高中数学人教A版第一章三角函数三角函数的图象与性质 全国公开课

课题名称：1.4.1课程模块及章节：必修四第一章（第一课时）备课时间：2023-2-20学科：数学组备课组：高一数学主备教师：龙清华备课组长：龙清华组员：黄泽专、赵明烈、邱建成、张秋花、保德怀、张国彪教师二次备课教学背景分析（一）课标的理解与把握了解正弦函数图象的来历，并会用“五点法”画出正弦函数的图象及正弦函数图象的简单应用．（二）教材分析：《正弦函数的图象》是高中新教材人教A版必修四的内容，作为函数，它是已学过的一次函数、二次函数、指数函数与对数函数的后继内容，是在已有三角函数线知识的基础上，来研究正余弦函数的图象与性质的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数的图象的知识基础和方法准备。因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。本节共分两个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出的图象，考察图象的特点，用“五点作图法”画简图，为了使学生对研究的问题和方法先有一个概括性的认识，教科书在本节开头用了一段引导性语言．教学中应当对这段话给予充分重视，可以先引导学生回顾《数学1》中研究过哪些函数性质，然后说明可以在过去研究函数的经验的指导下研究三角函数的性质，并要特别注意思考三角函数的特殊性——周而复始的变化规律．为了使学生对三角函数图象有一个直观的认识，教科书利用单摆做简谐振动的实验引出正弦函数、余弦函数的图象．教学中，可以让学生亲自动手做实验，也可以由教师做演示实验，只要学生能够对正弦曲线、余弦曲线有一个直观的印象就算达到目的．另外，由于受实验条件及操作过程的影响，得到的图象很可能是不标准的．在简谐振动试验的基础上，教学中应先介绍用正弦线作比较精确的正弦函数图象的方法，才能从图象上观察到某些点是关键点，再讲“五点法”作简图．（三）学情分析：“授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识。学生作为教学活动的主题，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。教学目标1．知识与技能(1)利用单位圆中的三角函数线作出y＝sinx，x∈R的图象，明确图象的形状．(2)用“五点法”作出正弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题．2．过程与方法(1)通过利用单位圆中的三角函数线作出正弦函数的图象的过程，让学生体验、理解数形结合这一重要思想方法．(2)通过“五点法”作正弦函数的图象，使学生理解并掌握这一个作函数简图的基本方法．3．情感、态度与价值观通过作正弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神．教学重点和难点重点：正弦函数图象的作法．难点：“五点法”作正弦函数的图象．教学准备、教学资源和主要教学方法采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。教学过程教学环节教师为主的活动学生为主的活动设计意图导入新课【问题导思】1．用描点法画y＝sinx在[0,2π]上的图象如何操作？难点是什么？2．如何精确地得出y＝sinx在[0,2π]上的图象？【提示】利用正弦线平移作图．1．可以利用单位圆中的正弦线作y＝sinx，x∈[0,2π]的图象．2．y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象．学生讨论、交流。说出自己的看法。1．列表取值、描点、连线、难点在取值．2.利用正弦线平移作图．激发学生学习的激情.目标引领板在黑板的右上角，并对目标进行解读活动导学1．可以利用单位圆中的正弦线作y＝sinx，x∈[0,2π]的图象．2．y＝sinx，x∈[0,2π]的图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx，x∈R的图象．3．你认为哪些点是y＝sinx，x∈[0,2π]图象上的关键点？画正弦函数图象的五点：(0,0)、(eq\f(π,2),1)、(π，0)、(eq\f(3π,2)，－1)、(2π，0)例用“五点法”作出下列函数的简图．y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx010－101＋2sinx131－11在直角坐标系中描出五点(0,1)，(eq\f(π,2)，3)，(π，1)(eq\f(3π,2)，－1)，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y＝1＋2sinx，x∈[0,2π]的图象．规律方法1．“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点、与x轴的交点．2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点．变式训练画出y＝2sinx，x∈[0,2π]的简图．【解】按五个关键点列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2π2sinx020－20描点并将它们用光滑的曲线连接起来如图所示．最高点、最低点及图象与x轴的三个交点．在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可．自主解答利用五点作图法按照如下步骤处理1、列表2、描点3、连线当堂评价1．用五点法画y＝sinx，x∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点()A．(eq\f(π,6)，eq\f(1,2))B．(eq\f(π,2)，1)C．(π，0)D．(2π，0)【解析】易知(eq\f(π,6)，eq\f(1,2))不是关键点．【答案】A2．