塑性力学-第三章

塑性力学

第三章40学时教材：塑性力学引论（修订版），王仁、黄文彬、黄筑平著广西大学土木建筑工程学院硕士研究生40学时课程第三章应变分析、应力分析和屈服条件

§3.1应变张量和应力张量

（2）或用张量定义表示来表示。在小变形假设下，相应的(工程)应变可定义为：在直角坐标系中，任意一点的位置可用坐标值或

来表示。相应点的位移可用或小变形下的应变定义如此定义的应变是二阶对称张量

上式中应变的六个独立分量是通过三个位移分量的偏导数给出的，消去位移后可得到应变分量之间的关系，即协调条件。物体在变形和运动过程中，其质点的速度分量假设下可表示为：（3）在小变形定义变形（速）率张量

在小变形情况下变形（速）率张量也是应变张量的时间变化率（4）

在此种情形下，应变增量可表示为（5）

对于率无关材料，与真实时间成单调递增关系的参数都可取为时间参量。式中参数t不一定是真实时间。Cauchy应力张量

在通过物体内任一点的面元上，其应力向量可用Cauchy公式来确定。用张量方式来描述，Cauchy公式可以写作（6）

Tnz（6）式可以用来描述应力边界条件

在连续介质中应用Newton第二定律（或动量守恒定律），可以得到应力张量满足的运动方程（7）（8）而

在连续介质中应用动量矩守恒定律，可以得到应力张量满足的对称性条件（7）、（8）两式是在变形后的几何位置上建立起来的，但在小变形情形下，变形前后的坐标可不加区别。

准静态情形下，省略（7）式的惯性项，从而得到平衡方程：（9）

§3.2应变张量或应力张量的不变量

当所截取的面元是以为法向量时，面元上只有正应变（或正应力）而没有剪应变（或剪应力）时，向量称为称为主方向，相应的正应变（或正应力）则称为主应变（或主应力）。先来看主应力，由任一截面上的应力向量满足关系主方向、主应变和主应力当面元只有正应力时，该应力向量与面元法向量平行，故于是有

再来看主应变，由于应变张量的坐标变换公式与应力张量坐标变换公式相同，因此确定主应变也有相同公式（应变张量与应力张量都是二阶对称张量，在坐标变换上具有同样的性质）。于是，可以写出统一的公式

（10）

式中是的主值。若代表应力张量，是主应力。若代表应变张量，是主应变。应力不变量与应变不变量（10）式具有非零解的条件是由此得到关于的三次多项式（11）（12）其中称为的第一、第二和第三不变量。因为它们与坐标系的选择无关。

可以证明有三个实根（可参考弹塑性力学的习题与例题，清华徐秉业编），这里不证。将的主值记为、和，且规定。（12）式也可用主值来表示：（13）

§3.3偏应力张量和偏应变张量

基于实验测试结果，对于大多数金属材料，在较大的静水压力作用下，材料仍表现为弹性性质。这就意味着，应力张量可以分为两部分。一部分是静水应力，它对材料的作用不会造成塑性变形。另一部分可以使得材料产生塑性变形。定义静水分量和偏量

（14）（15）

张量的偏量的几点性质：1.和具有相同的主方向，其不变量可表示为（16）

如果则也是相应偏张量的特征方程因此和具有相同的主方向2.可通过表示为（17）

证明于是有又得证上式也可通过主值表示为（18）如的主值满足，则有基本不等式（19）证明

得证比较是很重要的参数，用它可定义一些重要的参量。如定义等效应变式中是应变张量的偏张量。（20）定义等效应力

（21）式中是应力张量的偏张量。定义等效剪应变（22）定义等效剪应力（23）定义八面体剪应变（24）定义八面体剪应力（25）§3.4屈服条件把简单应力状态下屈服应力的概念推广到一般应力状态。假定材料在变形的初始阶段处于弹性状态，这种弹性状态的界限称为屈服条件。当微元的应力状态达到该界限时，进一步的加载就可能使微元产生不可恢复的塑性变形。屈服条件可以用表达式写出。屈服条件在以应力分量为坐标的应力空间中一般是一个曲面，称为屈服曲面。当应力位于此曲面之内,即时,材料处于弹性状态;当应力位于此曲面上,即时,材料将开始屈服而进入塑性状态。各向同性假设：材料是初始各向同性的。即材料的初始屈服与材料的取向无关，即与坐标系选择无关。由这一假设，屈服条件可表示成三个主应力的函数：（26）或应力张量不变量的函数：静水应力不影响材料的塑性性质的假设：即屈服条件只与应力偏量有关。于是屈服条件可以用应力偏张量的不变量来表达两个重要的假设（27）（28）

