2021高考理数真题试卷(全国Ⅰ卷)带答案解析

222021高理真试（国）一、选题：本题共小题，小题分，共分。每小题出的四选项中，只一项是符合目要求的。共12题；共60分）已集合M=，

，M（）A.

B.

【答案】C【考点】交集及其运算【解析】【解答】∵

∴{M=，利用交集的运算法则借助数轴得：𝑁故答案为：【分析】由一元二次不等式求解集的方法求出集合N，由交集的运算法则借助数轴得集合.设数z满，在复平面内对应的点为，，则（）A.

B.(

【答案】C【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】设复数为𝑧𝑏），√,|∴√

复在复平面内对应的点(，，√∴

故答案为：【分析复数的加减运算法则求出复数再利用复数的部和虚部表示复数𝑧的，再利用复数的何意义表示出复数z在复平面内对应的点的轨迹方程。己a=log0.2，

，

,则（）A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a【答案】B【考点】指数函数单调性的应用，对数值大小的比较【解析答为数

中数为2，利增函数的性质，∴

因为函数中底数为2，又利增函数的性质，

因为函数中底数为0.2，利减函数的性质，

故答案为：【分析】利用指数函数和对数函数的单调性结合a,b,c与殊值的大小关系式，判断出a,b,c的小关系。

5151515151515151古腊吋期，人们认为最美人体的头顶至肚的长度与肚脐至足底的长度之比是

0.618，2称为黄金分割比例），著名的断维纳便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是

512

。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，顶至脖子下端的长度为26cm，其身高可能是（）A.165cm175cm185cmD.【答案】B【考点】等比数列的性质【解析解因头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是

512

0.618，为黄金分割2比例外头顶至咽喉的长与咽喉至肚脐的长度也是

512

，所以设咽喉到肚脐的长度为𝑥厘，肚脐到腰的长度为厘，依题意得：

26

𝑦105

0.618,2

26

所以身高为26

厘，所最接近的身高是175厘。故答案为：【分析】利用黄金比例的概念结合对应边成比例求出某人满足要求最接近的身高。函f(x)=

sincos

2

在，𝜋]。图像大致为（）2

B.6363B.B.6363B.A.B.D.【答案】【考点】函数的图象【解析】【解答】∵函数

sin𝑥𝑥cos

2

,利用奇函数的定义，得出函数f(x)为函数，排A

2

排，故答案为：【分析】利用函数的奇偶性和特殊的函数值排除错误的选项，从而选出正确的函数图象。我古代典籍《周易》用卦描万物的变化。每重”由下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——和阴“--"，下图就是一重卦。在所有重卦中随机取一重卦，则重卦恰有3个阳爻的概率是（）A.

5163232【答案】【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】设该重卦恰有个阳爻的事件为，根据题意，所有重卦的种数有2

种，满足该重卦恰有3个爻的情况有

种，利用古典概型求概率的公式该卦恰有个阳爻的概率为：𝑃(

66

516

。故答案为：【分析】利用实际问题的已知条件结合古典概型求概率的公式，从而求出该重卦恰有3个爻的概率。已非零向量，𝑏

满足||=2|

，且)，则与

的夹角为（）A.

25663

B.A=【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】设与𝑏

的夹角为

，

𝑏)𝑏,𝑏)|𝑎|𝑏|,𝑏)·𝑏·𝑏|𝑎|𝑏|𝑏|𝑏||𝑏|,𝑏||𝑏|°°∵θ为两向量的夹角，°°,

,【分析】利用向量垂直数量积为0的等价关系，用数量积公式结合已条件和两向量间夹角的取值范围求出与的角。下是求

2

1

12

的程序框图，图中空白框中应填入（）A.A=

𝐴𝐴𝐴𝐴【答案】【考点】循环结构4

,1,𝑘成立1𝑛n5nnnn451122221𝑥𝑥2222𝑥22𝑥2【解析】【,1,𝑘成立1𝑛n5nnnn451122221𝑥𝑥2222𝑥22𝑥2第一步

1122

12

.第二步：

2

1

12

,𝑘2立

12

2

12

1

12

.第三步：

2

12

1

12

,𝑘2成立环体，2

2

1

12

.因为输出的A的满题意输得的结果，所以判断框里应该填𝐴

12

.故答案为：【分析】利用已知条件结合程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构求出满足要求的结果，而确定判断框里所填的选项。记S为等差数列

