高中数学人教A版第一章空间几何体 同课异构

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是()\f(1＋4π,4π) \f(1＋2π,2π)\f(1＋2π,π) \f(1＋4π,2π)解析：设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则l＝2πr，S表＝2πr2＋2πrl＝2πr2＋2πr·2πr＝2πr2(1＋2π)，S侧＝2πr·l＝2πr·2πr＝4π2r2，∴S表∶S侧＝eq\f(1＋2π,2π).答案：B2．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16eq\r(2)π，则圆锥的体积是()\f(64π,3) \f(128π,3)C．64π D．128eq\r(2)π解析：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h(如图所示)，则由题意得l＝eq\r(2)r，h＝r，∵S圆锥侧＝πrl＝πr·eq\r(2)r＝16eq\r(2)π，∴r＝4，l＝4eq\r(2)，h＝r＝4，∴V圆锥＝eq\f(1,3)πr2·h＝eq\f(1,3)π×42×4＝eq\f(64π,3).答案：A3．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．108cm3 B．100cm3C．92cm3 D．84cm3解析：根据三视图还原出几何体，再根据几何体的形状及相应的尺寸求其体积．此几何体为一个长方体ABCD－A1B1C1D1被截去了一个三棱锥A－DEF，如图所示，其中这个长方体的长、宽、高分别为6、3、6，故其体积为6×3×6＝108(cm3)．三棱锥的三条棱AE，AF，AD的长分别为4、4、3，故其体积为eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×4×3))×4＝8(cm3)，所以所求几何体的体积为108－8＝100(cm3)．答案：B4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是()A．4eq\r(5)，8 B．4eq\r(5)，eq\f(8,3)C．4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3) D．8,8解析：由正视图得出四棱锥的底面边长与高，进而求出侧面积与体积．由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，∴V＝eq\f(1,3)×22×2＝eq\f(8,3).四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为eq\r(5)，∴S侧＝4×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝4eq\r(5).答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)5．(2023·安庆市石化一中高二(上)期中)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.解析：几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体，底面是直角三角形，直角边长分别为3,4，侧面的高为5，被截取的棱锥的高为3.如图：V＝V棱柱－V棱锥＝eq\f(1,2)×3×4×5－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×4×3＝24(cm3)．答案：246．(2023·蚌埠市五河高中高二(上)期中)圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，则圆锥的表面积是________．解析：因为圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，所以圆锥的侧面积等于扇形的面积＝eq\f(120×π×22,360)＝eq\f(4,3)π，设圆锥的底面圆的半径为r，因为扇形的弧长为eq\f(2π,3)×2＝eq\f(4,3)π，所以2πr＝eq\f(4,3)π，所以r＝eq\f(2,3)，所以底面圆的面积为eq\f(4,9)π.所以圆锥的表面积为eq\f(16,9)π.答案：eq\f(16,9)π7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解．原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V＝4×2×2＋eq\f(1,2)π×22×4＝16＋8π.答案：16＋8π三、解答题(每小题10分，共20分)8.如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，求V1∶V2.解析：通过点D，E，F为中点得出三棱柱与三棱锥的底面面积以及高之间的关系，然后利用体积公式得到体积之间的比值．设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2＝Sh.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△ADE的面积等于eq\f(1,4)S.又因为F为AA1的中点，所以三棱锥F－ADE的高等于eq\f(1,2)h，于是三棱锥F－ADE的体积V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)S×eq\f(1,2)h＝eq\f(1,24)Sh＝eq\f(1,24)V2，故V1∶V2＝1∶24.9.如图是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，且水面高于圆锥顶部，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？解析：因为圆锥形铅锤的体积为eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))