下列图象中，是y＝－sinx在[0,2π]上的图象的是()【解析】由y＝sinx在[0,2π]上的图象作关于x轴的对称图形，应为D项．3、画出下列函数的简图：y＝1＋sinx，ｘ∈〔0，２π〕解析：利用五点作图法按照如下步骤处理1、列表2、描点3、连线x0π2πSinｘ0１0－101+Sinｘ12101描点、连线，画出简图。反思总结1、五点（画图）法（1）作法先作出五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来。（2）用途只有在精确度要求不高时，才能使用“五点法”作图。（3）关键点横坐标：0π/2π3π/22π进一步提升学生对本节课重点知识的理解和认识，并体会其应用。板书设计1、学习目标(1)利用单位圆中的三角函数线作出y＝sinx，x∈R的图象，明确图象的形状．(2)用“五点法”作出正弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题．2、画正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]图象的的五个关键点：(0,0)、(eq\f(π,2),1)、(π，0)、(eq\f(3π,2)，－1)、(2π，0)3、例题4、课堂检测教学反思课题名称：1.4.1课程模块及章节：必修四第一章（第二课时）备课时间：2023-2-20学科：数学组备课组：高一数学主备教师：龙清华备课组长：龙清华组员：黄泽专、赵明烈、邱建成、张秋花、保德怀、张国彪教师二次备课教学背景分析（一）课标的理解与把握了解正弦函数图象的来历，并会用“五点法”画出正弦函数的图象及正弦函数图象的简单应用．（二）教材分析：为了使学生对三角函数图象有一个直观的认识，教科书利用单摆做简谐振动的实验引出余弦函数的图象．教学中，可以让学生亲自动手做实验，也可以由教师做演示实验，只要学生能够对余弦曲线有一个直观的印象就算达到目的．另外，由于受实验条件及操作过程的影响，得到的图象很可能是不标准的．在简谐振动试验的基础上，教学中应先介绍用余弦线作比较精确的余弦函数图象的方法，才能从图象上观察到某些点是关键点，再讲“五点法”作简图．也可以引导学生利用正弦函数与余弦函数的联系，在正弦曲线的基础上，利用图象变换作出余弦曲线，也可以用“五点法”作简图．（三）学情分析：“授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识。学生作为教学活动的主题，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。教学目标1．知识与技能(1)根据关系cosx＝sin(x＋eq\f(π,2))，作出y＝cosx，x∈R的图象．(3)用“五点法”作出余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题．2．过程与方法((1)通过利用单位圆中的三角函数线作出余弦函数的图象的过程，让学生体验、理解数形结合这一重要思想方法．(2)通过“五点法”作余弦函数的图象，使学生理解并掌握这一个作函数简图的基本方法．(3)引导学生利用正弦函数与余弦函数的联系，由正弦曲线，通过图象变换作出余弦曲线，使学生学会用联系的观点思考问题．3．情感、态度与价值观通过作余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神．教学重点和难点重点：余弦函数图象的作法．难点：正、余弦函数图象的区别与联系．教学准备、教学资源和主要教学方法采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。教学过程教学环节教师为主的活动学生为主的活动设计意图导入新课【问题导思】根据y＝sinx和y＝cosx的关系，你能利用y＝sinx，x∈R的图象得到y＝cosx，x∈R的图象吗？【提示】能，根据cosx＝sin(eq\f(π,2)＋x)只需把y＝sinx，x∈R的图象向左平移eq\f(π,2)个单位长度，即可得到y＝cosx，x∈R的图象．学生讨论、交流。说出自己的看法。激发学生学习的激情.目标引领板在黑板的右上角，并对目标进行解读活动导学你认为哪些点，y＝cosx，x∈[0,2π]图象上的关键点？画余弦函数图象的五点：(0,1)、(eq\f(π,2),0)、(π，－1)、(eq\f(3π,2),0)、(2π，1)例画出ｙ＝－cosx，x∈[0,2π]的简图．解：按五个关键点列表：x0π2πCox10101-Cosx-1010-1规律方法1．“五点法”是作三角函数图象的常用方法，“五点”即函数图象最高点、最低点、与x轴的交点．2．列表、描点、连线是“五点法”作图过程中的三个基本环节，注意用光滑的曲线连接五个关键点．变式训练：利用图象变换作出下列函数的简图．y＝1－cosx；解法一：【思路探究】对(1)先作出y＝cosx的图象，然后利用对称作出y＝－cosx的图象，最后向上平移1个单位即可作出y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，并作出其关于x轴的对称图形，得y＝－cosx，x∈[0,2π]的图象，然后向上平移一个单位，得y＝1－cosx的图象(如图①所示)．解法2：利用五点作图法最高点、最低点及图象与x轴的三个交点．在[0,2π]上找出五个关键点，用光滑的曲线连接即可．自主解答利用五点作图法按照如下步骤处理1、列表2、描点3、连线“五点法”作图可由师生共同完成意图：积极的师生互动能帮助学生看到知识点之间的联系，有助于知识的重组和迁移。