一般来说，这两个假设对多数金属和饱和土是适用的。在不适用的情形，需要对屈服条件进行修正。

由这两个假设，如果屈服曲面存在，则可能在主应力空间中用几何方法加以描述。在主应力空间中，任意一应力状态都可用一个向量来表示。

上式还可分解为偏量部分和静水应力部分。

为主偏应力向量为静水应力向量。注意到知与是正交的。过O点以为法向量的平面习惯上称为π平面，可写为（29）由于与正交，主偏应力向量过O点,知主偏应力向量是π平面的面内向量。

以下，建立平面上的直角坐标系，并建立主应力主偏应力与平面上相应的点的坐标的关系。主应力坐标系基矢顶点构成一平面，该平面平行于π平面。将基矢投影到π平面上，得。由于不平行于π平面,再将基矢的顶点连线投影到π平面上，由于这些顶点连线平行于π平面，投影所得线的长度不变。将有所缩减。中任意两向量及顶点连线构成一个等腰三角形，

其顶角角度为120，底角角度为30。因此可以算出

那么，主偏应力在π平面上的坐标值为：π平面上任一点的坐标可用主偏应力表达为：

同样，主应力在π平面上的坐标值为：于是π平面上任一点的坐标可用主应力或主偏应力表达为：

（30）用极坐标描述，有：（31）上式中称为Lode参数，表示了主应力之间的相对比值。（31）式中

因此有（31’）如果规定，则Lode参数的取值范围为（-1，1）或。例如：纯拉伸对应于。纯剪切对应于。纯压缩对应于。注意到，由（30）式可解出：（32）屈服曲面与屈服曲线

屈服曲面与平面的交线称为屈服曲线。

当屈服条件不受静水应力影响时，从主应力空间来看，此时的屈服条件表示的是一个母线垂直于平面的柱面。因为该曲面与静水应力（是向量的大小）的大小无关，这意味着以任何一个平行于π平面的平面去截曲面，得到的交线都是形状一样的。在这种情形下，要讨论屈服条件只需分析平面上的屈服曲线。屈服曲线的几何性质根据材料的屈服是初始各向同性的这一假定，如果

是屈服曲线上的一点，也是屈服曲线上的一点。由（30）式知也是屈服曲线上的一点可知屈服曲线对称于轴，同理可知还对称于轴和轴。

又根据材料的屈服是初始各向同性的这一假定，材料的拉伸和压缩屈服极限相等（对许多金属材料近似成立）。还可知，如果是屈服曲线上的一点，则也是屈服曲线上的一点。于是由（30）式知因此平面上也是屈服曲线上的一点。但由于屈服曲线对称于轴，必是屈服曲线上的一点。故知屈服曲线对称于过原点且垂直于轴的直线。

同理，过原点的另外两条投影轴的垂线也是对称轴。因此，在各向同性假设下屈服曲线有6条对称轴。所以，在此情形下，只要在30˚范围内做屈服试验就可以确定屈服曲线。§3.5几个常用的屈服条件一、Tresca屈服条件（1864年）

当最大剪应力达到某一极限值时，材料开始产生屈服。如果规定，则Tresca屈服条件可写为（33）

由（30）式可知，上式在平面上相当于内与轴平行的直线段：（34）

根据对称性对其加以延拓，知Tresca屈服条件在平面上是一个正六边形。如果不规定，则（33）式可写为（35）

在主应力空间中Tresca屈服条件是一个正六面体柱面。其母线与轴线相平行。对于平面应力状态，（35）式可写作（36）

这在应力平面上是一个六边形，它是六棱柱面与平面相截得到的交线。值的确定

值由实验确定。例如可用简单拉伸测得（37）

如果采用纯剪切实验，则（38）

显然，如果Tresca屈服条件正确，则测得的值应相同，即应有（39）

关于Tresca屈服条件的应用

在主方向已知的情形下，Tresca屈服条件是便于应用的。如不是这样，应用起来就不大方便。设,即。由（31）和（32）式，有

于是这样，Tresca屈服条件可写为：

这样Tresca屈服条件就能用偏应力张量的不变量来表示。一般来说，应用起来还是不大方便的。上式还可以写为二、Mises屈服条件（1913年）Tresca屈服条件没有考虑中间主应力的影响。Mises屈服条件假定（28）式具有如下的最简形式：

（40）

其中为材料常数。由上式可见Mises屈服条件与无关。

由（31）式，上式也可写为（41）

可见，Mises屈服条件在平面上是一个圆，在主应力空间中则是一个母线与轴线相平行的圆柱面。对于平面应力状态，Mises屈服条件可表示为（42）

这在应力平面上是一个椭圆。对Mises屈服条件的物理解释

材料微元的八面体剪应力或材料微元单位体积的剪切应变能达到一定数值时，材料微元就将开始进入屈服。八面体剪应力剪切应变比能值的确定值由实验确定。

例如在简单拉伸时，应用Mises屈服条件，可以测得（43）

如果采用纯剪切实验，则由（44）

显然，如果Mises屈服条件正确，则用不同的试验测得的值应相同，即应有（45）

Tresca屈服条件与Mises屈服条件的简单比较

在平面上，假定简单拉伸时两个屈服面重合，则Tresca六边形内接于Mises圆。此时由（37）、（38）式,和（43）、（44）式，知若以拉伸试验确定屈服参数，在纯剪切时两种屈服条件相差最大。

