2021济南市市一模数学

济南市市一模数学总：为本套试题遵循高考命题特点，重视对基础知、基本技能、基本思想方法的考频点在试卷中占较大比例如客观题中的合.概率常用逻辑用语丽数的性质二式理程序框图三视图、三角函数的图象与性质、圆曲线的定义和几何性质、平面向量、线性规划，主观题中的解三角、立体几何、解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系、利用导数研究函数的性质．内创：对二项式的考查通常比较单一，通常单一考查指定项系数问题，或项的系数和问题，或项的系数最大问题等，而本题则将这些问题综合在一起考查，此类多选题命题方式比较适合对项式定理的考查．形创：题查开放性填空题解创：3题解法二是将位向量

ab,

置入等边三角形中，实质上构造特殊图形，数形结合思想的应用，使特别是得到快速简捷的解决．结解：用等差数列的性质可快速求解第14题难突：题在题的解法有所突破，因为通常情况下比较三个对数的大小利用对数的单调性或图形法可解决，但本题则须两次构造函数，利用导数研究函数的单调性来进行比较；第22题第2）解答的难点是不易想到将数列不等式的通过构造函数，通过判断函数的单调性来达到证明的目的．数文：11题“三角垛”为背景考查数学文化、数列的通项公式，向考生展示我国古代数学的辉煌成就．易题第5求解时误认为

ab

12题断选项A忽视两直线中忽略一条斜率为0另一条斜率不存在的情况的讨论；第题第2）问利用空间向量求解直线与平面所成角，不要误认为斜线的方向向量与平面法向量夹角的余弦为直线与平面所成角的余弦．试情：以“环保部门为降低某社区在改造过程中产生的扬尘污染”为背景考查古典概型，让学生认识到环境污染的危害性，保护环境的重要性；第16题以“四棱锥分割为小四棱锥”为背景考查锥的体积，可以体现到数学知识在实际中的应用，增强应用意识的培养；第题“研究考生物理成绩与数学成绩之间的关系为景中考查回归直线方程正分布二分布考的学科素养是理思维、数学应用、数学探索．第15题解二由等差数列的性质知

