＋t2)，\f(1－t2,1＋t2)))与圆x2＋y2＝1的位置关系是________．解析：将点P坐标代入得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2t,1＋t2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t2,1＋t2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4t2＋（1－t2）2,（1＋t2）2)＝eq\f(（1＋t2）2,（1＋t2）2)＝1，所以点P在圆上．答案：在圆上10．△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求其外接圆的方程．解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因圆过A，B，C三点，故得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－D＋5E＋F＋26＝0，,－2D－2E＋F＋8＝0，,5D＋5E＋F＋50＝0.))解得D＝－4，E＝－2，F＝－20，所以△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.B级能力提升11．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是()A．m<eq\f(1,2) B．m<0C．m>eq\f(1,2) D．m≤eq\f(1,2)解析：由D2＋E2－4F>0得(－1)2＋12－4m>0，即m<eq\f(1,2).答案：A12．圆x2＋y2－2x－1＝0关于直线2x－y＋3＝0对称的圆的方程为()A．(x＋3)2＋(y－2)2＝eq\f(1,2)B．(x－3)2＋(y＋2)2＝eq\f(1,2)C．(x＋3)2＋(y－2)2＝2D．(x－3)2＋(y＋2)2＝2解析：由x2＋y2－2x－1＝0，得(x－1)2＋y2＝2，则圆心为(1，0)，半径长r＝eq\r(2).设圆心(1，0)关于直线2x－y＋3＝0的对称点为P′(x1，y1)，则由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y1,x1－1)＝－\f(1,2)，,2×\f(1＋x1,2)－\f(y1,2)＋3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－3，,y1＝2.))故x2＋y2－2x－1＝0关于直线2x－y＋3＝0对称的圆的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝2.答案：C13．设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是________．解析：设P(x，y)是轨迹上任一点，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1，0)，则|PA|2＋1＝|PB|2，所以(x－1)2＋y2＝2.答案：(x－1)2＋y2＝214．已知点M与两个定点A(1，0)，B(3，2)的距离的比值为eq\f(1,3)，求点M的轨迹．解：在给定的坐标系中，设M(x，y)是满足条件的任意一点，则eq\f(MA,MB)＝eq\f(1,3).由两点间的距离公式，得eq\f(\r(（x－1）2＋y2),\r(（x－3）2＋（y－2）2))＝eq\f(1,3).两边平方并化简，得x2＋y2－eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2)y－eq\f(1,2)＝0，配方得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,8).所以所求轨迹是圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，－\f(1,4)))，半径为eq\f(3\r(2),4)的圆．15．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为________．解析：因为所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2，0)关于原点(0，0)对称，所以所求圆的圆心为(2，0)，半径为eq\r(5)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.答案：(x－2)2＋y2＝516．已知圆：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，解：将原点坐标(0，0)代入圆的方程，得2m2－6m＋4＝0，即m2－3m＋2＝0，解得m当m＝1时，原方程为x2＋y2＝0，不表示圆，故舍去．当m＝2时，原方程为x2＋y2－2x＋2y＝0表示圆，故所求的实数m的值为2.17.如图所示，已知点A(0，2)和圆C：(x－6)2＋(y－4)2＝8，M和P分别是x轴和圆C上的动点，求|AM|＋|MP|的最小值．解：如图所示，先作点A关于x轴的对称点A′(0，－2)，连接A′和圆心