把学生推向问题的中心，让学生动手操作，直观感受波形曲线的流畅美，对称美，使学生体会事物不断变化的奥秘。通过讲解使学生明白“五点法”如何列表，怎样画图象。当堂评价1．对于正弦函数y＝sinx的图象，下列说法错误的是()A．向左右无限伸展B．与y＝cosx的图象形状相同，只是位置不同C．与x轴有无数个交点D．关于y轴对称【解析】由正弦曲线，知A、B、C均正确，D不正确．【答案】D2、利用余弦曲线，写出满足cosx>0，x∈[0,2π]的x的区间是__________．【解析】画出y＝cosx，x∈[0,2π]上的图象如下图所示．cosx>0的区间为[0，eq\f(π,2))∪(eq\f(3π,2)，2π]．【答案】[0，eq\f(π,2))∪(eq\f(3π,2)，2π]3、用五点法作出函数y＝1－2cosx(0≤x≤2π)的简图．反思总结由平移变换知：函数f(x)＝sinx的图象向左平移eq\f(π,2)个单位得函数f(x＋eq\f(π,2))＝sin(x＋eq\f(π,2))的图象．根据诱导公式sin(x＋eq\f(π,2))＝cosx，知平移后的图象就是余弦函数f(x)＝cosx的图象，由此可见，在同一坐标系中正弦函数、余弦函数的图象的形状相同，只是位置不同．动态演示用几何法与描点法作出正弦函数，余弦函数的图象进一步提升学生对本节课重点知识的理解和认识，并体会其应用。板书设计1、学习目标(1)根据关系cosx＝sin(x＋eq\f(π,2))，作出y＝cosx，x∈R的图象．(3)用“五点法”作出余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题．2、画余弦函数图象的五关键点：(0,1)、(eq\f(π,2),0)、(π，－1)、(eq\f(3π,2),0)、(2π，1)3、例题4、课堂检测教学反思课题名称：1.4.2课程模块及章节：必修四第一章（第一课时）备课时间：2023-2-20学科：数学组备课组：高一数学主备教师：龙清华备课组长：龙清华组员：黄泽专、赵明烈、邱建成、张秋花、保德怀、张国彪教师二次备课教学背景分析（一）课标的理解与把握1.掌握y＝sinx(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．(重点)2．会用正弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题．(难点)3．了解周期函数、周期、最小正周期的含义．(易混点)（二）教材分析：对于函数性质的研究，学生已经有些经验．其中，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用．由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就是完全清楚了，因此，教科书把对周期性的研究放在了首位．另外，要使学生明白研究三角函数性质就是“要研究这类函数具有的共同特点”，这是对数学思考方向的一种引导．1．周期性可引导学生从正、余弦线，正、余弦函数图象以及诱导公式一即形与数两个方面，归纳总结“周而复始”的变化规律，给出“周期性”概念．关于正弦函数的周期与最小正周期，一般只要弄清定义，并根据正弦、余弦曲线观察出结果就可以了．对于学有余力的学生，可以让他们尝试证明正弦函数的最小正周期是2π.2．其他性质与研究周期性的方法一样，根据正弦函数解析式，同样可以直观地看出这两个函数的奇偶性．正弦函数的奇偶性，无论是由图象观察，还是由诱导公式进行证明，都很容易．所以，这一性质的研究可以交给学生自主完成．（三）学情分析：“授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识。学生作为教学活动的主题，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。教学目标1．知识与技能(1)理解周期函数、周期函数的周期和最小正周期的定义．(2)掌握正弦函数的周期和最小正周期，并能求出余弦函数的最小正周期．2．过程与方法让学生通过观察正弦线以及正弦函数图象得出正弦函数的周期性，并借助于诱导公式一给予代数论证这一过程，使学生学会由具体形象到抽象概括这一研究问题的方法．3．情感、态度与价值观让学生自己探究学习正弦函数的图象性质，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图象所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣．教学重点和难点重点：正弦函数的图象及其主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域)；深化研究函数性质的思想方法．难点：正弦函数的周期性，以及周期函数、(最小正)周期的意义．教学准备、教学资源和主要教学方法采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。教学过程教学环节教师为主的活动学生为主的活动设计意图导入新课1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2．观察正弦函数的图象总结规律：自变量函数值–––创设情境，让学生感受周期现象丰富的实际背景，激发学生的学习兴趣，拉近了数学与现实的距离目标引领板在黑板的右上角，并对目标进行解读活动导学一、函数的周期性【问题导思】1．观察下列实例：(1)海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次．(2)钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周．上述两种现象，具有怎样的属性？【提示】周而复始，重复出现．2．观察正弦曲线，正弦函数具有上述规律吗？哪个公式可以反映这种规律？【提示】具有．sin(x＋2kπ)＝sinx，1．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．2．特殊的周期函数正弦函数y＝sinx是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.二、正弦函数的奇偶性【问题导思】对于x∈R，sin(－x)＝－sinx，这说明正弦函数具备怎样的性质？【提示】奇偶性．对于y＝sinx，x∈R恒有sin(－x)＝－sinx，所以正弦函数y＝sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称．三、正弦函数的定义域、值域和单调性【问题导思】观察正弦函数1．正弦函数的定义域各是什么？【提示】R2．正弦函数的值域各是什么？