aa17

4

，231

4

得

S7

7172

a284

，所以

a4

，则

aa2314

．

2222221．D【考查目标】本题主要考查角三角函数间的基本关系，考查的学科素养是理性思维．【解析】解法一：因为

（题眼识拨：正弦函数在第一、二象限的函数值大于0以

tan

3

，故选D．解法二：因为

，

1，所以23

（题眼以

tan

，故选D．2．B【考查目标】本题主要考查等式的解法、充分条件与必要条件，考查的学科素养是理性思维、数学探索．【解析】由

xx

，得0x，以解x

，所以解以不等式为背景的集合运算问问题，通常首先通过解不等式化简集合，然后根据要求进行集合的运算．所以

A

BA

（题眼以“

”是“

B

”的充分不必要条件，故选B．3．C【考查目标】本题主要考查量的数量积，考查的学科素养是理性思维．【解析】解一由

a

得

a

所

（题眼平（法点拨利用公式，将模的运算转化为向量的数积的算得

a

＝c2cos,

1以（2识点拨：两个向量的夹角的取值范围为

解法二：根据题意，可将单位向量

a,b,

放入等边三角形（眼

ABb,c

，则

向量ab的角为

233

，故选C．4．B【考查目标】本题主要考查典概型，考查的学科素养是理性思维、数学应用、数学探索．【解析】由图知，要使洒水车能够不重复地走遍全部街道，则要选择从

或点

E

两点开始驶（眼），如若从点

B

驶入路线为：

EDC

或BCABE

理点

E

驶入也有两种路线选除从点

B

或点

E

外的点驶入则都会重复所以选的驶入点使酒水车能够不重复地走遍全部街道的概率为

216

，故选B．5．A【考查目标】本题主要考查曲线的性质，考查的学科素养是理性思维．【解析】由题意，知双曲线的渐近线方程为

y

mm

x

（题眼错示：一是求双曲线的渐近线方程时，一定要先判定双曲线的焦点位置；二是对于本题易误认为

ambm

y

，化为

13

，所以

mm3

，解得

m

12

，故选．6．B【考查目标】本题主要考查角函数的图象与性质，考查的学科素养是理性思维、数学探索．【解析】由函数的图象知，函数

f

为偶函（题眼A中数奇非偶函数，故排除A；又由图知当

时，

f

，而D中数

f

，故排除；当

中，C中数

ABDCBDCABDCBDC为

fx

2x4

，当

2

时，函数取得最小值

，而不是

，故排除C（法技巧：对于函数图象识问题，主要根据函数的性质及特征点，排除错误的图象，得到满足条件的函数的图.选D．7【考查目标】本题主要考查二面角、三棱锥的体积、翻折问题，考查的学科素养是理性思、数学探索．【解析接

AC

交

BD

于点

O

连接

OA

因为四边形

ABCD

为菱形以

AC

，所以，BD，所以AOC为面角A

的平面（眼键点拨：及到二面角的问题，作出二面角的平面角是关键，主要是利用垂直关系来作

．因为在菱形

中AB

以

BDC

为等边三角形

AO

32

棱锥

BDC为正三棱锥．设BDC的心为，接AG，平面BDC（识点拨：正三棱锥中顶点在底面的射影是底面三角形的中心，底对顶点与底面中心连线垂直于底面AG60

31，所以VAG23

＝

3242

，故选A．8．D【考查目标】本题主要考查用导数研究函数的单调性，考查的学科素养是理性思维、数学探索．【解题思路】设

f

lnx

求导研究函数

f

的单调性

设

ln

求导研究函数

g

的单调性

ln

xx

求导研究函数

k

的单调性

lnx266rrlnx266rrr【解析】设

f

lnx

（题眼法拨：当不能通过简单的作差作商或通过化简转化、找中间量，利用初等基本函数的图像和性质进行比较大小时，需要根据问题的同构，构造出新数，求导研究函数的性质过数比较大小

f

1xx

所以当

x时

，函数单调递增，当x时，f

，函数单调递减，所以

f

，即lnln20222020

，所以

2020ln即a．设

，则g

x

h

时

，函数

h

单调递减，所以

h

，又

h

e27

，h

e5

，所以函数

h

的零点

x

，所以当

1x0

时，

g

，函数

g

单调递增，当

x0

时，

g

，函数

g

单调递减，所以

ln2021ln202020222021

，所以2021ln2022ln

，

即

a

．

设

k

lnx

，

则

令

m

m

，所以

m

，所以函数

上单调递减，所以ln2022ln202120212020

，所以

20222021ln2021，．综所述，

，故选D．9．BC【考查目标】本题主要考二项式定理，考查的学科素养是理性思维．【解析】二项式的展开式的能项为r

6

Cr6

2r

（题眼对于A，由r

，得r

，所以展开式中的常数项为

6

，故A不确；对于因为该二项式的展开式共有7项所以展开式中二项式系数最大的项为第4项故B确；对于C因为展开式共有，每系数最大项必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得，故系

数最大项必在中间偏左或偏右，所以只需比较2

与

T4

两项系数大小即可，因为第

T2

项的系数为

C2

，第

T4

项的系数为

2

C46

60

，所以该展开式中第3项系数最（法点拨：对于二项式系数的最大值、最小值问题，有时应对的偶性进行讨论才有定对于D，

时，则各项的系数的和为

（方法点拨：求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x综上所述，故选B．

即可D不确．10【查目标】本题主要考查导数的几何意义、导数在函数中的应用，考查的学科素养是性思维、数学探索．【解析】对于A，因为

f，得f

（题眼得

a

，故A正确；对于BA知

f

x，f

时，

f

，函数单调递增，当

，函数单调递减，所以当

时，函数取得极大（错警示：对于函数的极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点侧正负相反B正；对于C，由B知，函数

