22版新教材高中数学A版必修第一册练习-第二章 一元二次函数、方程和不等式 复习提升

易错点

本章复提升易混易错练多次利用不等式性质,致所求代数式范围大1.(

)已知-4≤a-c≤-1,-1≤4a-c≤5,求9a-c取值范围.2.(2021山西朔州仁一中高一上月考,)已知-1<a+b<3且2<a-b<4,求2a+3b的取值范围.易错点

忽略基本不等式应用条件而致错3.(2019安徽宿州中,A.无最大值,有最小8B.无最大值,有最小-4C.有最大值8,有最值-4D.有最大值-4,无最值

)若x<0,则x++2)x

21B.-a≤C.a≥D.a≤-或a≥𝑎21B.-a≤C.a≥D.a≤-或a≥𝑎4.(2021安徽蚌埠三中学高一上检测,

)x>0时,下列函数的最小值为2的是()A.y=x(2√-x)B.y=

x

1x

C.y=x2+

4x

-1D.y=√x

2+

1x5.(2019湖南岳阳末,为.

)若a>0,b>0,且a+2b-4=0,则ab的大值为,+的最小ab易错点

忽略二次项系数符号而致错6.(2019湖南三湘校联盟期中,)若∀x∈R,2

-3x+≥0恒成立,则实数a取值范围是()A.a≤

33337.()设+n>0,则关于x不等式(-x)(+)>0的解集是()A.{x|<-n或x>}B.{xn<<m}C.{x|<-m或x>}D.{xm<<n}8.(2021黑龙大庆中学高一上期中,()A.2B.4C.6D.8

)已知集合={x∈Z|-2++2>0},则集合A的子集数为9.()若关于x的不等式2

-6x+2

>0的解集为{|m<<1},则=,=

.易错点

在分式不等式中略分母不等于0而错10.(2021东汕头金山中学高三上中,

)已知集合={

4

≤B={0,1,2,4,8},则∩B=()A.{1,2,4,8}

B.{0,1,2}C.{1,2}D.{0,1,2,4}11.(2021江精诚联盟高一上10月联考,

)不等式

≤1的解集是()A.{x|-1<≤1}B.{x|≥1}C.{|x或>1}D.{|x或x≥1}12.()解不等式:≤0.

11思想方法练一、函数与方程想在解不等式中的应1.(2021浙江台州实验中学高一上月考,)关于x不等式x

-mxm+2>0对2≤x≤4恒立,则m取值范围为

.2.(2021山西原师院附中、师苑中学一上月考,

)若不等式ax+bxc>0的解集是{𝑥<-2或𝑥>-},则等式2

-bxc<0的解集是

.二、分类讨论思在解不等式中的应用3.(

)解关于x不等式21x2

+4ax-2

<0.4.(2021吉林春东北师范大学附属中高一上段考,)已知∈R,求关于x不等式ax-(a+1)x+>0的解集.三、数形结合思在“三个二次”问题的应用5.(

)当x∈{|1≤x≤5}时不等式2

+ax-2>0有解,则实数a的取值范围

.6.(

)已知关于x方程x-2x+=0.当a何值时,(1)方程的一个根大1,另一个根小于1?(2)方程的一个根大-1且小于1,另一个根大于2且小于3?(3)方程的两个根都于0?

7.()已知不等式2--1<0.(1)当∈R时不等式恒成立,求实数m取值范围;(2)当∈{x|1≤≤3}时不等式恒成立,求实数m取值范围.四、转化与化归思想在等式问题中的应用8.(2020重部分地区高一下期末联考范围是()A.{m|<6}B.{|m≤6}C.{m|≥6}D.{|m>6}

)当>0时,不式2-mx恒成立,则实数取值9.(2020北师附中高二期中,

)设函数=x++n,已知等式y<0的集为{x|1<x<4}.(1)求mn值;(2)若≥ax任意x>0恒成,求a的取值范围.

令{8520885𝑥-𝑦=,55155113令{8520885𝑥-𝑦=,55155113+2≤(-6)+2=-4,∴+立,∴++2=-(-)答全全易混易错练1.解

𝑎-𝑐=𝑥,4𝑎-𝑐=𝑦,

得{

𝑎=𝑐=

1313

(𝑦-𝑥),(𝑦-4),∴9a-=y-x.3∵-4≤≤-1,∴x≤①.3∵-1≤≤5,∴-≤y≤②.33①和②相加,得-1≤-≤20,33∴-1≤9-c≤20.2.解

设2a+3=xa+)+y(-b)=(+y)+(x-),𝑥+𝑦=,则{解得{

𝑥=2𝑦=-

,12

,∴2a+3=a+)--b)22∵-1<+b<3,2<-<4,∴-+b)<,-2<--b)<-1,a+3<-1,2222即-a+3<.22易错警示利用几个代数式的范围求某个代数式的范围时,不可多次运用不等式相加,否则易扩大范围.3.D