【提示】[－1,1]．3．正弦函数在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))上函数值的变化有什么特点？【提示】y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值y由－1增大到1；在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值y由1减小到－1；四、求三角函数的周期例1．求下列函数的最小正周期．1．，；2．，课堂训练：求y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋3))的最小正周期【思路探究】解答本题可利用代换z＝eq\f(π,2)x＋3，将求原来函数的周期转化为求y＝sinz的周期再求解，或利用公式求解．【自主解答】(1)法一令z＝eq\f(π,2)x＋3，且y＝sinz的最小正周期为2π.∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋3＋2π))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋4＋3))，因此sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋3))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋4＋3)).∴由周期函数定义，T＝4是y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋3))的最小正周期．法二f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x＋3))的周期T＝eq\f(2π,\f(π,2))＝4.例2(1)函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2013,2)π－2014x))是()A．奇函数B．偶函数 B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数 D．既是奇函数又是偶函(2)已知a∈R，函数f(x)＝sinx－|a|(x∈R)为奇函数，则a等于()A．0B．1C．－1D．±1【解】(1)因为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2013,2)π－2014x))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2014x))＋1006π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2014x))＝cos2023x，所以为偶函数．(2)函数定义域为R，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝sin(－x)－|a|＝－f(x)＝－sinx＋|a|，所以|a|＝0，从而a＝0，故选A.课堂总结：1、对于形如y＝Asin(ωx＋φ)，(A，ω，φ为常数，且ω≠0)函数的周期求法常直接利用T＝eq\f(2π,|ω|)来求解；形如y＝|Asinωx|的周期常结合函数的图象，观察求解．2、判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．教师引导学生回答问题．通过动画演示让学生直观感知正弦函数图象周期性变化规律.紧扣周期函数的定义，形成求正弦型的周期的方法.学生回忆、归纳、总结．教师提示学生注意观察图象上的每一点向右平移个单位，横、纵坐标的变化规律．并将此规律推广到一般函数．通过对正弦函数的图象观察、分析，结合诱导公式，构建出周期性变化规律，主要是立足于从学生的最近思维区入手，着力于知识建构，培养学生观察、分析和抽象概括能力，并进一步渗透数形结合思想方法．使学生在解题过程中寻找规律，归纳周期公式与的周期公式为通过小结，使学生对所学知识系统化、条理化，便于学生记忆．当堂评价1．下列函数中，最小正周期为π的是()A．y＝sinxB．y＝sin2xC．y＝sineq\f(x,2)D．y＝2sinx1．函数y＝sin(2x＋π)的图象关于()A．x轴对称B．原点对称C．y轴对称D．直线x＝eq\f(π,2)对称【解析】因为y＝sin(2x＋π)＝－sin2x为奇函数，所以其图象关于原点对称，故选B.2．函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是()A．0\f(π,4)\f(π,2)D．π【解析】当φ＝eq\f(π,2)时，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x，而y＝cos2x是偶函数，故选C.学生口答，教师进行点评．板书设计1、学习目标2、例题3、课堂检测教学反思课题名称：1.4.2课程模块及章节：必修四第一章（第二课时）备课时间：2023-2-20学科：数学组备课组：高一数学主备教师：龙清华备课组长：龙清华组员：黄泽专、赵明烈、邱建成、张秋花、保德怀、张国彪教师二次备课教学背景分析（一）课标的理解与把握1.掌握y＝sinx(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．(重点)2．会用正弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题．(难点)3．了解周期函数、周期、最小正周期的含义．(易混点)（二）教材分析：与研究周期性的方法一样，根据正弦函数解析式，同样可以直观地看出正弦函数的单调性、最大(小)值等性质．正弦函数的单调性，只要求由图象观察，不要求证明．教学中要注意引导学生根据函数图象以及《数学1》中给出的增(减)函数定义进行描述．具体的，可以先选择一个恰当的区间(这个区间长为一个周期，且仅有一个单增区间和一个单减区间)，对正弦函数在这个区间上的单调性进行描述；然后利用正弦函数的周期性说明在其他区间上的单调性．