如假定纯剪切时两个屈服面重合，则Tresca六边形外切于Mises圆。此时由（37）、（38）式和（43）、（44）式

知在简单拉伸时，两种屈服条件相差最大。不论哪种情况，最大的相对误差都是三、最大偏应力屈服条件（或双剪应力屈服条件）最大偏应力屈服条件

最大偏应力屈服条件的概念最早是由R.Schmidt在1932年提出的。俞茂宏用双剪应力的概念对上述屈服条件作了说明。最大偏应力屈服条件可用下式表示（46）

上式又可表示为

显然，考虑到对称性，上式在平面上构成由六条直线围成的正六边形。要确定这一六边形，可利用（30）式。由（30）式的第二式，知正六边形的一条直线与垂直。由拉压屈服对称，可得正六边形另一条与垂直的直线。类推确定这一六边形。最大偏应力屈服条件值的确定如果用简单拉伸确定，则与Tresca屈服条件和Mises屈服条件的简单比较最大偏应力屈服条件在平面上是一个外接于Mises圆的正六边形。与Tresca六边形相比，它的方位相差30。双剪应力屈服条件

当两个较大的主剪应力的绝对值之和达到某一数值时，材料将开始屈服。设，则主剪应力绝对值可定义为：（47）

双剪应力屈服条件由下式表示：（48）

最大谁大？上式（双剪应力屈服条件）与最大偏应力屈服条件（46）式等价，因为若，注意到，有

所以双剪应力屈服条件与最大偏应力屈服条件等价

由（31）、（32）和（46）式，在未知最大主应力方向时最大偏应力屈服条件可写为其中§3.6屈服条件的实验验证用这样的试件和加载方式可以实现可变的双向应力状态。

设圆管的平均半径为，壁厚为，。在拉力和内压的作用下，圆管近似地处于平均应力状态。在柱坐标系中圆管中任意一点的应力分量为：，，（49）如果，则可取，故有：（50）当等于零时，

这对应于简单拉伸的情形。当时，

当时，

于是，知在的范围内改变和的比值时，可以得到在内不同的值。与Lode的实验结果比较

设，规定拉伸时各种屈服条件是重合的（即各种屈服条件的参数都以拉伸试验来加以确定）。对Tresca屈服条件，有（51）

对于Mises屈服条件，由（41）式,，,和（43）式，有上式还可以表示为

因此屈服条件可以写为（52）利用（30）和（31）式对于最大偏应力屈服条件,由，所以，或从上式中可解出而当时，但由最大偏应力屈服条件因此而当时，由最大偏应力屈服条件因此于是最大偏应力的屈服条件可写为（53）

可知，以为纵坐标，以为横坐标，将（51）、（52）和（53）式与试验结果比较，便可看出哪种屈服条件更为接近真实结果。二、薄圆管受拉力和扭矩的联合作用（Taylor-Quinney，1931年）在拉力和扭矩的作用下，（54）相应的主应力为：相应的主偏应力为：（55）（56）从而（57）

当时，，对应于简单拉伸的情形。

当时，，对应于纯剪切的情形。

于是，改变和的比值，可以得到在内不同的值。

仍规定拉伸时各种屈服条件是重合的。对Tresca屈服条件，有或

（58）

对于Mises屈服条件，有（59）

或

对于最大偏应力屈服条件。由（56）式知，当时，。且，因此最大偏应力屈服条件可写为或

（60）

于是，以为纵坐标，以为横坐标，将（58）、（59）和（60）式与试验结果比较便可看出哪种屈服条件更为接近真实结果回推法得到的屈服面(引自苏莉－西北工业大学2007年硕士论文)钢薄圆管轴向拉压/扭转测试初始屈服面§3.7*岩土力学中的库伦屈服条件确定B点如何确定A点？π平面上I1＝0故由（66）式§3.8加载条件屈服条件—是指当材料未经受任何塑性变形时的弹性响应的界限。加载条件—材料经受过塑性变形后的弹性响应的界限。（68）

是用于刻划塑性变形历史的内变量参量。在应力空间中，这是一个以为参数的曲面，称之为加载曲面。

需要说明的几点：随的变化，加载曲面的大小、形状和位置都要发生变化。

应力状态不能位于加载曲面之外（不考虑应变率效应时）应力位于加载曲面之内时，应力的改变不引起的变化，材料也不产生新的塑性变形。应力位于加载曲面之上时，继续加载将使得改变，材料产生新的塑性变形，加载曲面也将变化。加载曲面的变化可用下式来描述：