若x<0,则x>0,∴(-)+≥2√(-)·=6,当且仅当-x=,即x=-3时号成-𝑥--𝑥

+2有最大值-4,没有最小值故选D.易错警示本题易因忽视基本不等式的用前提而错选A.利用基本不等式求最值注意的问题:(1)使用基本不等式求最值,其失误的正原因是对其前提“一正、二定、三相”的忽视要利用基本不等式求值,这三个条件缺一不可;(2)在运用基本不等式时,要特注意“拆”“拼”“凑等技巧,使满足基本不等式中“一、二定、三相等”的条件.4.B

对于选项A,当>2时,2√-x<0,此时y<0,不符合意;

2111211𝑎2𝑏1212𝑎2𝑏1,当且仅当=b等号成立,∴+的最值为.)2111211𝑎2𝑏1212𝑎2𝑏1,当且仅当=b等号成立,∴+的最值为.)2√×2233对于选项B,当>0时,可得=

𝑥

1𝑥

=x√×=2,𝑥𝑥当且仅当=,x=1时,等号成立,∴y=𝑥

𝑥

1𝑥

的最小值为2,符合题意;对于选项C,=x+

42

-1=x

+2+

42

-3≥2√𝑥

2)

42

-3=1,当且仅当2

+2=

𝑥

42

,即x=0等号成立,不符合题意对于选项D,=√2

2+

𝑥

12

≥2×√2

2

𝑥

12

=2,当且仅当√2

=

𝑥

12

,即√2

2=1时取号,又√2

=1时x存在,∴等号不成立,∴的最小值不是2,不符题意.5.答2;4解析∵>0,b且ab-4=0,∴+2b=4,∴=a·2≤(222

)

2

=2,当且仅当=2b,即a=2,=1时等号成立,∴ab最大值为2∵()·=(5𝑎𝑏𝑎𝑏44

2𝑏𝑎

2𝑎𝑏

)≥×(542𝑏2𝑎2𝑎𝑏3𝑎𝑏4易错警示利用基本不等式求最值时,在保证各项均为正数的况下,必须考虑两项和或两项积为定值,本题易忽视项和为定值的条件.6.C

当a=0时原不等式化为-3≥0,不恒成立,不符合意;当>0,由对应二次函数的性质知,要使2

-3+a≥0恒成,只需满足{

𝑎,𝛥=(-)-4𝑎

≤,解得≥2当a<0时由对应二次函数的图及性质可知,不符合题意.综上可得,取值范围是≥27.B

原不等式可化为(-m)(+)<0.由m+>0知m>-,所以原不等式的解集为x|-<<m.故选B.8.B

由-x

+x+2>0得x

-x-2<0,即x+1)(-2)<0,解得-1<x∴A={∈Z|-x

+x+2>0}={0,1},它有2

2

=4个子集故选B.易错警示解一元二次不等式时首先要二次项系数化为正数.

6解得{或{𝑎-,𝑚=-6解得{或{𝑎-,𝑚=-.由≤0,得{≤1,即-1≤0,所以≤0,所以{9.答-3;-3解析由题意知,a≠0,且m是于x的方程ax

-6x+2

=0的两个根,∴{

1𝑚=,𝑎1𝑚=𝑎,

𝑎=-,𝑎2,𝑚=-3𝑚=.易知<0,∴{10.B

(𝑥+)(𝑥-),𝑥4𝑥-4≠,

解得-2≤x<4,所以合A={|-2≤x.又B={0,1,2,4,8},所以A∩={0,1,2}.故选B.11.D

不等式

-𝑥(-𝑥)(𝑥)0,𝑥1≠,

解得x≥1或x<-1,所以原不等式的解集为x|<-1或x≥1}故选D.12.解

𝑎𝑥

≤0⇔ax(+1)≤0且+1≠0.当a>0时axx+1)≤0且x+1≠0(x+1)≤0且x≠0⇔x≤0,此时原不等式的解集为x|-1<≤0};当a=0时原不等式的解集为{|x≠-1};当a<0时axx+1)≤0且x+1≠0(x+1)≥0且x≠0⇔<-1或≥0,此时原不等式的解集为x|<-1或x≥0}综上可知,当a>0时原不等式的解集为|-1<x≤0};当a,原不等式的解集为xx≠-1};a<0时,原不等式的解集为x|<-1或≥0}.易错警示把含等号的分式不等式化为式不等式后,切记不要忽略原分母不等于零这一条件.思想方法练1.答{m|2-23<m<2+23}解析设函数=x

-mxm+2,其图的对称轴为直线=,设出不等式对应的函数考虑函数图象的点,应用函数与方程思想①当≤-2,即≤-4时,(-2)2

-m×(-2)+m+2>0,根据函数图象列出相应系式.