教学中要留给学生一定的思考时间，由他们自己归纳出正弦函数的单调区间的一般形式．正弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论．由于问题比较简单，所以可以由学生自己去研究．同样的，对于取最大(小)值时的自变量x的一般形式，也要注意引导学生利用周期性进行正确归纳．（三）学情分析：“授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识。学生作为教学活动的主题，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。教学目标1．知识与技能（1）通过图像理解y＝sinx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.（2）熟记y＝sinx的单调性，并能用单调性比较大小.（3）会求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间．2．过程与方法三角函数的最值、单调区间及三角函数值的大小比较等问题，能结合图象时一定要联系图象进行综合思考，将数形有机结合起来．3．情感、态度与价值观通过求三角函数的最值、单调区间及三角函数值的大小比较等问题，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神．教学重点和难点重点：正弦函数的单调性、最值；深化研究函数性质的思想方法．难点：正弦函数的单调性、最值．教学准备、教学资源和主要教学方法采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。教学过程教学环节教师为主的活动学生为主的活动设计意图导入新课知识回顾：1、如何作出正弦函数的图象？2、研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？给出正弦函数的图象，让学生观察，并思考下列问题：描点法（几何法、五点法），图象变换法。并要求学生回忆哪五个关键点定义域、值域、单调性、周期性、对称性等提出本节课学习目标创设情境，让学生感受函数性质丰富的实际背景，激发学生的学习兴趣，拉近了数学与现实的距离目标引领板在黑板的右上角，并对目标进行解读活动导学三、正弦函数的单调性【问题导思】观察正弦函数正弦函数在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))上函数值的变化有什么特点？【提示】y＝sinx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值y由－1增大到1；在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值y由1减小到－1；结合上述周期性可知:正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.四、正弦函数的最值正弦函数①当且仅当时,取得最大值②当且仅当时,取得最小值五、例题分析例1、比较sin2500、sin2600的大小解析：通过诱导公式把角度化为同一单调区间，利用正弦函数单调性比较大小解：∵y=sinx在[，]（k∈Z），上是单调减函数，又2500<2600∴sin2500>sin2600点评：比较同名的三角函数值的大小，找到单调区间，运用单调性即可，若比较复杂，先化间；比较不同名的三角函数值的大小，应先化为同名的三角函数值，再进行比较．例2、求函数y=sin(2x+)的单调增区间．解析：求函数的单调增区间时，应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元的方法，化归到正函数的单调性．解：令z=2x+，函数y=sinz的单调增区间为[，]．由≤2x+≤得≤x≤故函数y=sinz的单调增区间为[，]（ｋ∈Ｚ）点评：“整体思想”解题变式训练：1、求函数y=sin(-2x+)的单调增区间解：令z=-2x+，函数y=sinz的单调减区间为[，]故函数sin(-2x+)的单调增区间为[，]（ｋ∈Ｚ）．2、求函数y＝2sin(eq\f(π,4)－x)在[－π，π]上的减区间．【解】y＝2sin(eq\f(π,4)－x)＝－2sin(x－eq\f(π,4))．令z＝x－eq\f(π,4)，只需求y＝－2sinz的减区间，即求sinz的增区间．由2kπ－eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴2kπ－eq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(3,4)π，k∈Z.又－π≤x≤π，令k＝0，则－eq\f(π,4)≤x≤eq\f(3,4)π，∴所求函数在[－π，π]上的减区间是[－eq\f(π,4)，eq\f(3,4)π].课堂总结：1、数学知识：正弦函数的图象性质，并会运用性质解决有关问题2、数学思想方法：数形结合、整体思想。教师引导学生回答问题．化为同名的三角函数值，再进行比较．学生回忆、归纳、总结．通过对正弦函数的图象观察、分析，立足于从学生的最近思维区入手，着力于知识建构，培养学生观察、分析和抽象概括能力，并进一步渗透数形结合思想方法．采用换元的方法，化归到正函数的单调性．通过小结，使学生对所学知识系统化、条理化，便于学生记忆．当堂评价1.函数的奇偶数性为（）.A.奇函数B.偶函数C．既奇又偶函数D.非奇非偶函数2.下列函数在上是增函数的是（）A.y=sinxB.y=cosxC.y=sin2xD.y=cos2x3．函数f(x)＝3sin(x＋eq\f(π,6))在下列区间内递减的是()A．[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]B．[－π，0]C．[－eq\f(2,3)π，eq\f(2π,3)]D．