的前n项。已知4

=0，=5，（）A.=2n-5a=3n-10=2n-8n

12

n-2n【答案】【考点】等差数列【解析】【解答】∵利用等差数列通项公式和等差数列前项和公式得，441

×3

41

51

41

①4②1联求:

𝑛1

𝑛𝑛1)22𝑛−故答案为：【分析利等差数列通项公式和等差数列前n项公式结合已知条件求出等差数列的首项和公差，从而求出等差数列的通项公式。10.已知椭圆C的焦点为（）F（1,0）过的线与交A，两点。|AF|=2|FB|，|AB|=|BF|，C的程为（）A.2B.+2

𝑦2

=1C.4

𝑦

=1D.+5

𝑦4

=1【答案】B【考点】椭圆的标准方程【解析】【解答】如图，5

𝜋𝜋,|1

对角B用两次余弦定理，得：

,得

所以双曲线的标准方程为：

=1故答案为：【分析双线和三角形的图象的位置关系，结合双曲线的定义，对角用两次余弦定理求出的值，从而求出双曲线的标准方程。11.关于函数f(x)=sin|x|+|sinx|有下述四个结:①f(x)是函数

②f(x)在间（，单递③f(x)在π，π]有4个点

④f(x)的大值为2其中所有正确结论的编号是（）A.①②④B.②④C.①④①【答案】C【考点】函数单调性的性质，函数奇偶性的性质，函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】∵函数，∴−所以函数为函数，对𝑥|

𝑥,∈[0,𝜋]𝑥,

,根分段函数𝑓(的象可知②③错对。6

所以,nn15【分析】根据偶函数的定义结合分段函数的图象找出正确的选项所以,nn1512.已知三棱锥的个顶点在球O的球面上PA=PB=PC∆ABC是边长为2的三角形，、，分别是PA，的点，∠，球的积为（）A.

B.

√

√

【答案】【考点】球内接多面体【解析】【解答】设𝑃则,在𝛥𝐴中，由中线定理得：

,利用勾股定理，得：

,求出

【分析用棱锥P-ABC的构特征结合三棱锥与球的位置关系，再利用中线定理和勾股定理求出球O的半径，再利用球的体积公式结合球的半径出球O的体积。二、填题:本题共4小题，每题5分，共20分。（共4题；共分）13.曲线y=3(x+x)e在(，处的切线方程为_______.【答案】y=3x【考点】导数的几何意义【解析】【解答】设曲线y=3(x+x)ex在点(，处切线方程为：因为曲线+x)e

′

,

′=所以曲线在的切线方程为【分析】利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率，再利用点斜式求出曲线2x处的切线方程。

在点，0)14.记S为比数列a的n项和。若

，

则S=________【答案】

【考点】等比数列7

115112233223232221115112233223232221【解析】【解答】∵

,3

4

2

,6

利用等比数列通项公式得，1

3

2

1

5

,1

2

6

1

5

，①11

13

，②联求:3,(11215−1【分析】利用等比数列通项公式和等比数列前项和公式结合已知条件

13

，求等比数列的公比，从而利用等比数列的首项和公比求出等比数列的前项和。15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结)。据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次“主主客客主客主.设甲队主场取胜的概率为0.6，场取胜的概为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：获的概率是________【答案】0.18【考点】次立重复试验中恰发生次的概率【解析】【解答】因为甲以4:1获胜，所以只需看前五场，√示甲胜，×表示甲败。第一种情况是：×主客客√主，率为：第二种情况是：√主客客√主，率为：

