高中数学人教A版第二章平面向量单元测试-参赛作品

平面向量综合测试题（时间：120分钟满分：150分）学号：______班级：______姓名：______得分：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.向量a，b，c，实数λ,下列命题中真命题是()A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c2．已知向量a＝(1,0)与向量b＝(－1，eq\r(3))，则向量a与b的夹角是()\f(π,6) \f(π,3)\f(2π,3) \f(5π,6)3.设P是△ABC所在平面内的一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))，则()\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝0\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝0\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝04．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则eq\f(m,n)＝()A．－2 B．2C．－eq\f(1,2) \f(1,2)5．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．06．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))在eq\o(CD,\s\up6(→))方向上的投影为()\f(3\r(2),2) \f(3\r(15),2)C．－eq\f(3\r(2),2) D．－eq\f(3\r(15),2)7.已知|a|＝2|b|，|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A．[0，eq\f(π,6)] B．[eq\f(π,3)，π]C．[eq\f(π,3)，eq\f(2π,3)] D．[eq\f(π,6)，π]8.已知向量a，b满足|a|＝1，(a＋b)·(a－2b)＝0，则|b|的取值范围为()A．[1,2]B．[2,4]\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))9.下列命题中正确的个数是()①若a与b为非零向量，且a∥b，则a＋b必与a或b的方向相同；②若e为单位向量，且a∥e，则a＝|a|e；③a·a·a＝|a|3；④若a与b共线，又b与c共线，则a与c必共线；⑤若平面内有四点A，B，C，D，则必有eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→)).A．1 B．2C．3 D．410．已知向量a＝(x＋1,1)，b＝(1，y－2)，且a⊥b，则x2＋y2的最小值为()\f(1,3) \f(2,3)\f(1,2) D．111．若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝()A．2 \r(2)C．1 \f(\r(2),2)12．设a,b是两个非零向量，下列结论一定成立的是()A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥bB．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λbD．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上）13．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，则|b|等于________．14．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.15．已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________.16．在△ABC中，若∠A＝120°，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－1，则|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最小值是________．三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（10分）已知O、A、B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→))＝，(1)用eq\o(OA,\s\up16(→))、eq\o(OB,\s\up16(→))表示eq\o(OC,\s\up16(→))；(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．18．（10分）设a，b是不共线的两个非零向量．(1)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3a＋b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－3b，求证：A，B，C三点共线．(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a－3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值．19．（10分）已知向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)求3a＋b－2c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.20．（10分）已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求点D的坐标与|eq\o(AD,\s\up15(→))|．21．（10分）已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b的方向上的投影为－1，求(1)a与b的夹角θ；(2)(a－2b)·b.22.（10分）已知a＝(eq\r(3)，－1)，b＝，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求eq\f(k＋t2,t)的最小值．参考答案一、选择题1~6BCBCDA7~12BDACBC提示：1.若a·b＝0，表明a，b垂直，并不是a＝0或b＝0；若a2＝b2，表明|a|2＝|b|2，并不是a＝b或a＝－b；若a·b＝a·c，则有|a||b|cosα＝|a||c|cosβ，α，β分别是向量a，b和c，a的夹角，不只会是b＝c.故只有B正确．2.cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－1,1·2)＝－eq\f(1,2).所以〈a，b〉＝eq\f(2π,3).3.由eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(BP,\s\up6(→))知，点P是线段AC的中点，则eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PA,\s\up6(→))＝0.4.由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，因为ma＋nb与a－2b共线，所以(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，整理得eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).5.因为a⊥c，所以a·c＝0，又因为a∥b，则设b＝λa，所以c·(a＋2b)＝(1＋2λ)c·a＝0.6．eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(5,5)，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)在eq\o(CD,\s\up6(→))＝(5,5)上的投影为|eq\o(AB,\s\up6(→))|cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(15,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，故选A.7．