高中数学北师大版第二章平面向量7向量应用举例 2023版第2章7向量应用举例

§7向量应用举例点到直线的距离公式向量的应用举例1．了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离．(重点)2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题．(难点)3．进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具．[基础·初探]教材整理向量应用举例阅读教材P101～P103，完成下列问题．1．点到直线的距离公式若M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为：d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).2．直线的法向量(1)定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．(2)公式：设直线l：Ax＋By＋C＝0，取其方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝(A，B)．3．向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)△ABC是直角三角形，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.()(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，则直线AB与CD平行．()(3)向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))的夹角与直线AB，CD的夹角相等或互补．()(4)直线y＝kx＋b的一个法向量是(k，－1)．()【解析】△ABC是直角三角形，若∠A＝90°，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))≠0，∴(1)×；两向量平行，对应的两直线可以是重合，∴(2)×；(3)(4)均正确．【答案】(1)×(2)×(3)√(4)√[小组合作型]向量在平面几何中的应用已知D是△ABC中AC边上一点，且AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD外接圆的切线．【自主解答】设△BCD外接圆的圆心为O，半径为R，如图所示，连接OB，OC，OD，取eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，eq\o(OD,\s\up6(→))＝d，则|b|＝|c|＝|d|，又由题意，知eq\o(\s\up12(︵),BDC)和eq\o(\s\up12(︵),BD)分别为120°和90°的弧．∴b·d＝0，b·c＝|b||c|cos120°＝－eq\f(1,2)R2.又∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝c＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＝c＋3(d－c)＝3d－2c，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝b－3d＋2C．∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(b－3d＋2c)·b＝R2＋2c·b＝R2－R2＝0，即eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，∴AB是⊙O的切线．1．解决此类问题，通常利用平面向量基本定理，将一些相关向量用选定的基底来表示，再利用运算法则，运算律以及一些重要性质进行运算，最后把结果还原为几何关系．2．本题是将切线问题转化为两向量的垂直关系．[再练一题]1．已知Rt△ABC，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n，若D为斜边AB的中点，(1)求证：CD＝eq\f(1,2)AB；(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示).【导学号：69992028】【解】以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(n，－m)．(1)证明：∵D为AB的中点，∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,2)，\f(m,2)))，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)eq\r(n2＋m2)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(m2＋n2)，∴|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|，即CD＝eq\f(1,2)AB.(2)∵E为CD的中点，∴Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，\f(m,4)))，设F(x,0)，则eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(x，－m)．∵A，E，F共线，∴eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AE,\s\up6(→))，解得(x，－m)＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,4)，－\f(3,4)m))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n,4)λ，,－m＝－\f(3,4)mλ，))即x＝eq\f(n,3)，即Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,3)，0))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,3)，－m))，∴|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)eq\r(n2＋9m2)，即AF＝eq\f(1,3)eq\r(n2＋9m2).向量在物理中的应用某人在静水中游泳，速度为4eq\r(3)km/h.(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4km/h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？【精彩点拨】解本题首先要根据题意作图，再把物理问题转化为向量的有关运算求解．【自主解答】(1)如图①，设人游泳的速度为eq\o(OB,\s\up6(→))，水流的速度为eq\o(OA,\s\up6(→))，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，根据勾股定理，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人实际沿与水速夹角60°的方向前进，速度大小为8km/h.(2)如图②，设此人的实际速度为eq\o(OB,\s\up6(→))，水流速度为eq\o(OA,\s\up6(→)).∵实际速度＝游速＋水速，故游速为eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，在Rt△AOB中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝4eq\r(2).∴cos∠BAO＝eq\f(\r(3),3)，故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为eq\f(\r(3),3)，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为4eq\r(2)km/h.1．用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．[再练一题]2．