22

,,第三种情况是：√主客客√主，率为：第四种情况是：√主客客×主，率为：

22

,,所以甲队以4：获胜的概率是这四种情况的概率之和：2

2

0.52

【分析】根据实际问题的已知条件结合分类计数原理和分步计数原理求概率的方法，求出甲队：获胜的概率。16.已知双曲线C：

𝑥

𝑦𝑏

22

1（＞，＞）的左、右焦点分别为F1

F

过的线与C的两条渐近线分别交于，两点。若112【答案】2【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】由题作出草图，

=0,则C的心率。8

121211212211222∴或𝜋C-+sin-C）=2sinC解得：C-），C=+=sinC=+）=sincos+=cossin=+=𝜋1111111可知𝑂又,则,,易证得,121211212211222∴或𝜋C-+sin-C）=2sinC解得：C-），C=+=sinC=+）=sincos+=cossin=+=𝜋1111111

,则

°2

为正三角形，

【分析用曲线的标准方程出焦点坐标和两条渐近线方程，再利用点斜式求出过的线的方程，再利用过的线与双曲线的两条渐近线分别交于，两，联立二者的方程求出交点坐标，再利用向量相等和向量垂直，用全等三角形的判断方法和结论，证出𝛥为三角形，再利用正三角形的性质求出a,c的系式，再利离心率公式变形求出双曲线的离心率。三、解题：共分。答应写文字说明、明过程演算骤。第题为必题，每试题考生都须作答第、23题为考题，考生据要求答。（共5题；共60分）17.的角A，C的边分别为，，设(2=sin2A-sinBsinC。（）A；,求sinC.（）𝐵【答案】（解：

由正弦定理得：

2

𝑎由弦定理得：

2

2

2

1𝜋𝜋233

,在三角形中，𝜋,

𝜋（）：22，A=由弦定理得：𝐴3代入A得：

2𝜋𝜋2𝜋𝜋𝜋𝜋224𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋3124422224【考点】正弦定理，三角形中的几何计算【解析【分析】1利用实际问题的已知条件结合正弦定理和余弦定理求出角A的余弦值。2）利用实际问题的已知条件结合正弦定理和辅助角公式求出（），从而求出角C的，再利用两角和的正弦公式求出角的弦.18.如图，直四棱柱ABCD-ABC的面是菱=4，，BAD=60°，，，分是，BB，AD的点9

111121121111111121121111（）明：平DE；（）二面角-N的正弦值。【答案连

.因，E分为,𝐶的点，所以𝑀，且.1又因为为𝐴

的中点，所以.1由题设知，得，，因此四边形MNDE为行四边形，.又𝑀平𝐶，以MN平.1（）：建立间直角坐标系，点N在面投影为点F(110

11233设平面11233

1

的法向量为

(由

→→→→𝑁·

{

3√3222𝑧=0

𝑦=0

,

取得其中一个法向量𝑛3,易知平面的个法向量为〈𝑛,

3

,𝑛,

2

10,所以二面角

的弦值为

10

。【考点】直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法【解析】【分析】1利用直四棱柱的结构特征结合已知条件，用中点作中位线证线线平行，再利用线线相等结合平行四边形的定义证出四边形MNDE为平行四边形，再利用平行四边形的定义证出另组线线平行，从而用线线平行结合线面平行的判定定理证出线面平行。）利用直四棱柱的结构特征结合已知条件找出二面角的平面角，再利用空间向量的方法求出二面角的平面角的正弦值。19.已知抛物线C：y

=3x的焦点为，斜率为

32

的直线l与C的交点为AB，与x轴的交点为。（）求l的程：,求AB|。（）【答案】（）：设直线的程为：𝑦

32

,𝑦𝑥,1122

32=3

,

2

1)