Δ＝|a|2－4a·b＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＝4|b|2－8|b|2·cos〈a，b〉≥0.所以cos〈a，b〉≤eq\f(1,2)，〈a，b〉∈[0，π]．所以eq\f(π,3)≤〈a，b〉≤π.8．由题意知b≠0，设向量a，b的夹角为θ，(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2，1－|b|cosθ－2|b|2＝0，所以cosθ＝eq\f(1－2|b|2,|b|)，因为－1≤cosθ≤1，所以－1≤eq\f(1－2|b|2,|b|)≤1，所以eq\f(1,2)≤|b|≤1.9.易知①②③④均错误，⑤正确，因为eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))，所以eq\o(AC,\s\up15(→))－eq\o(AD,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))－eq\o(BD,\s\up15(→))，即eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→))，所以⑤正确．10.因为a⊥b，所以a·b＝0，即x＋1＋y－2＝0，整理得x＋y＝1，所以x2＋y2＝x2＋(1－x)2＝2x2－2x＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(1,2)≥eq\f(1,2)，所以x2＋y2的最小值为eq\f(1,2).11．因为(a＋b)⊥a，|a|＝1，所以(a＋b)·a＝0，所以|a|2＋a·b＝0，所以a·b＝－1.又因为(2a＋b)⊥b，所以(2a＋b)·b＝0.所以2a·b＋|b|2＝0.所以|b|2＝2.所以|b|＝eq\r(2)，选B.12.利用排除法可得选项C是正确的，因为|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb.选项A：|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由正方形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D；若存在实数λ，使得a＝λb，a，b可为同向的共线向量，此时显然|a＋b|＝|a|－|b|不成立．二、填空题14.－115.eq\r(5)\r(6)提示：13．因为|a＋b|＝5eq\r(2)，所以(a＋b)2＝50，即a2＋b2＋2a·b＝50，又|a|＝eq\r(5)，a·b＝10，所以5＋|b|2＋2×10＝50.解得|b|＝5.14．由题意知a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝m＋1＝0，所以m＝－1.15．|b|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，由λa＋b＝0，得b＝－λa，故|b|＝|－λa|＝|λ||a|，所以|λ|＝eq\f(|b|,|a|)＝eq\f(\r(5),1)＝eq\r(5).16．因为eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－1，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cos120°＝－1，即|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，所以|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC,\s\up6(→))2－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2≥2|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝6，所以|eq\o(BC,\s\up6(→))|min＝eq\r(6).三、解答题17.解：(1)2eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→))＝，2(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＋(eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→)))＝.2eq\o(OC,\s\up16(→))－2eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))＝，所以eq\o(OC,\s\up16(→))＝2eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)).(2)如图，eq\o(DA,\s\up16(→))＝eq\o(DO,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OA,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(2eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)))，故eq\o(DA,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up16(→))，故四边形OCAD为梯形．18．(1)证明：eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝－a－2b.所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))，又因为A为公共点，所以A、B、C三点共线．(2)解;eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(a＋b)＋(2a－3b)＝3a－2b，因为A,C,D三点共线，所以eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线．从而存在实数λ使eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(CD,\s\up6(→))，即3a－2b＝λ(2a－kb)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝2λ，,－2＝－λk，))解得λ＝eq\f(3,2)，k＝eq\f(4,3)，所以k＝eq\f(4,3).19．解：(1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(0,6)．(2)因为a＝mb＋nc，所以(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋4n＝3，,2m＋n＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,9)，,n＝\f(8,9).))(3)因为(a＋kc)∥(2b－a)，a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)．所以2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，所以k＝－eq\f(16,13).20．解：设D点坐标为(x，y)，则eq\o(AD,\s\up15(→))＝(x－2，y＋1)，eq\o(BC,\s\up15(→))＝(－6，－3)，eq\o(BD,\s\up15(→))＝(x－3，y－2)，因为D在直线BC上，即eq\o(BD,\s\up15(→))与eq\o(BC,\s\up15(→))共线，所以存在实数λ，使eq\o(BD,\s\up15(→))＝λeq\o(BC,\s\up15(→))，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3