高中数学人教A版第三章不等式单元测试【区一等奖】

第二课时基本不等式的应用一、课前准备1．课时目标（1）通过学习，进一步加深对基本不等式的理解，能灵活地用基本不等式解决有关问题。（2）理解用不等式求最值的条件，并能求实际问题的最大值或最小值。（3）通过本节的探究过程，培养学生观察、比较、分析、归纳等数学意识与解决问题的能力。2.基础预探（1）不等式中的a,b的取值范围是，等号成立的条件是。（2）不等式中的a,b的取值范围是，等号成立的条件是。（3）可化为型的函数，当ab>0且时可用基本不等式求最值，若a>0,b>0,则当时，。若则当时，。（4）对于正数，若则有最值是，若则有最值是。二、基本知识习题化1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的取值范围是()A．(2，＋∞)B．[2，＋∞)C．(4，＋∞)D．[4，＋∞)2．已知正整数a，b满足4a＋b＝30，使得eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)取最小值时，则实数对(a，b)是()A．(5,10)B．(6,6)C．(10,5)D．(7,2)3．已知，则函数的最大值是4．函数在时有最值为三、学习引领1．基本不等式或具有将“和式”转化为“积式”，以及将“积式”转化为“和式”的放缩功能。2.“和定积最大，积定和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；反过来，若积为定值，则可求其和的最小值，应用此结论须注意以下三点：一正、二定、三相等。3.有关二元多项式的最值，由于涉及两个未知数，使得变形方向不够明朗。变形过程中应围绕可以应用已知条件中的“和或积为常数”来进行，常用凑的方法。另外，“1”的代换也是一种常用的方法。4.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件。5.可以变形为形式的函数。这里，可以考虑应用均值不等式求解。围绕等号成立的条件，发现使等号成立的条件与参数有关，针对进行讨论，在等号不能成立时，则可考虑应用函数的单调性求解。四．典例导析题型一函数方程与基本不等式例1已知，求的最小值。思路导析：应用基本不等式可把条件转化为关于的不等关系，进而可求出的取值范围。解析：或（舍去）等号成立的条件是且即时满足条件，故的最小值为9.规律总结：利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值的常用方法，应熟练掌握。变式训练1：已知正数满足求的最大值。题型二基本不等式的证明例2.如果求证：思路导析：若证，只需证解析：即当且仅当即时取等号。规律总结：在解答数学题的过程中，把数值、整式合理地拆成两项或多项，或者恒等地配凑成适当的数或式，是数学表达式变形过程中常用的方法，这是一种解题技巧，要熟练运用这一技巧。变式训练2：已知，求证：题型三利用基本不等式求最值例3.求函数的最小值。思路导析：对于本题中的函数式，可把看成一个整体，然后把函数转化为用来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用基本不等式来处理。解析：当且仅当即时等号成立。时，原函数取得最小值为9.规律总结：利用均值不等式求最值时，要满足“一正，二定，三相等”的条件，如果形式不满足，要首先化简整理，使其变为满足条件的形式，进而可以求得最值。变式训练3：求函数的最大值。题型四基本不等式的实际应用例4.围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，已知旧墙的维修费用为每米45元，新墙的造价为每米180元。设利用的旧墙长度为（单位：），修建此矩形围墙的总费用为（单位：元）。（1）将表示为的函数。（2）试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最小总费用。思路导析：解决应用问题，关键是从实际问题抽象出数学问题，本题要先把与的函数式表示出来，然后结合基本不等式求出最值。解析：（1）设矩形的另一边长为，则由已知得。所以，（2）当且仅当时，等号成立。即时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元。规律总结：应用两个正数的均值不等式解决实际问题的方法步骤是：（1）先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；（4）写出正确答案。变式训练4：过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：．（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/小时）（2）五．随堂练习1.下列命题中正确的是()A.函数的最小值为2B.函数的最小值为2.C.函数的最大值为。D.函数的最小值为。2.当x＞1时，不等式x＋eq\f(1,x－1)≥a恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]3.已知成等差数列，成等比数列，则的最小值是（）A.0.1CD.44.设，则函数在=________时，有最小值__________5．设且,则的最小值为________6．函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n＞0，求eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值．六．课后作业1.已知为正实数，且则的最大值为（）A.B.C.D.2．某工厂第一年底的产量为P，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则有()A．x≥eq\f(a＋b,2)B．x＝eq\f(a＋b,2)C．x≤eq\f(a＋b,2)D．x＞eq\f(a＋b,2)3.正数满足，则的最小值是4.若直线平分圆，则的最小值是5.已知求的最小值。6.若不等式对一切成立，求的最小值。第二课时答案：一．答案：（1）（2）（3），。，（4）大，。小，二．1．D解析：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝(a＋b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4.当用仅当a＝b时等号成立。2．A解析：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝·eq\f(4a＋b,30)＝eq\f(1,30)，∵eq\f(b,a)＋eq\f(4a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝4.当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(4a,b)即b＝2a时等号成立．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2a,4a＋b＝30))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5,b＝10)).3.解析：当且仅当，即时，函数取得最大值。4.解析：当且仅当即时取得最大值为1。四．变式训练1.解析:当且仅当且时等号成立。解得时原式有最大值。变式训练2.解析：。当且仅当时取等号。变式训练3.解析：设从而当时，。当时，当且仅当，即时，有最大值为。变式训练4.解：（Ⅰ）依题意，（Ⅱ）由条件得整理得v2－89v+1600<0,即（v－25）（v－64）<0,解得25<v<64.答：当v=40千米/小时，车流量最大，最大车流量约为千辆/小时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米五．1.解析：A选项中的不一定大于0。B选项中=，等号取不到。C．D选项中函数=。所以应该选C.2．解析：a≤x＋eq\f(1,x－1)恒成立⇔a≤的最小值．∵x＋eq\f(1,x－1)＝x－1＋eq\f(1,x－1)＋1≥2eq\r(x－1·\f(1,x－1))＋1＝3.∴a≤3.选D.答案：D3.解析：=当且仅当时取等号。所以应选D.4.解析：=，当且仅当即时原式取得最小值3.5.解析：6．解析：函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，(－2)·m＋(－1)·n＋1＝0,2m＋n＝1，m，neq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝·(2m＋n)＝4＋eq\f(n,m)＋eq\f(4m,n)≥4＋2eq\r(\f(n,m)·\f(4m,n))＝8.即eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值为8。六．1.解析：选C.为正实数，，当且仅当即时取等号。2．解析：依题意得，该工厂第二年的产量为P(1＋a)，第三年的产量为P(1＋a)(1＋b)．又由于这两年的平均增长率为x，则P(1＋x)2＝P(1＋a)(1＋