2

𝑥1

2

3

,|1

2

33𝑏3

,𝑙的方程为：2

（）：2，23

12

2

0,𝑦1

22由

得：31

2

,联上式得𝑏

32

,1

3,2|

2

|12

133【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的关系【解析】【分析】1由抛物线求出焦点坐标，再利用斜截式设出斜率为

32

的直线的程，再利用线l与抛物线的交点为，B，联立二者方程求出交点坐标，再利用抛物线的定义求出值，再利用斜率11

′′,𝑥,−1,′′,𝑥,−1,𝜋𝜋−ln(1和b的值求出直线的方程。）利用斜截式设出斜率为

32

的直线l的程，再利用直线l与x轴交点为P，立二者方程求出交点P的标，再由共线定理的坐标表示求出b的和交点A,B的坐标，再利用直线的斜率结合韦达定理与交点坐标的关系式，用弦长公式求出弦长B值。20.已知函数f(x)=sinx-ln(1+x)，’(x)为f(x)的导数。证明：（）’(x)在间-1,

𝜋2

存唯一极大值点；（）有仅有2个点。【答案】（）明：

′

11𝜋12𝜋2′′2

(1

𝜋2

存

使𝑓(

𝑥

（

𝜋，

＋

0

－′所以𝑓′在间2

存在唯一极大值点。

极大值

（）明：

𝜋𝜋2

1)−1存1

𝜋2

，1),𝑥

1

12

i08ii-1ii+1𝑖144𝑖𝑖𝑖𝑖1𝑖8,当−1i08ii-1ii+1𝑖144𝑖𝑖𝑖𝑖1𝑖8,

递减，又∴当

时，当𝑥时，当𝑥时综上所述，有仅有2个零点。【考点】利用导数研究函数的极值，根的存在性及根的个数判断【解析】【分析】1对函数两次求导，用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，从而证出𝑓′在间存在唯一极大值点（用类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，再利用零点存在性定理证出有且仅有个零点21.为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验。试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验。对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一施以乙药。一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验。当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的鼠4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得分，乙药1分：若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得分甲药得1：若都治愈或都未治愈则两种药均得。甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，轮试验中甲药的得分记为。（）X的布列；（）甲药、药在试验开始时都赋予4分，(i=01，表示甲药的累计得分为时最终认为甲药比乙药更有效的率，则=0，=1，=ap+bp(i=1,2，…，中a=P(X=-1)b=P(X=0)，c=P(X=1)。设。证明：

（…，）等比数列；𝑖求，并据P的值解释这种试验方案的合理性。【答案】（）：（）−所以的分布列为：X

-1

0

1P

（））明：𝑏𝑐则

𝑖

𝑖𝑖1𝑖𝑖𝑖

𝑖𝑖1𝑖

利用等比数列的定义证出：数列

}（，，）为等比数𝑖列）

𝑖

𝑖

𝑖

𝑖

,8

78813

,

𝑖1𝑖1442)(222sin𝛼π𝑖1𝑖1442)(222sin𝛼π2π故这种试验方案是合理的。表示在初始4分的情况下，甲药累计得分为时认为甲药比乙药更有效的概率仅为上确实如此，因为乙药的治愈率大于甲药

1257

而实【考点】等比数列，离散型随机变量及其分布列【解析】【分析】1利用实际问题的已知条件求出离散型随机变量的分布列（）用实际问题的已知条件结合离散型随机变量的分布列，将实际问题转化为等比数列的问题，再利用等比数列定义证出：数列

（，7）为等比数;𝑖（）出的数列

（，，）为等比数列求出等比数列的通项公式，再𝑖𝑖1𝑖利用累加法变形结合等比数列前项和公式求出的再用的结合甲药比乙药更有效的概率仅为

1257

0.01),得出乙药的治愈率大于甲药（

故这种试验方案是合理的。四、选题：共10分。请生在第、23题中任一题作。如果多做则按所的第一题计分（共2题；共20分）22.在直角坐标系xOy中曲线的参数方程为

1