高中数学人教B版4第一章坐标系极坐标系 学业分层测评第1章极坐标系

学业分层测评(二)一、选择题(每小题5分，共20分)1.下列各点中与(2，eq\f(π,6))不表示极坐标系中同一个点的是()A.(2，－eq\f(11,6)π) B.(2，eq\f(13,6)π)C.(2，eq\f(11,6)π) D.(2，eq\f(－23,6)π)【解析】与极坐标(2，eq\f(π,6))相同的点可以表示为(2，eq\f(π,6)＋2kπ)(k∈Z)，只有(2，eq\f(11,6)π)不适合.【答案】C2.在极坐标系中与点A(3，－eq\f(π,3))关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是()A.(3，eq\f(2,3)π) B.(3，eq\f(π,3))C.(3，eq\f(4,3)π) D.(3，eq\f(5,6)π)【解析】与点A(3，－eq\f(π,3))关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为(3,2kπ＋eq\f(π,3))(k∈Z).【答案】B3.将点P的直角坐标(－1，eq\r(3))化为极坐标是()A.(2，－eq\f(π,3)) B.(2，eq\f(2π,3))C.(－2，－eq\f(π,3)) D.(－2，eq\f(4π,3))【解析】在直角坐标系中(－1，eq\r(3))对应的极径ρ＝eq\r(－12＋\r(3)2)＝2，极角θ满足tanθ＝eq\f(\r(3),－1)＝－eq\r(3)，∴由于点(－1，eq\r(3))在第二象限，所以θ＝eq\f(2π,3).【答案】B4.在极坐标系中，点A(2，eq\f(π,6))与B(2，－eq\f(π,6))之间的距离为() 【解析】点A(2，eq\f(π,6))与B(2，－eq\f(π,6))的直角坐标分别为(eq\r(3)，1)与(eq\r(3)，－1).于是|AB|＝eq\r(\r(3)－\r(3)2＋1＋12)＝2.【答案】B二、填空题(每小题5分，共10分)5.关于极坐标系的下列叙述正确的是________.①极轴是一条射线；②极点的极坐标是(0,0)；③点(0,0)表示极点；④点M(4，eq\f(π,4))与点N(4，eq\f(5π,4))表示同一个点.【解析】①③正确；②④错误.【答案】①③6.将点的直角坐标(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))化为极坐标(ρ>0，θ∈[0,2π))为________.【解析】ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(－\f(π,2)2＋\f(π,2)2)＝eq\f(\r(2),2)π.又tanθ＝eq\f(y,x)＝－1，θ∈[0,2π)，且点(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))在第二象限.∴θ＝eq\f(3,4)π.因此所求的极坐标为(eq\f(\r(2),2)π，eq\f(3,4)π).【答案】(eq\f(\r(2),2)π，eq\f(3,4)π)三、解答题(每小题10分，共30分)7.已知点P的直角坐标按伸缩变换eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x,y′＝\r(3)y))变换为点P′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ<2π时，求点P的极坐标.【解】设点P的直角坐标为(x，y)，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6＝2x,－3＝\r(3)y))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝－\r(3)))，∴点P的直角坐标为(3，－eq\r(3)).ρ＝eq\r(32＋－\r(3)2)＝2eq\r(3)，tanθ＝eq\f(－\r(3),3).∵0≤θ<2π.点P在第四象限.∴θ＝eq\f(11π,6).∴点P的极坐标为(2eq\r(3)，eq\f(11π,6)).8.将下列各点由极坐标化为直角坐标，由直角坐标化为极坐标.(1)P(2，eq\f(5,4)π)；(2)Q(2，－eq\f(π,6))；(3)C(0，－2)；(4)D(3,0).【解】(1)x＝2coseq\f(5,4)π＝2×(－eq\f(\r(2),2))＝－eq\r(2)，y＝2sineq\f(5,4)π＝2×(－eq\f(\r(2),2))＝－eq\r(2).所以P点的直角坐标为(－eq\r(2)，－eq\r(2)).(2)x＝2cos(－eq\f(π,6))＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，y＝2sin(－eq\f(π,6))＝2×(－eq\f(1,2))＝－1.所以Q点的直角坐标为(eq\r(3)，－1).(3)ρ＝eq\r(02＋－22)＝2，θ为eq\f(3,2)π，θ在y轴负半轴上，所以C点的极坐标为(2，eq\f(3,2)π).(4)ρ＝eq\r(32＋02)＝3，tanθ＝eq\f(0,3)＝0，故θ＝0.所以D点的极坐标为(3,0).9.在极坐标系中，点A和点B的极坐标分别为(2，eq\f(π,3))和(3,0)，O为极点，【导学号：62790004】求(1)A，B两点间的距离；(2)△AOB的面积.【解】将A，B两点代入到两点间的距离公式有|AB|＝eq\r(ρ\o\al(2,1)＋ρ\o\al(2,2)－2ρ1ρ2cosθ1－θ2)＝eq\r(22＋32－2×2×3cos\f(π