高中数学北师大版1第一章直线多边形圆 市获奖

学业分层测评(六)弦切角定理(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A、B，则()【导学号：96990026】A.∠MCB＝∠B B.∠PAC＝∠PC.∠PCA＝∠B D.∠PAC＝∠BCA【解析】如图所示，由弦切角定理知∠PCA＝∠B.【答案】C2.如图1­2­64，△ABC内接于⊙O，EC切⊙O于点C.若∠BOC＝76°，则∠BCE等于()图1­2­64° °° °【解析】∵EC为⊙O的切线，∴∠BCE＝∠BAC＝eq\f(1,2)∠BOC＝38°.【答案】B3.如图1­2­65，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是()图1­2­65 【解析】∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE，∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.【答案】B4.如图1­2­66所示，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，DC的延长线交AB于点A，∠A＝20°，则∠DBE＝()图1­2­66° °° °【解析】连结OB，则OB⊥AB，∴∠AOB＝90°－∠A＝70°.∠BOD＝180°－∠AOB＝110°.又OB＝OD，∴∠OBD＝eq\f(1,2)(180°－∠BOD)＝35°，∴∠DBE＝90°－∠OBD＝55°.【答案】A5.在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB＝30°，AP＝eq\r(3)，则CP＝()\r(3) \r(3)\r(3)－1 \r(3)＋1【解析】如图，连接OP，则OP⊥PA，又∠APB＝30°，∴∠POB＝60°，∴在Rt△OPA中，AP＝eq\r(3)，易知，PB＝OP＝1，在Rt△PCB中，由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝eq\r(3).【答案】A二、填空题6.如图1­2­67，已知PA是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，AC＝eq\r(3)，∠PAB＝30°，则线段PB的长为________.图1­2­67【解析】如图，连接OA，又PA为⊙O切线，∴∠OAP＝90°，∠C＝∠PAB＝30°，∴∠OBA＝∠OAB＝60°，∴∠P＝∠PAB＝30°，∴PB＝AB.又AC＝eq\r(3)，BC为⊙O直径，∴∠CAB＝90°，∴AB＝1，∴PB＝1.【答案】17.如图1­2­68，已知：△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上.AD是⊙O的切线，若∠B＝30°，AC＝2，则OD的长为__________.【导学号：96990027】图1­2­68【解析】连接OA，则∠COA＝2∠CBA＝60°，且由OC＝OA知△COA为正三角形，所以OA＝2.又因为AD是⊙O的切线，即OA⊥AD，所以OD＝2OA＝4.【答案】48.如图1­2­69，AB为⊙O直径，CD切⊙O于D，AB延长线交CD于点C，若∠CAD＝25°，则∠C等于__________.图1­2­69【解析】连接BD，∵AB为直径，∴∠BDA＝90°.又∵CD为⊙O切线，切点为D，由弦切角定理知∠BDC＝∠CAD＝25°.∴∠CDA＝90°＋25°＝115°.在△ACD中，∠C＝180°－∠A－∠CDA＝180°－25°－115°＝40°.【答案】40°三、解答题9.如图1­2­70，一圆过直角三角形ABC的直角顶点C，且与斜边AB相切于D点，AD＝DB，G为eq\o(\s\up10(︵),CD)中点，F为eq\o(\s\up10(︵),CE)上任一点，求证：∠CFG＝∠EFD.图1­2­70【证明】连接CD，∵AB切圆于D点.∴∠CDB＝∠DFC.∵G为eq\o(\s\up10(︵),CD)的中点，∴∠CDB＝∠DFC＝2∠CFG.∵D为直角三角形ACB的斜边中点，∴CD＝AD，∴∠CDB＝2∠DCE.∵∠DCE＝∠EFD，∴∠CFG＝∠EFD.10.如图1­2­71所示，已知圆上的弧eq\o(\s\up10(︵),AC)＝eq\o(\s\up10(︵),BD)，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：图1­2­71(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.【证明】(1)因为eq\o(\s\up10(︵),AC)＝eq\o(\s\up10(︵),BD)，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故eq\f(BC,BE)＝eq\f(CD,BC)，即BC2＝BE×CD.能力提升]1.如图1­2­72，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为()图1­2­72 \r(3) 【解析】连接BC，则∠ACB＝90°，又AD⊥EF，∴∠ADC＝90°，即∠ADC＝∠ACB，又∵∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴AC2＝AD·AB＝12，即AC＝2eq\r(3).【答案】C2.如图1­2­73，AB是⊙O直径，P在AB的延长线上，PD切⊙O于C，连接AC，若AC＝PC，PB＝1，则⊙O的半径为()图1­2­73 【解析】连接BC.∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P.∴BC＝BP＝1.由△BCP∽△CAP得PC2＝PB·PA，即AC2＝PB·PA.而AC2＝AB2－BC2，设⊙O半径r，则4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.【答案】A3.如图1­2­74，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝__________.【导学号：96990028】图1­2­74【解析】如图，连接OC，∵PC切⊙O于C点，∴OC⊥PC.∵PB＝OB＝2，OC＝2.∴PC＝2eq\r(3).∵OC·PC＝OP·CD，∴CD＝eq\f(2×2\r(3),4)＝eq\r(3).【答案】eq\r(3)4.如图1­2­75，已知AB为⊙O直径，P为AB延长线上一动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C.图1­2­75(1)请你连接AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，测量∠CDP的度数；(2)∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化？请你猜想并证明.【解】(1)连接AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，测量结果：∠CDP＝45°.(2)猜想∠CDP＝45°不变.连接BC.eq