高中数学北师大版1第三章圆锥曲线与方程 章末综合测评

章末综合测评(三)圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2023·山西太原月考)抛物线y＝ax2的准线方程是y－2＝0，则a的值是()\f(1,8) B．－eq\f(1,8)C．8 D．－8【解析】抛物线y＝ax2的标准方程为x2＝eq\f(1,a)y，所以－eq\f(1,4a)＝2，即a＝－eq\f(1,8).【答案】B2.如图1，已知圆O的方程为x2＋y2＝100，点A(－6,0)，M为圆O上任意一点，AM的垂直平分线交OM于点P，则点P的轨迹是()图1A．圆 B．抛物线C．椭圆 D．两条直线【解析】∵P为AM垂直平分线上的点．∴|PM|＝|PA|.又∵|OP|＋|PM|＝10，∴|PA|＋|PO|＝10.故P点的轨迹是以A，O为焦点，长轴长为10的椭圆．【答案】C3．(2023·吉林延边期末)设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA＝eq\f(π,4).若AB＝4，BC＝eq\r(2)，则椭圆的焦距为()\f(\r(3),3) B．eq\f(2\r(6),3)\f(4\r(6),3) D．eq\f(2\r(3),3)【解析】如图，设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，由题意可知，2a＝4，a＝2.因为∠CBA＝eq\f(π,4)，BC＝eq\r(2)，所以C(－1，1)．因为点C在椭圆上，所以eq\f(1,4)＋eq\f(1,b2)＝1，所以b2＝eq\f(4,3).由公式a2＝b2＋c2得c＝eq\f(2\r(6),3)，所以焦距为eq\f(4\r(6),3).【答案】C4．双曲线x2－4y2＝4的焦点坐标为()A．(±eq\r(3)，0) B．(0，±eq\r(3))C．(0，±eq\r(5)) D．(±eq\r(5)，0)【解析】依题意a＝2，b＝1，∴c＝eq\r(5)，又eq\f(x2,4)－y2＝1焦点在x轴上，∴焦点坐标为(±eq\r(5)，0)．【答案】D5．(2023·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()\r(5) B．2\r(3) D．eq\r(2)【解析】结合图形，用a表示出点M的坐标，代入双曲线方程得出a，b的关系，进而求出离心率．不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a，\r(3)a)).∵M点在双曲线上，∴eq\f(4a2,a2)－eq\f(3a2,b2)＝1，a＝b，∴c＝eq\r(2)a，e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).故选D.【答案】D6．已知双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()A．x2＝eq\f(8\r(3),3)y B．x2＝eq\f(16\r(3),3)yC．x2＝8y D．x2＝16y【解析】双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，由于eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝2，所以eq\f(b,a)＝eq\r(3)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(3)x.抛物线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，所以eq\f(\f(p,2),2)＝2，所以p＝8，所以抛物线方程为x2＝16y.【答案】D7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于eq\f(3,2)，则C的方程是()\f(x2,4)－eq\f(y2,\r(5))＝1 B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1\f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝1 D．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,\r(5))＝1【解析】右焦点为F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x轴上且c＝3.又离心率为eq\f(c,a)＝eq\f(3,2)，故a＝2，b2＝c2－a2＝32－22＝5，故C的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1，选B.【答案】B8．已知椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝()A．9 B．4C．3 D．2【解析】由题意得：m2＝25－42＝9，因为m>0，所以m＝3，故选C.【答案】C9．(2023·重庆高考)设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a＋eq\r(a2＋b2)，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－eq\r(2)，0)∪(0，eq\r(2))D．(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)【解析】根据双曲线的性质和两直线的位置关系求解．由题作出图像如图所示．由eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1可知A(a,0)，F(c，0)．易得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a))).∵kAB＝eq\f(\f(b2,a),c－a)＝eq\f(b2,ac－a)，∴kCD＝eq\f(aa－c,b2).∵kAC＝eq\f(\f(b2,a),a－c)＝eq\f(b2,aa－c)，∴kBD＝－eq\f(aa－c,b2).∴lBD：y－eq\f(b2,a)＝－eq\f(aa－c,b2)(x－c)，即y＝－eq\f(aa－c,b2)x＋eq\f(aca－c,b2)＋eq\f(b2,a)，lCD：y＋eq\f(b2,a)＝eq\f(aa－c,b2)(x－c)，即y＝eq\f(aa－c,b2)x－eq\f(aca－c,b2)－eq\f(b2,a).∴xD＝c＋eq\f(b4,a2a－c).∴点D到BC的距离为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b4,a2a－c))).∴eq\f(b4,a2c－a)<a＋eq\r(a2＋b2)＝a＋c，∴b4<a2(c2－a2)＝a2b2，∴a2>b2，∴0<eq\f(b2,a2)<1.∴0<eq\f(b,a)<1或－1<eq\f(b,a)<0.【答案】A10．椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦距为2c，若直线y＝2x与椭圆一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率等于()\f(2－\r(2),2) B．eq\f(2\r(2)－1,2)\r(3)－1 D．eq\r(2)－1【解析】当x＝c时，由eq\f(c2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得y＝±eq\f(b2,a).又交点在y＝2x上，所以交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a))).所以2c＝eq\f(b2,a)＝eq\f(a2－c2,a)＝a－eq\f(c2,a).所以2eq\f(c,a)＝1－eq\f(c2,a2)，即e2＋2e－1＝0，解得e＝－1＋eq\r(2).【答案】D11．(2023·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为eq\f(1,2)，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝()【导学号：32550099】A．3 B．6C．9 D．12【解析】根据已知条件求出椭圆的方程，|AB|＝2|yA|，只需求出|yA|即可．抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴椭圆中c＝2，又eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，从而椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，∴xA＝xB＝－2，将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3，由图像可知|AB|＝2|yA|＝6.故选B.【答案】B12．