高中数学人教B版本册总复习总复习 2023版第3章不等式的实际应用

不等式的实际应用1.能根据实际情景建立不等式模型.(难点)2.掌握运用不等式知识，解决实际问题的方法、步骤.(重点)[基础·初探]教材整理不等式的实际应用阅读教材P81～P83，完成下列问题.1.实际问题中，有许多不等式模型，必须首先领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，然后适当设未知数，将量与量间的关系变成不等式或不等式组.2.实际问题中的每一个量都有其实际意义，必须充分注意定义域的变化.3.解不等式应用题，一般可按以下四个步骤进行：(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；(3)解不等式；(4)回答实际问题.1.有如图3­4­1所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，从图形上看，这两个广告牌面积的大小关系为________，并将这种大小关系用含字母a，b的不等式表示出来为________.图3­4­1【解析】图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积.设图(1)面积为S1，则S1＝eq\f(a2,2)＋eq\f(b2,2)，图(2)面积为S2，则S2＝ab，∴eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)b2＞ab.【答案】图(1)广告牌面积大于图(2)广告牌面积eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)b2>ab2.一辆汽车原来每天行驶xkm，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程超过2200km，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________.【解析】原来每天行驶xkm，现在每天行驶(x＋19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2200km”，写成不等式为8(x＋19)>2200.若每天行驶(x－12)km，则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多的时间”用不等式表示为eq\f(8x,x－12)>9.【答案】8(x＋19)>2200eq\f(8x,x－12)>9 [小组合作型]比较法在实际问题中的应用(1)某品牌彩电为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号彩电降价，有四种降价方案：方案(1)先降价a%，再降价b%；方案(2)先降价b%，再降价a%；方案(3)先降价eq\f(a＋b,2)%，再降价eq\f(a＋b,2)%；方案(4)一次性降价(a＋b)%.其中a＞0，b＞0，a≠b，上述四种方案中，降价幅度最小的是()A.方案(1) B.方案(2)C.方案(3) D.方案(4)(2)甲、乙两家饭馆的老板同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100kg大米，而乙每次用去100元钱.购买方式更合算的是________老板.【精彩点拨】首先用代数式表示出要比较的两个量，然后用比差法比较这两个量的大小.【自主解答】设原价为1，则四种方案中，降价后的价格分别为：(1)(1－a%)(1－b%)；(2)(1－b%)(1－a%)；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a＋b,2)%))2；(4)1－(a＋b)%.由于(1－a%)(1－b%)＝(1－b%)·(1－a%)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－b%＋1－a%,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(a＋b,2)%))2，且(1－a%)(1－b%)＞1－(a＋b)%，所以方案(3)降价后价格最高.(2)设两次大米的价格分别为a元/千克，b元/千克(a、b＞0，a≠b)，则甲两次购买大米的平均价格是eq\f(100a＋b,200)＝eq\f(a＋b,2)元/千克；乙两次购买大米的平均价格是eq\f(200,\f(100,a)＋\f(100,b))＝eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))＝eq\f(2ab,a＋b)元/千克.∵eq\f(a＋b,2)－eq\f(2ab,a＋b)＝eq\f(a＋b2－4ab,2a＋b)＝eq\f(a－b2,2a＋b)＞0，∴eq\f(a＋b,2)＞eq\f(2ab,a＋b).∴乙饭馆的老板购买大米的方式更合算.【答案】(1)C(2)乙比较法在实际中的应用主要体现在决策优化问题中，解决的关键是两个量表示后用作差法或作商法进行大小比较，然后作出实际问题的解答.[再练一题]1.如图3­4­2(2)，一圆柱的底面半径为5dm，高为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线：试说明哪条路线最短？路线1：侧面展开图中的线段AC.如图(1)所示：路线2：高线AB＋底面直径BC.如图(2)所示：(1)(2)图3­4­2【解】设路线1的长度为l1，则leq\o\al(2,1)＝AC2＝AB2＋BC2＝52＋(5π)2＝25＋25π2.设路线2的长度为l2，则leq\o\al(2,2)＝(AB＋BC)2＝(5＋10)2＝225.∵leq\o\al(2,1)－leq\o\al(2,2)＝25＋25π2－225＝25π2－200＝25(π2－8)>0，∴leq\o\al(2,1)>leq\o\al(2,2)，∴l1>l2.所以选择路线2较短.一元二次不等式的实际应用某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的%，试确定x的取值范围.【精彩点拨】认真阅读题意，理解各个量之间的关系，构建函数关系或不等式解决问题.【自主解答】(1)降低税率后为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x＝eq\f(1,50)a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10).(2)原计划税收为200a·10%＝20依题意得：eq\f(1,50)a(100＋2x)(10－x)≥20a×%，化简得，x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x的取值范围是(0,2].不等式应用题常以函数、数列为背景出现，多是解决现实生活、生产中的最优化问题，在解题中主要涉及到不等式的解法等问题，构造数学模型是解不等式应用题的关键.[再练一题]2.某市新建一处公园，要对园内一块长为800m，宽为600m的长方形地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围.