𝑚𝑚1=---,)=1𝑐5251𝑚𝑚1=---,)=1𝑐5251解得>-2,又∵≤-4,∴无解;②当-2<<4,即-4<<8时,2Δ=(-)2-4(m+2)<0,根据函数图象特点得到对应方程根的情,列出相应关系式.解得2-2√<m<2+23,又∵-4<<8,∴2-2√3<<2+2√3;③当≥4,即≥8时,24

2

-mm+2>0,根据函数图象列出相应系式.解得<6,又∵≥8,∴无解.综上所述,取值范围为{|2-2√3<<2+2√3}.2.答

{

12

<𝑥<2}解析由题意,可得x=-2x=-方程ax2

+bxc=0的两个实数根,且a>0,由不等式的解集得到相方程的根,应用函数与方程思想.所以{

1𝑏2𝑎-×(2𝑎

,

解得{

𝑏=𝑎,𝑐=𝑎,通过根与系数的关系求参数之间的关系式.则不等式ax2

-bxc<0可化为2

-ax+<0,即2ax2

-5ax+2a<0,因为>0,所以不等式等价于x

-5x+2=(-2)(2-1)<0,解得<x<2,即不等式22

-bxc<0的解集为{

12

<𝑥<2}.思想方法函数与方程思想在本章中的现:(1)利用函数图象讨方程解的个数及分布情,讨论不等式的解的情况;(2)利用函数解决代中有关取值范围的问题以及函数在实际中的用;(3)利用方程解决与数有关的问题.

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎1111111111𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎1111111111函数、方程、不等式三密不可分,很多不等式问题都可以从函数角度进行求解,如yay关于x函数,a为参数)恒成立等价于y>a.min3.解

原不等式等价于(+)(-)<037

.由于对应方程两根的大不确定,所以需对两根大小进行分类讨.①当>0时,原不等式的解集为{|-<𝑥<};7②当<0时,原不等式的解集为{<𝑥<-};773③当=0时,原不等式的解集⌀.综上可知,当>0时,原不等式的解集{|-

<𝑥<};a<0时,原不等式的解集为37{|<𝑥<-};a=0时,原不等式的解集为⌀.74.解

3对不等式的二次项系数不是0进行讨论.(1)当=0时,原不等式可化为x>0,解得<0.(2)当>0时,原不等式可化为-

1𝑎

)xa)>0,要得到原不等式的解集需对对应方程两a的大小进行分类讨论.𝑎①当0<<1时,a,不等式的解集为{>或𝑥<𝑎};𝑎𝑎②当=1时,原不等式可化为x-1)>0,其解集为{x|≠1};③当>1时,,原不等式的解集为xx>ax.𝑎𝑎(3)当<0时,原不等式可化为-)𝑎

x

a)<0,要得到原不等式的解集需对对应方程两a的大小进行分类讨论.𝑎①当-1<<0时,<a,原等式的解集为{<𝑥<𝑎};𝑎𝑎②当=-1时,原不等式可化为x+1)

2

<0,其解集为⌀③当<-1时,a原不等式的解集为{𝑎<𝑥<𝑎𝑎综上,当=0时,解集为{|x<0};当0<<1时,解集为{𝑥>或𝑥<𝑎};𝑎当a=1时解集为{|x≠1};

}.当a>1时解集为{𝑥>𝑎或𝑥<

1𝑎

};

}}当-1<<0时,解集为{当a=-1,解集为⌀;

1𝑎

<𝑥<𝑎};当a<-1,解集为{𝑎<𝑥<

1𝑎

}.思想方法在本章中,分类讨论思想主要于解含参数的不等式,主要有以下几种情况:(1)二次项系数为参且没有给出具体范围时要分大于0,等于0,小于0三讨论;(2)对应方程的根无判断大小时,要分类讨论;(3)若判别式含参数则在确定解的情况时需Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况进行讨论.5.答

{𝑎|𝑎-

5解析由题知Δ=a+8>0,且-2<0,所以方程x+ax-2=0恒有一正一负两个根设y=2+ax-2,作出函数的大致图象如图所示作出二次函数的图象结合不等式得出参数满的条件.由图象知,不等式x

+-2>0在1≤≤5范围内有解的充要件是当x=5时,y即25+5-2>0,解得>-.56.解析(1)已知方程的一个根大于1,另一个根小于1,结合二次函数y=x

2

-2x+a的图象知,当x=1时,函数值小于0,即

2

-2+a<0,所以a<1.因此a的取值范围{a|a<1}.(2)由方程的一个根于-1且小于1,另一个根大于2且小于3,结合二次函y=x

2

-2x+a的图象知,x取-1,3时函数为正,x取1,2时函数值为负,+a>,即{

-2<,-4+a<,-6+a>,

解得-3<a<0.因此a的取值范围是{a|-3<a<0}.

-Δ=m+4m<,-Δ=m+4m<,即{(3)由方程的两个根大于零,结合二次函数y=x

2-2x+a的图象知,判别式不小于0,图象的对称轴Δ=-4a≥,在右侧,且当时,函数值为正,即{>,2a>,≤1}.

解得≤1.因此a取值范围是{a|0<a作出二次函数的图象结合根的分布情况得出数满足的条件.7.解析(1)①若m=0,则原不等式可化为-1<0,显然恒成立;②若m≠0,则不等mx

2

m<,-mx-1<0恒成立等价于{2

解得-4<m<0.综上可知,实数m的值范围是{m|-4<m≤0}.(2)①当m=0时,mx

2

-mx-1=-1<0,显然恒成立;②当m>0时,若对于x∈{x|1≤3},不等式恒成立,则由函数y=mx

2

-mx-1的图象开口向上,只需在x=1,x=3时函