[eq\f(π,2)，eq\f(2π,3)]【解析】令2kπ＋eq\f(π,2)≤x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z可得2kπ＋eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(4π,3)，k∈Z，∴函数f(x)的递减区间为[2kπ＋eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(4π,3)]，k∈Z.【答案】D学生口答，教师进行点评．板书设计1、学习目标2、例题3、课堂检测教学反思课题名称：1.4.2课程模块及章节：必修四第一章（第三课时）备课时间：2023-2-20学科：数学组备课组：高一数学主备教师：龙清华备课组长：龙清华组员：黄泽专、赵明烈、邱建成、张秋花、保德怀、张国彪教师二次备课教学背景分析（一）课标的理解与把握1.掌握y＝cosx(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．(重点)2．会用余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题．(难点)3．了解周期函数、周期、最小正周期的含义．(易混点)（二）教材分析：《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据余弦曲线的特点得出余弦函数的性质。（三）学情分析：“授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识。学生作为教学活动的主题，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。教学目标1．知识与技能(1)类比正弦函数的周期和最小正周期，归纳余弦函数的周期和最小正周期．（2）类比正弦函数的性质归纳余弦函数的性质2．过程与方法让学生通过观察余弦线以及余弦函数图象得出余弦函数的周期性及余弦函数的性质，并借助于诱导公式一给予代数论证余弦函数的周期性过程，使学生学会由具体形象到抽象概括这一研究问题的方法．3．情感、态度与价值观让学生自己探究学习余弦函数的图象性质，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图象所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣．教学重点和难点重点：余弦函数的图象及其主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域)；深化研究函数性质的思想方法．难点：余弦函数的周期性，以及余弦函数的性质教学准备、教学资源和主要教学方法采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。教学过程教学环节教师为主的活动学生为主的活动设计意图导入新课让学生观察余弦函数的图象：类比正弦函数的性质归纳余弦函数的性质创设情境，让学生感受周期现象丰富的实际背景，激发学生的学习兴趣，拉近了数学与现实的距离目标引领板在黑板的右上角，并对目标进行解读活动导学1.定义域：余弦函数的定义域都是实数集(或).2.值域：(1)值域因为余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,所以,即，也就是说余弦函数的值域都是.(2)最值余弦函数①当且仅当时,取得最大值②当且仅当时,取得最小值3.周期性由知:余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.定义：对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.由此可知,都是这两个函数的周期.对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.根据上述定义,可知：余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.4.奇偶性由()为偶函数,其图象关于轴对称5.对称性余弦函数的对称中心是,对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴(中轴线)的交点).6.单调性y＝cosx在[0，π]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1；在[π，2π]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1增大到1.结合上述周期性可知:余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.例：已知函数y1＝a－bcosx的最大值是eq\f(3,2)，最小值是－eq\f(1,2)，求函数y＝－4asin3bx的最大值．【思路探究】欲求函数y的最大值，须先求出a，为此可利用函数y1的最大、最小值，结合分类讨论求解．【自主解答】∵函数y1的最大值是eq\f(3,2)，最小值是－eq\f(1,2).当b>0时，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝\f(3,2)，a－b＝－\f(1,2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，b＝1.))当b<0时，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝\f(3,2)a＋b＝－\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)b＝－1)).因此y＝－2sin3x或y＝2sin3x.函数的最大值均为2. 