2021年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准

年大梦福建省初中数学竞赛试题考时2018年18日9满分一、选题（共5小题每小题分，共35分。道小均给出代号为A，B，D的四个选项，中有且有一个选项正确的请将正确选的代号入题后的括里，不填、填或错填都分）1．若关于的方4

mxm有两个相等的实数根，则m

m

m的值为（）A

B

C

D．2．如图，、都是正方形，边长分别mm标原O为AD的中点，、D、E在y轴上。若二次函数yax

2

的图像C、两点，则）A．

B．2

C

D2A

AG

E

H

ODBC

B

C（第图）（第3题图）（第4题图3．如图G的重心，D延长线上，且BDAE点E，则）AC

BC，过DG的直线交A．

B．

C．

D．

4．如图，H分别△的垂心、外心BAC△ABC外接圆的半径，则AH）A

B

C

D．5．满足方程x2xy151的整数(（）A．0对

B．2对

C．4对

D．对

二、填题（共5小题每小题，共分）6．已b为正整数，。baa是三个连续正整数的平方，a的最小值为。7如图ABCD为矩形，对角线的中点、B在x轴上若函数y（）x的图像过D、点，则矩形ABCD面积为。CO

A

D

BO

（第图）（第8题）8．如图，是边长为8的正三角形D为AB上一点，⊙OACD的内切圆，1CDB的DB的旁切圆。O的半径都rr29．若实数满过的最大整数。

。。其10．网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题：把一个矩形区域划分成n凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分知构成个凸多边形的顶点中恰有个顶点在矩形内12顶点在矩形的边界上（含矩形的顶点时任何三个顶点不共（除矩形边界上的顶点共线外围成个凸多边形的线段中，恰有18线段在矩形区域内，则n个凸多边形中四边形个数的最大值为。

三、解题（共4题，小题20分，80分11．已知次函数x

2

交x轴于A(x、B(x两点，1xx21。若函数y2x2bxb上的最小值，b的值。xx1212．如图，在圆内接四边形中ABADM是BC边的中点，N在对角上，且满CAM。求证：∥。

A

DB

NM（第题图）

C

13．已知关于的方程x

的两根都是素数，的值。14．一个36个单位小方格组成6的方格表中个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于，

的最大值。

2018年大杯福省中学赛题考案评标考时2018年18日9－11满分一、选题（共5小题每小题分，共35分。道小均给出代号为A，B，D的四个选项，中有且有一个选项正确的请将正确选的代号入题后的括里，不填、填或错填都分）1．若关于的方4

mxm有两个相等的实数根，则m

m

m的值为（）A【答案

BA

C

D．【解答题意△m

2

16(3。因此m

m0。∴

m2m∴

m

3

2

(mm

2

m

2

m2如图ABCDDEFG都是正方形边长分别为、m标原点O为AD的B．2中点，、D、E在轴上。若二次函数yaxA．C

2

的图像、两点，则D2

）【答案

B【解答点C坐为(，)，点F坐为

。由二次函数y的图像F两点，得（第图）mam2mn2

2

，消，得

∴

n，解得2（舍负根mm∴

2

FDFD3如图的重心D延长线上BDAE于点，则）AC

BCD的直线AA．

B．

C．

D．

G

E【答案D【解答图，连AG，并延长交BC于点F。

D

BC∵∴

G的重心，且AGF为BC点，且DBGF1

（第图）过点F作FM∥交ACM。

ACMCFAE2则，。CECDEM1CM，k，EM，k。

G

EM∴

AEkk，。AC

DBFC另解：如图，连，并延长交BC于F。

（第答题图∵

G的重心，且

A∴

AGF为BC点，且DBGF1

G

E∴

FD2AG，。DC31

DBFCAFC中用梅涅劳斯定理得。DCGF∴∴

3，。EA1EA4AE4。AC7

（第答题图

4．如图HO分别△ABC的垂心、外心BAC，则AH）ABD．3C【答案B【解答图，连BO并延长O点D，连HCCD

A

H

ODA。∵∴

△ABC的外心，BDO直径，DCDA

BC（第图）又HABC垂心，∴

AHBCCH。

A∴

AHDCCH∥DA。

D∴四边形AHCD为平行四边形，AHDC∵∴

BAC45△ABC外接圆的半径2BDCBACBD4。

H

O∴

DC2。

BC（第答题图5．满足方程x2xy151的整数(（）A．0对

B．2对

C．4对

D．对【答案

C【解答程x

2

2

151化(xy

2

2

。依题意，151

2

为完全平方数。由Ay，得y

。结合y为整数，得y2故，y，，4。当y时，151，不是完全平方数。当y，136，不是完全平方数。当y

2

时，

2

，不是完全平方数。当y

2

时，151y

2

2

。∴

方程化为，即)