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口的直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的标准方程可能是()A．y2＝eq\f(25,4)x B．y2＝eq\f(45,4)xC．x2＝－eq\f(45,2)y D．x2＝－eq\f(45,4)y【解析】如果设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则抛物线过点(40,30)，则有302＝2p×40,2p＝eq\f(45,2)，所以所求的抛物线方程应为y2＝eq\f(45,2)x，所给选项中没有y2＝eq\f(45,2)x，同理若设x2＝－2py，则抛物线过点(30，－40)，求得抛物线方程为x2＝－eq\f(45,2)y.故选C.【答案】C二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PB,\s\up12(→))＝x2，则点P满足的方程为________．【解析】eq\o(PA,\s\up12(→))＝(－2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up12(→))＝(3－x，－y)，∴eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(PB,\s\up12(→))＝(－2－x，－y)·(3－x，－y)＝x2.即(－2－x)(3－x)＋(－y)(－y)＝x2，即y2＝x＋6.【答案】y2＝x＋614．过抛物线y2＝4x的焦点，作倾斜角为eq\f(3π,4)的直线交抛线于P、Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积等于________．【解析】设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，F为抛物线焦点，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x－1，,y2＝4x，))得y2＋4y－4＝0，|y1－y2|＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，S△POQ＝eq\f(1,2)|OF||y1－y2|＝2eq\r(2).【答案】2eq\r(2)15．双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，则mn的值为________．【解析】抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，∴双曲线eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1的焦点在x轴上．m＞0，n＞0，a＝eq\r(m)，b＝eq\r(n)，∴c＝eq\r(m＋n)＝1，∴e＝eq\r(\f(m＋n,m))＝2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,4)，,n＝\f(3,4)，))∴mn＝eq\f(3,16).【答案】eq\f(3,16)16．(2023·山东高考)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p>0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．【导学号：32550100】【解析】利用三角形垂心的性质建立关于a，b，c的等式求离心率．双曲线的两条渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，与抛物线方程联立得交点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2pb,a)，\f(2pb2,a2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2pb,a)，\f(2pb2,a2)))，抛物线焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即kBF·kOA＝－1，又kBF＝eq\f(\f(p,2)－\f(2pb2,a2),\f(2pb,a))＝eq\f(a,4b)－eq\f(b,a)，kOA＝eq\f(b,a)，所以有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4b)－\f(b,a)))eq\f(b,a)＝－1，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(5,4)，故C1的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(5,4))＝eq\f(3,2).【答案】eq\f(3,2)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(6),3)，短轴的一个端点到右焦点的距离为eq\r(3)，求椭圆C的方程．【解】设椭圆的半焦距为c，依题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(6),3)，,a＝\r(3)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\r(3)，,c＝\r(2).))∴b2＝1，∴所求椭圆方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.18．(本小题满分12分)若双曲线的一条准线为x＝4，其相应的焦点为(10,0)，离心率为2，求此双曲线的方程．【解】设P(x，y)是所求双曲线上的任一点，由双曲线的第二定义，得eq\f(\r(x－102＋y2),|x－4|)＝2，化简整理，得eq\f(x－22,16)－eq\f(y2,48)＝1.19．(本小题满分12分)直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：(1)相切；(2)相交；(3)相离．【解】将直线l和抛物线C的方程联立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1①，,y2＝4x②，))将①代入②，并整理，得k2x2＋2(k－2)x＋1＝0.当k＝0时，x＝eq\f(1,4)，y＝1，得交点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)).当k≠0时，方程为一元二次方程，所以Δ＝16(1－k)．(1)当Δ＝0，即k＝1时，l与C相切；(2)当Δ＞0，即k＜1且k≠0时，l与C相交；(3)当Δ＜0，即k＞1时，l与C相离．综上(1)k＝1时相切；(2)k<1且k＝0时相交；(3)k>1时相离．20．(本小题满分12分)求以(1，－1)为中点的抛物线y2＝8x的弦所在直线的方程．【解】设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝8x1，,y\o\al(2,2)＝8x2，)).①②由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)＝1，,\f(y1＋y2,2)＝－1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2，③,y1＋y2＝－2，④))kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1).⑤由②－①，得(y2＋y1)(y2－y1)＝8(x2－x1)，∴eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(8,y2＋y1).将④⑤代入上式可得kAB＝－4.∴弦所在直线方程为y＋1＝－4(x－1)，即4x＋y－3＝0.21．(本小题满分12分)点A，B分别是椭圆eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．【解】(1)由已知可得点A(－6,0)，B(6,0)，F(4,0)．设点P的坐标为(x，y)，∵PA⊥PF，∴kAP·kPF＝－1.由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1，,\f(y,x＋6)·\f(y,x－4)＝－1，))则2x2＋9x－18＝0，解得x＝eq\f(3,2)或x＝－6(舍去)．∴x＝eq\f(3,2)，由于y＞0，故y＝eq\f(5\r(3),2).∴点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5\r(3),2))).(2)易知直线AP的方程是x－eq\r(3)y＋6＝0.设点M的坐标为(m,0)，则点M到直线AP的距离是eq\f(|m＋6|,2).于是eq\f(|m＋6|,2)＝|m－6|，又－6≤m≤6，解得m＝2.故点M的坐标为(2,0)．椭圆上