如图2­7­1所示，一架飞机从A地向北偏西60°方向飞行1000km到达B地，因大雾无法降落，故转向C地飞行，若C地在A地的南偏西60°方向，并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移．图2­7­1【解】法一：由题意得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1000，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2000，∠BAC＝60°，∴|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－2|eq\o(AC,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos60°＝20002＋10002－2×1000×2000×eq\f(1,2)＝3×106，∴|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1000eq\r(3)(km)，∠ABC＝90°.取AC的中点D，由|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up6(→))|且∠BAD＝60°，知eq\o(BD,\s\up6(→))为正南方向，有∠ABD＝60°，于是∠DBC＝30°.所以飞机从B地到C地的位移的大小为1000eq\r(3)km，方向为南偏西30°.法二：建立如图所示坐标系，并取a＝500，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2acos150°，2asin150°)＝(－eq\r(3)a，a)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4acos210°，4asin210°)＝(－2eq\r(3)a，－2a)，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)a，－3a)，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)a，即|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝1000eq\r(3)(km)．又cosC＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))·\o(BC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|·|\o(BC,\s\up6(→))|)＝eq\f(6a2＋6a2,4a×2\r(3)a)＝eq\f(\r(3),2)，∠C＝30°.结合图形可知eq\o(BC,\s\up6(→))的方向为南偏西30°，所以飞机从B地到C地的位移的大小为1000eq\r(3)km，方向为南偏西30°.[探究共研型]向量在解析几何中的应用探究1教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有d＝|eq\o(PM,\s\up6(→))·n0|?【提示】如图所示，过M作MN⊥l于N，则d＝|eq\o(NM,\s\up6(→))|.在Rt△MPN中，|eq\o(NM,\s\up6(→))|是eq\o(PM,\s\up6(→))在eq\o(NM,\s\up6(→))方向上的射影的绝对值，则eq\o(|NM,\s\up6(→))|＝||eq\o(PM,\s\up6(→))|cos∠PMN|＝||eq\o(PM,\s\up6(→))|×1×cos∠PMN|＝|eq\o(PM,\s\up6(→))|×|n0|×|cos∠PMN|＝|eq\o(PM,\s\up6(→))·n0|，∴d＝|eq\o(PM,\s\up6(→))·n0|.探究2你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？【提示】关键是把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算．已知圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，及点A(1,1)，M是⊙C上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(AN,\s\up6(→))，求点N的轨迹方程．【精彩点拨】要求点N的轨迹方程，需设出点N的坐标，然后利用已知条件，转化为向量关系，再利用代入法求解．【自主解答】设N(x，y)，M(x0，y0)，由eq\o(MA,\s\up6(→))＝2eq\o(AN,\s\up6(→))，得(1－x0,1－y0)＝2(x－1，y－1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x0＝2x－1，,1－y0＝2y－1.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝3－2x，,y0＝3－2y，))代入⊙C方程，得(3－2x－3)2＋(3－2y－3)2＝4，即x2＋y2＝1.∴点N的轨迹方程为x2＋y2＝1.向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一.解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质.[再练一题]3．已知过点A(0,2)，且方向向量为a＝(1，k)的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M，N两点，若O为坐标原点，且eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12，求k及直线l的方程．【解】设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由题意知，l的方程为y＝kx＋2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x－22＋y－32＝1，))得(1＋k2)x2－(4＋2k)x＋4＝0.由根与系数的关系得，x1＋x2＝eq\f(4＋2k,1＋k2)，x1x2＝eq\f(4,1＋k2).∵eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋y1y2＝12，y1＝kx1＋2，y2＝kx2＋2，∴x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝12，即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)－8＝0，∴(1＋k2)×eq\f(4,1＋k2)＋2k×eq\f(4＋2k,1＋k2)－8＝0，解得k＝eq\f(1,2)，∴直线l的方程为y＝eq\f(1,2)x＋2，即x－2y＋4＝0.1．一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为5eq\r(3)N，则两个力的合力的大小为()A．5N B．5eq\r(2)NC．5eq\r(3)N D．5eq\r(6)N【解析】根据向量的平行四边形法则，合力F的大小为eq\r(2)×5eq\r(3)＝5eq\r(6)(N)．【答案】D2．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则四边形ABCD是()A．梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形【解析】由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，得eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))平行且相等，从而四边形ABCD是矩形．【答案】C3．过点P(1，－1)且垂直于向量n＝(2，－1)的直线方程为.【导学号：66470059】【解析】所求直线的方向向量为m＝(1,2)，∴所求直线的斜率为k＝2，∴所求直线方程为y＋1＝2(x－1)，即2x－y－3＝0.【答案】2x－y－3＝04．已知点A(1,1)，M(x，y)，且A与M不重合，若向量eq\o(AM,\s\up6(→))