x

2

，或16x6)2

∴

yyyy，或，或，或x

。∴

x10x，或，或，或。yyyy∴满足方程的整数对(10((共4对。

二、填题（共5小题每小题，共分）6．已b为正整数，。baa是三个连续正整数的平方，a的最小值为。【答案

1297【解答题意，

，a

n

n为正整数，n∴

2()n2

32，可偶数，a。2∴

a

n

2

n2nbc。22可见且大时a22的值也随之增大。时a合要求。∴

a2

的最小值2212977如图为矩形，E为对角线的中点、B在x上若函数yx）x的图像过D、点，则矩形ABCD面积为。【答案

8【解答D)E()，y。DDEEDDE作EFAB于F，为AC中点，F为AB中点，且EF∴y2。结合xxyx，得。DEDDE∴AF，ABAF2。D∴矩形ABCD面积AB2xy。DD

（第图）（第答题图

8．如图，是边长为8的正三角形D为AB上一点，⊙OACD的内切圆，1CDB的DB的旁切圆。O的半径都r，r2【答案【解答如图，O△ACD三边、依次1于G、H、边O于点，CD的延长线2

C

。于点、。

O

1则O的半径都是r△ABC正三角形，以及切12线长性质定理，得

A

D

O

2

BAGr，CHCG3r，BFBN

r，

（第图）CMCN

r。

C∴

EFHMCM

43r)rr

G

O

1

H∴

ABAEEFr

33rrr。

A

EDM

FBO2

N∴

3

rr3

（第答题图9．若实数满过的最大整数。

。其【答案

1346【解答设，其为整数∵

时，3m；当m时，2m3m；22当时，3m；当，2mm。∴对任意实数，kk为整数。∵∴∴

2018，其中m。

10．网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题：把一个矩形区域划分成n凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分知构成个凸多边形的顶点中恰有个顶点在矩形内12个顶点在矩形的边界上（含矩形的顶点时任何三个顶点不共（除矩形边界上的顶点共线外围成个凸多边形的线段中，恰有18线段在矩形区域内，则n个凸多边形中四边形个数的最大值为。【答案

9【解答设个凸多边形中，个三角形个四边形个五边形，…m35m边形。则n个凸多边形的内角和为k(31801803另一方面，矩形内部有6个顶点，对于每个顶点，围绕它的多边形的内角和形边界线段内（不含矩形顶点）个顶点，在每个顶点处，各多边形在此汇合成一个平角，其和为180矩形的每个顶点处，各多边形在此汇合成一个直角，其和此，这个凸多边形的内角和6∴

k(31801803360kkm。………①3m再考虑n个凸多边形的边数。由于每个m边形m条边此个凸多边形的边数和k35

mk。m另一方面，由条件知，在矩形内部的条边，每条边都是两个凸多边形的公共边，应计算2次。而在矩形边界上12点，得12条线段，它们都对应某个凸多边形的边。因此，n个凸多边形的边数和为8。∴

3kk3

48。………②m由①、②，消k，kk345

3)。m∴

k。4又如图所示的划分符合要求，此时3∴k的最大值，即个凸多边形中，最多有个4四边形。

（第答题图

三、解题（共4题，小题20分，80分11．已知次函数x

2

交轴于(、(两点，1xx21。若函数y2x2bxb上的最小值，b的值。xx12【解答函数y

2

图像x于A(xB(点，12∴

x，是方2的两个实根。12∴

xx112

c

。

……5xx又xxx11

()2)1212xx12

2

，∴

2，10。………①c

………10∵

y2x

2

bxx

2

b

2

，b上的最小值∴

时∴

2

…………②

……15由①、②，解cb∴

b

……20

12．如图，在圆内接四边形中ADM是边的中点，N在对角线BD上，且满CAM。求证：∥。【解答AB，∴ADBABD。

A

D∴

ACMABDABN

N，∴ABNACM。

B

M

C∴

ABBNAC

…………①。

（第12图）…5分设AC、BD相交于点∵∴

BAEABE。∽。

A

D∴

AB。…②AC

E…10分

NM为BC中点，∴BM结合①，得

ABBNBN。ACBM

B

M

C结合②，得

BEAB，CBBM

（第题答题图）∴

BMBN。BC

…15分∴

MN∥，∥。……20分

13．已知关于x的方程x

的两根都是素数，的值。【解答方程x9999的两根分别为pq，p则由韦达定理，，pq∴

pq2

4

4

…………①

……5显然p都不等于2，因此，都是奇数。∴若

。2p，中有一个数为奇数，不妨设为奇数，则22

……10