高中数学人教A版第三章三角恒等变换 课时提升作业(二十八)

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十八)二倍角的正弦、余弦、正切公式(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.下列各式中，值为32的是15°cos15° °-sin215°° °+cos215°【解析】选°-sin215°=cos30°=322.已知sinα2=45，cosα2=-35，A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选C.因为sinα=2sinα2cos=2×45×-35cosα=cos2α2-sin2α2=-352所以α是第三象限角.3.(2023·乐山高一检测)若tanα=3，则sin2αco B.3 【解析】选D.sin2αcos【延伸探究】若本题条件不变，则cos2α+sin2α+1【解析】cos2α+sin2α+1cos4.已知α∈R，sinα+2cosα=102，则tan2α=A.43 B.34 34【解析】选C.本题考查三角函数同角间的基本关系.将sinα+2cosα=102sin2α+4sinαcosα+4cos2α=52将左边分子分母同除以cos2α得，3+4tanα1+tan2α所以tan2α=2tanα1-tan5.(2023·成都高一检测)在△ABC中，若|AB→|=2sin15°，|BC→|=4cos15°，且∠ABC=30°，则AA.3 3 3 3【解析】选B.因为|AB→|=2sin15°，|所以AB→·BC→=|=2sin15°·4cos15°·-=-23sin30°=-23×12=-3二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2023·合肥高一检测)已知α∈π2,π，sinα=【解析】由α∈π2,π，sinα=55tanα=sinαcosα=-12，tan2α=2答案：-47.化简：tan70°cos10°·(3tan20°-1)的结果是________.【解析】原式=sin70°cos70°=3cos10°-cos10°·sin=3cos10°-cos10°·cos20°2sin10°·cos10°=sin=sin(20°-30°)答案：-1【误区警示】解答本题在切化弦通分后易忽视应用辅助角公式进一步化简.【补偿训练】计算cos2π7·cos4π【解析】原式=2=sin4π7=sinπ7cosπ7答案：18.已知角α的终边经过点(-8，-6)，则1+cos2α+sin2α【解题指南】先利用定义求出α的三角函数，而后化简所求式即可.【解析】因为点(-8，-6)到原点的距离r=(-所以sinα=-610=-35，cosα=-1=2cos2α+2sinαcosα=-2×-45-2×-3答案：14三、解答题(每小题10分，共20分)9.(2023·泰州高一检测)已知α为第二象限角，且sinα=154，求sin【解析】原式=2=2(sinα+cosα)因为α为第二象限角，且sinα=154所以sinα+cosα≠0，cosα=-14所以原式=24cosα=-2【补偿训练】已知sinπ4+αsinπ4-α=【解析】因为sinπ4+α=sinπ4+αcosπ4所以sinπ2+2α=即cos2α=13.因为α∈π所以sin2α=-1-cos2所以sin4α=2sin2αcos2α=2×-223×110.(2023·吉林高一检测)已知向量m=(cosα-23，-1)，n=(sinα，1)，m与n为共线向量，且α∈-(1)求sinα+cosα的值.(2)求sin2α【解析】(1)因为m与n为共线向量，所以cosα-即sinα+cosα=23(2)因为1+sin2α=(sinα+cosα)2=29所以sin2α=-79因为(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2，所以(sinα-cosα)2=2-232=又因为α∈-π所以sinα-cosα<0，sinα-cosα=-43因此，sin2αsinα-cosα=(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.若α∈0,π2，且sin2α+cos2α=A.22 B.33 C.2 【解析】选D.由二倍角公式可得sin2α+1-2sin2α=14，即-sin2α=-34，sin2α=34，又因为α∈0,π2，所以sinα=2.(2023·昆明高一检测)若sinα-π4cos2α72 12 C.12 【解析】选α=sinπ2-2α=-sin2α=-2sinα-π4sinα-π4cos2α=所以22cosα-展开得22cosα·cosπ4二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2023·黄冈高一检测)若sinπ6-α=则cos2π【解析】已知sinπ6-α=13，且π6-α则cosπ3+α=sinπ6故cos2π3+2α=2cos2π答案：-74.已知θ是第三象限角，且sin4θ+cos4θ=59【解析】sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-12sin2又sin4θ+cos4θ=59，所以1-12sin22θ=即sin22θ=89所以2kπ+π<θ<2kπ+3π所以4kπ+2π<2θ<4kπ+3π(k∈Z)，所以sin2θ>0，所以sin2θ=22答案：2【延伸探究】若cos2θ=23，试求sin4θ+cos4【解析】因为cos2θ=23，所以sin22θ=7所以sin4θ+cos4θ=1-2sin2θcos2θ=1-12sin22θ=11三、解答题(每小题10分，共20分)5.已知向量a=(1+sin2x，sinx-cosx)，b=(1，sinx+cosx)，函数f(x)=a·b.(1)求f(x)的最大值及相应的x值；(2)若f(θ)=85，求cos2π【解题指南】用向量数量积表示出f(x)转化成三角函数问题求解.【解析】(1)因为a=(1+sin2x，sinx-cosx)，b=(1，sinx+cosx)，所以f(x)=1+sin2x+sin2x-cos2x=1+sin2x-cos2x=2sin2x-因此，当2x-π4=2kπ+π即x=kπ+3π8(k∈Z)时，f(x)取得最大值(2)由f(θ)=1+sin2θ-cos2θ及f(θ)=85得sin2θ-cos2θ=35，两边平方得1-sin4θ=925因此，cos2π4-2θ=cosπ2-4θ=sin46.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°+cos217°-sin13°cos17°；②sin215°+cos215°-sin15°cos15°；③sin218°+cos212°-sin18°cos12°；④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°；⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)请根据②式求出这个常数.(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.【解析】方法一：(1)计算如下：sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-12sin30°=1-14=(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=34证明如下：sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+34cos2α+32sinαcosα+14sin2α-32sinαcosα-=34sin2α+34cos2α=方法二：(1)同方法一.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=34证明如下：sin2α+cos2(30°-α)-sinα