课堂总结：正弦函数、余弦函数的性质：函数y＝sinxy＝cosx图象定义域____________值域____________奇偶性____________周期性最小正周期：______最小正周期：______单调性在__________________________________上单调递增；在__________________________________________________上单调递减在__________________________________________上单调递增；在______________________________上单调递减最值在________________________时，ymax＝1；在________________________________________时，ymin＝－1在______________时，ymax＝1；在__________________________时，ymin＝－1教师引导学生回答问题．通过动画演示让学生直观感知正弦函数图象周期性变化规律.学生回忆、归纳、总结教师提示学生注意观察图象上的每一点向右平移个单位，横、纵坐标的变化规律．并将此规律推广到一般函数．通过对余弦函数的图象观察、分析，结合诱导公式，构建出周期性变化规律，主要是立足于从学生的最近思维区入手，着力于知识建构，培养学生观察、分析和抽象概括能力，并进一步渗透数形结合思想方法．使学生在解题过程中寻找规律通过小结，使学生对所学知识系统化、条理化，便于学生记忆．当堂评价1．函数y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是()A．0\f(π,4)\f(π,2)D．π【解析】当φ＝eq\f(π,2)时，y＝sin(2x＋eq\f(π,2))＝cos2x，而y＝cos2x是偶函数，故选C.【答案】C2．函数y＝1－2coseq\f(π,2)x的最小值，最大值分别是()A．－1,3B．－1,1C．0,3D．0,1【解析】∵coseq\f(π,2)x∈[－1,1]，∴－2coseq\f(π,2)x∈[－2,2]，∴y＝1－2coseq\f(π,2)x∈[－1,3]，∴ymin＝－1，ymax＝3.【答案】A3．函数y＝2cos(eq\f(π,3)－ωx)的最小正周期为4π，则ω＝____【解析】∵4π＝eq\f(2π,|－ω|)，∴ω＝±eq\f(1,2).【答案】±eq\f(1,2)4．已知函数f(x)＝2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋b的定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．解∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,3)≤2x－eq\f(x,3)≤eq\f(2,3)π，∴－eq\f(\r(3),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≤1，易知a≠0.当a>0时，f(x)max＝2a＋bf(x)min＝－eq\r(3)a＋b＝－5.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝1,－\r(3)a＋b＝－5))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝12－6\r(3),b＝－23＋12\r(3))).当a<0时，f(x)max＝－eq\r(3)a＋b＝1，f(x)min＝2a＋b由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\r(3)a＋b＝1,2a＋b＝－5))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－12＋6\r(3),b＝19－12\r(3))).学生口答，教师进行点评．板书设计1、学习目标2、例题3、课堂检测教学反思课题名称：1.4.3正切函数的性质与图象课程模块及章节：必修四第一章备课时间：2023-2-20学科：数学组备课组：高一数学主备教师：龙清华备课组长：龙清华组员：黄泽专、赵明烈、邱建成、张秋花、保德怀、张国彪教师二次备课教学背景分析（一）课标的理解与把握1.能画出正切函数的图象．(重点)2．掌握正切函数的性质．(重点、难点)3．正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易错点)（二）教材分析：一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述．但对正切函数，教科书采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象．这样处理，主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角，在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面．(1)对正切函数的周期性，教科书是分步骤完成的．先由诱导公式说明，正切函数是周期为π的周期函数．然后在研究了它的图象之后，再从图象上观察出这一结论．关于证明，可让学有余力的学生课外完成．(2)由于研究正切函数的性质时，学生还没有学习正切函数的图象，所以教科书采取了用单位圆上的正切线来研究单调性和值域．这可以让学生再次体会单位圆在研究三角函数时的作用．(3)由于学生已经有了利用单位圆中的正弦线作正弦函数图象的经验，所以教科书要求学生类比正弦函数图象的作法画出正切函数的图象．教学中，还可鼓励学生利用信息技术工具画出正切函数的图象(见本节的“信息技术应用”)．(4)学生在初次接触正切函数的图象时，对“它是由被互相平行的直线x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z所隔开的无数多支曲线组成”，以及“直线x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z是图象的渐近线”等的认识可能有困难．教学时应当引导学生利用正切函数的性质(例如定义域必须去掉x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z各点，值域无最大值、最小值，周期是π，单调性表现为在每一单调区间内只增不减等)对图象的特征作出解释．