f

上递增，在

上递减，所以在

上，f

f

．又

f

，

f

（方法点拨：求函数

f

在某闭区间

的最值，首先需求函数

f

在开区间

然，将

f

的各个极值与

f

在闭区间上的端点的函数值

f

比较能得出函数

f

上的最值

xf对于D，点

,

关于称点为

0

，代入

f

，得2y00

x0

即

x300

所以函数

f

的图象关于点

对称故D正确．综上所述，故选．

11．BC【考查目标】本题主要考数学文化、数列的通项公式，考查的学科素养是理性思维、数学应用、数学探索、数学文化．【解析】由题意知，

aaaa,1232nn

（题眼上式相加（方法点拨用恒等式

a12n

求通项公式的方法称为累加法累法是求型如

aan

的递推数列通项公式的基本方法中

f

为可求前项

n2

．对于A，所以a4

42

，故A不正确；对于

an

，故确；对于，a100

1002

，故C正；对于D，为

2

，ann

n4

，显然2

n

n

n

，故不确．综上所述，故选B．12．AD【考查目标】本题主要考椭圆的定义及几何性质、圆的方程、直线与椭圆的位置关系，考查的学

与圆定线直率为面何识科素养是理性思维、数学应用、数学探索．【解题思路】与圆定线直率为面何识对于A，①当直线

l,l1

2

中一个斜率为0，一个斜率不在时可直接求出两条切线的交点；①当直线

ll1

2

的斜率均存在时，设切线方程为

y

两切线的斜率的乘积

x

b

蒙圆的方程判断；对于B，由直线方程知直线l定点

上PBPA

作出判断；对于C，由椭圆的定义得

AFa121min

为点

F

到直线

l

的距离

求出

min

作出判断；对于D，由条件得四边形

为蒙日圆的内接矩形

矩形

的长和宽与蒙日圆的半径为关系式

求得矩形

MNGH

面积的最大值

作出判断．【解析】对于A，图，设两条线的交点为

E

，切点分别为

C,D

，当直线

l,l1

2

中一个斜率为0，另一个斜率不存在时，易知

（易错警示：容易忽略一个斜率为，另一个斜率不存在的情况的讨论当直线

l,l1

2

的斜率均存在时，设

Ey

，切线方程为

，

则

由

0y22b

消

去

，

得

2k

2

2

ka

2

0

2

0

0

2

2

，则由，整理，得yky2200

，所以

k,

ED

为方程的两根（眼以

k

EC

y2x0

22①．又

ECED

，所以

k

ED

②，联立①②得

22a20

．又ce1a

，所以

2b2

，所以

x2y2b200

，即蒙日圆的方程为

xb

，故A正确；对于B，直线

l

的方程化为

a

，所以直线

l

过定点

在日圆上，当点

P

为定点，

A,B

为切点时，

PAPB

，

PA

，故B不确；对于C，因为点在椭圆上，则由椭圆的定义，知

，以AF21

，所以

dAFAF

，则由平面几何知识知，

dAF

的最小值为点

F

到直线

l

的距离（方法点拨：利用几何法求圆锥曲线中的最值问题，即根据曲线的定义和性质，将问题转化为面几何中的相关问题直接判断最值与范围．因

a

，所以点

1

到直线

l

的距离为a2

2

b2b22b2

43

所

2

min

1

min

43b3

故C不确；对于D，因为矩形

MNGH

的四条边均与

相切，所以四边形

MNGH

为蒙日圆的内接矩形．设矩形的长为m、为，为蒙日圆的半径为

b，以

m

2

2

mn

，所以mnb

2

，所以

MNGH

2

，当且仅当

mb

时等号成立，所以矩形MNGH面的最大值为

2

，故D正．综上所述，故选．13．

5

【考查目标】本题主要考查复数的运算及模，考查的学科素养是理性思维．【解析】解法一：因为

2i2

（题眼以

z

解法二：

21

．14．12【考查目标】本题主要考等差数列的通项公式及前n项和公式，考查的学科素养是理性思维．【解析差列

d7

72

dd题11

PPABCDPAEFPABCPABCDABCDPABCDPPABCDPAEFPABCPABCDABCDPABCD