【导学号：18082048】【解】设花卉带的宽度为xm，则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m.根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥eq\f(1,2)×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去.故所求花卉带宽度的范围为(0,100]m.[探究共研型]均值不等式的实际应用探究1某单位决定投资3200元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.若设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，那么x，y间有何关系？你能建立仓库底面积S与x、y间的关系吗？【提示】x与y间关系为40x＋2×45y＋20xy≤3200，S与x、y间的关系为S＝xy.探究2在探究1中若要求S的最大值能用只含一个自变量的函数求最值吗？若不能，如何求S的最大值？【提示】在S＝xy中含两个变量x，y，而x，y满足40x＋90y＋20xy≤3200，利用该关系不能将S表示为关于x或只关于y的函数，故不能用求函数求最值的方法求解，可用均值不等式进行如下求解.解：设铁栅长为xm，一侧砖墙长为ym，则有S＝xy.由题意得40x＋2×45y＋20xy≤3200.由均值不等式，得3200≥2eq\r(40x·90y)＋20xy＝120eq\r(xy)＋20xy＝120eq\r(S)＋20S，∴S＋6eq\r(S)≤160，即(eq\r(S)＋16)(eq\r(S)－10)≤0.∵eq\r(S)＋16＞0，∴eq\r(S)－10≤0，∴S≤100.∴S的最大允许值是100m2某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由.【精彩点拨】平均每天所支付的总费用＝eq\f(x天支付的总费用,天数x)，根据题意列出函数式，利用均值不等式求解.【自主解答】(1)设该厂应每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝3×eq\f(x6x＋6,2)＝9x(x＋1)，设平均每天所支付的总费用为Y1元，则Y1＝eq\f(9xx＋1＋900,x)＋1800×6＝9x＋eq\f(900,x)＋10809≥2eq\r(9x·\f(900,x))＋10809＝10989，当且仅当9x＝eq\f(900,x)，即x＝10时取等号.该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少.(2)设该厂利用此优惠条件后，每x天购买一次面粉，因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每eq\f(210,6)＝35天购买一次面粉，即x≥35.设平均每天支付的总费用为Y2元，则Y2＝eq\f(9xx＋1＋900,x)＋1800×6×eq\f(9,10)＝9x＋eq\f(900,x)＋9729(x≥35)，记f(x)＝x＋eq\f(100,x)，x∈[35，＋∞)，设x1，x2∈[35，＋∞)，取x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(100,x1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(100,x2)))＝(x1－x2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100,x1)－\f(100,x2)))＝eq\f(x1－x2x1x2－100,x1x2)，∵35≤x1<x2，x1x2>100，∴x1－x2<0，x1x2－100>0，∴eq\f(x1－x2x1x2－100,x1x2)<0，f(x1)－f(x2)<0，∴函数f(x)＝x＋eq\f(100,x)在[35，＋∞)上是增函数，∴当x≥35时，f(x)min＝f(35).所以，当x＝35时，Y2有最小值，此时Y2的最小值小于10989.故该厂应接受此优惠条件.求实际问题中最值的一般思路：1先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式.2把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题.3在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性.4正确写出答案.[再练一题]3.某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元).(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝eq\f(购地总费用,建筑总面积))【解】(1)依题意得y＝(560＋48x)＋eq\f(2160×10000,2000x)＝560＋48x＋eq\f(10800,x)(x≥10，x∈N＋).(2)∵x>0，∴48x＋eq\f(10800,x)≥2eq\r(48×10800)＝1440，当且仅当48x＝eq\f(10800,x)，即x＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1440＝2000(元).答：当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元.1.若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x－2,x)≤0))))，则A∩B＝()A.{x|－1≤x<0} B.{x|0<x≤1}C.{x|0≤x≤2} D.{x|0≤x≤1}【解析】∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，∴A∩B＝{x|0<x≤1}.【答案】B2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2A.6.5mB.6.8mC.7m【解析】设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则eq\f(1,2)ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋eq\r(a2＋b2)≥2eq\r(ab)＋eq\r(2ab)＝4＋2eq\r(2)≈(m).因为要求够用且浪费最少，故选C.【答案】C3.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－(0<x<240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台.【解析】y－25x＝－－5x＋3000≤0，所以x2＋50x－30000≥0，得x≤－200(舍去)或x≥150，又因为0<x<240，x∈N，所以150≤x<240，x∈N.【答案】1504.用一根长为100m的绳子，围成一个一边长为x米，面积大于600m2的矩形，则x【导学号：18082049