2021年 北京海淀高三一模 数学

2021京海淀高三一模数

学2021.本试卷共6页150分考试时120分。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第部（择共40）一选题10题每小4分，40分在小列的个选中选符题要的一。1．海一模已知集合A＝，＝xx≥A∪＝，实数a的值范围是（∞、）（∞，1]】B

（＋）（），＋∞）2．海一模如图，在复平面内，复数z对应的点为．复数yP2-1x

i

的虚部为（）

（）﹣1

（）

（）2】A1/

3．海一模已知a}为差数列S为其前n项．若a＝S＝，则a＝nn551（）﹣

（）﹣4

（）3

（）﹣】4．海一模在

(x)

的展开式中x4

的系数为12，则的为（）

（）﹣2

（）1

（）﹣】B5．海一模函①(xsinx，②fx)cosx，

f()(

中，周期是且奇函数的所有函数的序号是（）①②（）②（）③（D）②③】D6．海一模已函数(x)足(1)f)，当x＞时，f(x)logx，ff(2（）﹣

（）﹣1

（）1

（）3】7．海一模已知a，是位向量＝＋2，若⊥，c＝（）

（）

（）3

（）】2/

21nn21nn8．海一模已知点xx)11率为的

，xx2)2

，C(0,)，eq\o\ac(△,“)是边三角是直线AB的斜4（）充分而不必要条件（）充分必要条件】A

（）必要而不充分条件（）既不充分也不必要条件9．海一模设无穷等比数列{a的项为S若a＜＜，nn121（）S为递减数列（）数列有大项】D

（）S}为递增数列n（）数列S有最小项n10．海淀一模我魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为牟方的立体图形来推算球的体积，如图，一个棱长为2的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合盖，如图，设平行于水平面且水平面距离为的平面为，记平面a截牟合方盖所得截面的面积为，函数S＝f(h)的图象是水平面1

23/

SaO2a（）S

（）aO2a（）（）】D第部（选题分二、填空题共5小，每小题5，共25分。．海一已函数f(x＝＋若曲线＝(x点（，）处的切线的斜率为2则实数的是____________．】﹣112．海一模已双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率．213．淀一模已点O，，(1，，m0)(m＞则4/

,

=_____________

51123511234123若是OA为的矩形的项点，则m＝．

14．海一模若数，满方程组

，则的一值是_．2】0答案不唯一．满足k或3

2,kZ

即可．15．海淀一)对平面直角坐标系xOy中两组点，如果存在一条直线ax＋＝使两点分别位于该直线的两侧，则称该直线“类直”对于一条分类直线，记所有的点词的距离的最小值为，约定d越，分类直线的分类效果越好，某学校高三）出的位同学在2020年期间网购文具的费x（单位：百元）网购图书的费用y（位：百元）的情况如图所示，现将，，和P归第组点，樽QQ，归为第II组点，在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为L给出下列四个结论：百元）

O1.5

QQ

Q

百元）①直x＝2.5比线－－＝的类效果好；②分直线L的率为；③该另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元则小明的这两项网购花销的5/

11费用所对应的点与第II组位于的侧；④如从第组点中去掉点P，组保持不，则分类效果最好的分类直线不是L．其中所有正确结论的序号．】②③④三解题6小，85分。答写文说、算骤或明程16．海一模如，在四边形ABCD中ABCD，＝，CD＝，＝

，cos

ADB

13

．

D（）cosBDC；（）BC的．

B解：（）在△ABD

中，因为cos

63

，

13

，所以A1

32，ADB1cos．33所以

cosABDADB)AsinAsin)

61．3339因为//CD，所以ABD．6/

所以cosBDCcosABD

69

．（Ⅱ）在△ABD

中，由正弦定理得

BDABsinAsin

．因为

，所以

6

．因为

CD

，在△CBD中由弦定理得BDCDBD

69

．所以BC1117．海一模在图所示的多面体中ABCD，四边形ACFE为形，AB＝＝，ADCD＝2．（）证：平面平CDF；（）平面∩面CDFl，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择若干个作为已知，使二面角B－的小确定，并求此二面角的余弦值．条件①AB⊥；条件②AE⊥平面ABCDF

条件③：平面AED⊥面ABCD．7/

解：（）因为四边形为形，所以//AE．

，又因为AB/CD，ABA平，平，

F

DCD平面，平CDF，

所以平面ABE//平CDF．（Ⅱ）选择①②，或①②③

C因为AE面，AB面，AD平ABCD，所以AEAB，．又因为AD，所以分别以，AD，AE所的直线为，y轴，轴立如图所示的空间直角坐系，由题意得B，E(0,0,1)，所以，BF．

．设平面的法向量为nx,y,z

，则

BE

即

xy0.令x，y

，z．于是n1,1)

．由（Ⅰ可得：AD面．取平面CDF的个法向量为

．所以cosn

mm||n

33

．8/

所以二面角B的弦值为选择①③

33

．因为平面AED平ABCD，面AEDABAD，AB平ABCD，所以平面AED．又因为平，所以．在矩形，AEAC．

平面ABCDAD，因为AB平ABCD，平，

AC

，所以面．又因为AD面ABCD，所以AE．分别以AB，，所的直线为x轴，y轴轴立如图所示的空间直角坐标系，由题意得B(1,0,0)，，(2,2,1)所以BE1,0,1)，BF(1,2,1)