(5)教学中，应引导学生在认识正切函数图象特征的前提下，学会画正切函数简图．正切曲线按照开区间…，(－eq\f(3π,2)，－eq\f(π,2))，(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))，(eq\f(π,2)，eq\f(3π,2))，…分段，这些开区间的长度都等于π个单位．在每一个开区间(例如(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)))上，都有一支曲线与x轴交于一点(如(0,0))，且与渐近线(如x＝±eq\f(π,2))无限接近但永不相交．与x轴的交点以及渐近线在确定图象的形状时起着关键作用，只要将它们画出后，这个开区间中的图象形状就基本确定了．所以这是用纸笔作图的一种简便方法．（三）学情分析：“授人以鱼，不如授人以渔”，最有价值的知识是关于方法的知识。学生作为教学活动的主题，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教学效果最重要的因素。在教法学法方面，采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。教师创造疑问，学生想办法解决疑问，通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。教学目标1．知识与技能(1)会用单位圆中的正切线作正切函数的图象，会用描点法作正切函数的简图．(2)会用正切函数的性质研究正切函数的图象．2．过程与方法(1)理解并掌握作正切函数图象的方法．(2)理解用函数图象解决有关性质问题的方法．3．情感、态度与价值观通过对正切函数从性质到图象，从图象到性质的探究学习，培养学生探索精神和创新思维．教学重点和难点重点：正切函数的图象及其主要性质(包括周期性、奇偶性、单调性、值域、定义域)；深化研究函数性质的思想方法．难点：正切函数图象作法及其性质应用．教学准备、教学资源和主要教学方法采用启发式、探讨式的教学方法，引导学生自主探究，合作交流。教学过程教学环节教师为主的活动学生为主的活动设计意图导入新课复习引入:1．正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？2．正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？这些性质是怎样得到的？激发学生的学习兴趣和探究欲望.目标引领板在黑板的右上角，并对目标进行解读活动导学探究一:正切函数y=tanx的定义域.探究二:1．当x大于-且无限接近-时，正切线AT向y轴负方向无限延伸；2．当x小于且无限接近时，正切线AT向y轴正方向无限延伸；因此，正切函数没有最大值、最小值；所以，正切函数的值域是实数集R.探究三:诱导公式tan(-x)=-tanx，,知，正切函数是奇函数.探究四:探究五:用多媒体展示以y轴负半轴为始边，让角的终边OT绕原点O按逆时针方向旋转，观察正切线的变化规律.正切函数在开区间内都是增函数．探究六:利用正切线画正切函数的图象：1．画出正切函数y=tanx，x∈(－，)的图象；2．思考：正切函数图象有哪些特征？3．我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图，你能类似地画出函数y＝tanx，x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]的简图吗？怎样画．【提示】能．三个关键点：(eq\f(π,4)，1)(0,0)，(－eq\f(π,4)，－1)，两条平行线：x＝eq\f(π,2)，x＝－eq\f(π,2).1．正切函数的图象：图1－4－22．正切函数的图象叫做正切曲线．3．正切函数的图象特征：正切曲线是被相互平行的直线x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．应用举例:例(1)求函数y＝3tan(eq\f(π,4)－2x)的单调区间；(2)比较tan1，tan2，tan3的大小．【思路探究】解(1)可先用诱导公式将x的系数化为正数，再把2x－eq\f(π,4)看作整体，代入相应的区间，解出x的范围；解(2)可先把角化到一个单调区间中，再利用单调性比较大小．【自主解答】(1)原函数＝y＝－3tan(2x－eq\f(π,4))，由－eq\f(π,2)＋kπ＜2x－eq\f(π,4)＜kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得－eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)＜x＜eq\f(3π,8)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z.∴函数的单调减区间是(－eq\f(π,8)＋eq\f(kπ,2)，eq\f(3π,8)＋eq\f(kπ,2))，k∈Z.(2)∵tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)．又∵eq\f(π,2)＜2＜π，∴－eq\f(π,2)＜2－π＜0.∵eq\f(π,2)＜3＜π，∴－eq\f(π,2)＜3－π＜0，显然－eq\f(π,2)＜2－π＜3－π＜1＜eq\f(π,2)，且y＝tanx在(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))内是增函数，∴tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan1，因此tan2＜tan3＜tan1.规律方法1．对于求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数)的单调区间问题，可先由诱导公式把x的系数化为正值，再由kπ－eq\f(π,2)<ωx＋φ<kπ＋eq\f(π,2)，求得x的范围即可．2．运用正切函数的单