ad11

．解法二：由等差数列的性质知

aa，a，得173

7172

a284

，所以

a4

，则

aaa23174

．15．

(答案不唯一:第1个大于0，2数小于即【考查目标】本题主要考查命题的真假，考查的学科素养是理性思维、数学探索．【解析】当

时3

a，b

（题眼

1a

b

，所以当a为数，为数时，

1a

b

是假命题，所以b的可以为

（方法点拨：要判断全称命题是假命题，只需给出一个反例即可16．

34

【考查目标】本题主要考查棱锥的体积，考查的学科素养是理性思维、数学应用、数学探索．【解题思路】【解析】如图，设

PGPA，连,，则

P

＝113113kVV，＝2420

（题眼以

VPAEFG

PAGF

PAEF

3V20

（方法点拨：三棱锥的体积的计算需选择合适的顶点和底面，此时顶点到底面的距离容易计有还需把复杂几何体分割成若干简单几何体便于体积的计算或体积的找寻，这些几何体可能有相同的高或相同的底面，或者它们的高或底的面积的比值为定值）①．连接

,

，则

PAGE

P

＝

510PPABCDPPPABCD31510PPABCDPPPABCDkVV，PPEFG

PFPC

P

＝

11VV2520

，所

以

VP

PAGE

P

k20

②．

由①②，

得33VV2020

，即

k33kk33，得k，42010204

．17查标】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查的学科素养是理性维．【解题思路Ⅰ）首先由条将已知等式化为

sinAsinB

，然后由正弦定理知asinBA

，从而得到关于

in

的方程，求得

in

的值，进而结合大边对大角原则求得角

A的大小）先由余弦定理求得的，然后利用角形面积公式求解即可．

（题眼）

（1（2（3（1当条件等式中出现边角的次式时，考虑利用正弦定理进行边角间的转化；（2在三角形的判断中注意应“大边对大角”来确定；（3已知两边的关系及一边所角，求解相应的边角关系时，通常是首先利用余弦定理．18查标】本题主要考查分段函数的单调性及最值、函数的零点、二次函数的图象与性质考查的学科素养是理性思维、数学探索．【解题思路）首先求出a2函数的解析式，然后在段用导数研究函数

f

的单调性，求出该段函数的最小值，在

x

利用二次函数的图象与性质求出该函数的最小值，从而比较求得函数

f

的最小值首根据函数的单调性将问题转化函数

f

上有两个零点，然后利用二次函数的图象与性质建立不等式求解即可．

（4（5（题眼）（6）（4求分段函数的最值（或值要用分类讨论的思想进行分段求出每一段的最值（或值域（5二次函数在区间上的最值题，一般利用二次函数的图像及其单调性来考虑；（6求分段函数的零点主要是过分别求出每一段函数的零点来完成的；19查标】本题主要考查空间直线与平面间的平行与垂直关系、直线与平面所成角、空间向量的应用，考查的学科素养是理性思维、数学探索．【解题思路（）连接

1

，由正方形的性质与线面垂直的性质证

BD11

平面

AAC11

，推出

B11

，同理证

B11

，从而证得

AC1

平面

CD11

后线面平行的性质定理面面垂直的判定定理可使问题得证）以

A

为原点建立空间直角坐标系，然后求出相关点的坐标，由此求出平面的法向量再

APAC

利向量的线性运算求出直线

BP

的法向量，从而利用空间夹角公式与二次函数的性质求出直线

B

与平面

所成角的最大值．（7（题眼）（8（9

（7证线面垂直先证线线垂直但要注意是证平面外一条直线与平面内的两条相交直线垂直；（8利用线面平行的性质定理实现线面平行与线线平行间的转化；（9利用空间向量求线面角时求出直线的方向向量与平面的法向量是解答的关键；20查标】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、斜率公式，考查的学科素养是理性思、数学探索．【解题思路设线

AB

的方程为

xmy

，然后代入抛物线方程，利用韦达定理即可求得结果）（Ⅰ）同理求得

yM

N

，然后设直线

的方程为

xny