．设平面的法向量为xyz

，则

即xy令x，

，于是n(1,

．由（Ⅰ可得：AD面CDF．9/

2020取平面CDF的个法向量为m(0,1,0)

．所以,n

m．|m||n3所以二面角B的弦值为．318．海一模每的月日是联合国教科文组织确定世界读书”，又称世界图书和版权日，了解某地区高一学生读时间的分配情况，从该地区随机抽取了00名一学生进行线调查，得到了这500名生的日平均阅读时单：小时，将样本数据分成，2]，，，(4，，，，，，12]，，16]，，九，绘制成如图所示的频率分布直方图．频率组距0.15a0.050.040.030.020.01

246810121418

日平阅读时间（小时）（）值；（）进一步了解这500名生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在（，，三内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人、现从这人随机抽取3人记平均阅读时间在14，内学生人数为，X的布列；（）调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，（）表示这名生中恰有k学生日平均阅读时间在10，单位：小时）内的概率，其中＝0，，，，．当P（）最大时，写出k的值需出结论）2010/

33132133313213解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得：20.050.050.150.050.04解得．（Ⅱ）由频率分布直方图可知，这名生中日平均阅读时间在组内的学生人数分别为人人，500人若采用分层抽样的方法抽取了10人则从日平均阅读时间在人50

内的学生中抽取了现从这10人随机抽取3人，则的能取值为，1，，3．

610

，6C601PX4，12010

C46，1201010

CC

412030

．所以的分布列为XP

0

3（Ⅲ）

．19．海一模已函数()＝sin．11/

0000π（）断函数f(x)区间(，)上单调性，并说明理由；2π（）证：函数f(x在，内有且只有一个极值点；2（）函数g(x)＝

(x)

在区间1π]上的最小值．解：（Ⅰ）由题意知，fsinxπ因为(0，)，所以f

π所以f(x)在(0，)单调递增．2（Ⅱ）设h)f

，

2cosxsinxπ当x)2所以hx)f

时，h．在)内调减．2π又因为f)，f2

，π所以存在唯一(π2

，使得f

．f()

π与fx在区间(π)xf)f()

上的情况如下：π(，)2极大值

(π)12/

π所以f(x)在)内且有一个极值点．2（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，f()

在x)

内单调递增，在(,π)

内单调递减．又因为

f(1)

，f()所以当xπ]，f(x)．又因为当π]

时，0xπ，所以g()

f(x)1lnxlnπ

，当且仅当x

时等号成立．所以()在π]的最小值为

π

．20．海一模已椭圆M：

yb

(a＞＞过A－，，(0，两点．（）椭圆M的离心率；（）椭圆M的顶点为C，点在圆M上P不与椭圆M的点重)直线AB与直线CP交于点Q，线交x轴点S，求证：直线SQ过定点．解：（Ⅰ）因为点，B(0,1)都椭圆M上所以a，b所以

a

3

．所以椭圆M的心率

e

c3a

．（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知椭圆的程为

4

，

．13/

ss由题意知：直线的程为2y

．设P(xy)

（y，）Qyy)，S

．因为C,PQ三共，所以有CQ．所以(2)y(2y所以y0y

．所以

yxQ,)．因为BS,P点共线，所以

yxs0

，即x．yx所以S(1y

,0)

．所以直线的程为x

yxy1xyyy

，x2yx即x000yy(1)100

．又因为点P

在椭圆M上所以

y．所以直线QS的程为

y

(y．所以直线QS过点(2,1)方法二：直线QS过点，理由如下：14/

42nnn42nnn设直线

1为（k且k）12直线CP为yx

（0

且k）．所以直线BP与

轴的交点

1S

．因为直线AB的程为

x所以直线

与线AB的点Q(

4k4k,2

．所以直线的率k

2

1，直线的率．所以

1(k)11k)224

．将kx

代入方程y得

0

．所以点的横坐标为x

84

，则

4k4k

．将点P的标代入直线CP的程k(2)

，整理得k

kkk

k．所以

kk

因为2k所以1k2k4k0所以k

．所以直线QS过点T(2,1)．21．海一模已无穷数列a，对于m∈N*，若a同时满足以下三个条件，则称数列a}15/

nnnnnnnnTannnnnnnnTann具有性质)．条件①：＞（＝，，n条件②：存在常数T＞，得≤（＝，，n条件③：＋＝（＝，，…nn+1n（）＝＋

×()

（＝，，数{a具性质P)，接写出m的和一个T的值；（）否存在具有性质的数列a}？若存在，求数a}的通项公式；若不存在说明理由；（）数列a具有性质m，且各项均为正整数，求数{a}的项公式．解：（）m；案不唯一，如．（Ⅱ）不存在具有性质的数列{}理由如下：假设存在具有性质P的数列，设为{}则