2021届高考数学教学案第章 第7讲 解三角形应用举例含解析

学必求其心得，业必贵于专精届数学人教一轮创新学案：第第讲解三形应用举含解析第

解三角应举例［考纲解读]能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题重点）2．利用正、余弦定理解决际问题，主要考查根据实际问题建立三角函数模型，将实际问题转化为数学问题．点)［考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个考查内容．预计会强化对应用问题的考查．以与三角形有关的应用问题为主要命题方向，结合正、余弦定理求解平面几何中的基本量实际背景中求距离、高度、角度等均可作为命题角度．试题可以为客观题也可以是解答题，难度以中档为主。对应学生用书P0821.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线错!上方的角叫仰角，在水平线错!下方的角叫俯角图①)

学必求其心得，业必贵于专精2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角如B点的方位角为α(图②3．方向角相对于某一正方向的水平角．（1）北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③)．北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．）南偏西其他方向角类似．4．坡角与坡度（1）角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④i为坡度坡度又称为坡比．1．概念辨析东北方向就是北偏东45°的方向

)从望的仰角为α从处望的俯角为β则αβ的关系为α＋β＝180°

)（方位角方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()位角大小的范围是[0,2π角大小的范围一般是误.（）答案

(1)√

（）（3）

（4)√

学必求其心得，业必贵于专精2．小题热身某测量中设A在B的南偏东34°27′则在（

)A．北偏西34°27′．北偏西55°33′

B．北偏东55°33′．南偏西34°27′答案解析

A由方向角的概念知，B在北偏西34°27′.（2）已知AB两地间的距离为10km，，两地间的距离为20，现测得∠＝120°，则A两地间的距离为（）A．10km．10错!km

B．10错误km．10错!答案

D10

解析由余弦定理可得，AC22＋202×10×20×错＝700。

＝AB

＋

－ABCB＝∴AC＝10误!(km)．如图所示设,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点，测出,的距离为m∠ACB＝45°∠＝105°后就可以计算出，B两点的距离为_。答案解析

502在△ABC中，ACB＝∠CAB＝，所以ABC＝180°－－＝30°，又因为＝50m，所以由正弦定理得＝错!＝误!＝错误!（．

学必求其心得，业必贵于专精（如图从无人机A上测得正前方的河流的两岸，C的俯角分别为，此时无人机的高是m则河的度约于________m用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0。92cos67°≈0.39，n37°≈0.60cos37°≈0.80，≈1。73)答案解析

60由图可知＝错!在△ABC中由正弦定理可错误＝错!，所以BC＝误＝错!错!＝60(m题型一

对应学生用书P083测量距离问题1．一艘船以每小时15的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M北偏东60°方，行驶h，船到达处，看到这个灯塔在北偏东方向，这时船与灯塔的距离为（）A．15误km．45错!km

B．30错误km．60错!答案解析

B作出示意图如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠＝60°,∠＝，∴∠MAB，∠＝在△AMB中，由正弦定理，得错误!＝误，解得BM＝302.

sin15°学必求其心得，业必贵于专精sin15°2．(2019·宁德模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的蓝洞的口径B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，D得＝80,∠＝135°，∠＝∠DCA，∠ACB120°则，B两点的距离为________．答案

80

错解析

由已知，在△ACD中，＝，∠＝150°，所以∠＝15°，由正弦定理，得80sin150°＝＝误＝错误＋错误)，在△BCD，∠＝∠＝135°，所以∠＝由正弦定理错!＝误!，得＝错!＝误!＝160sin15°＝40(误－错误）;

学必求其心得，业必贵于专精在△ABC中，由余弦定理,AC2＋2－2·∠1600×（8＋错误）＋（8－错误＋2×1600×（误＋错!（错!－误)×错!＝1600×161600×4＝32000，解得＝误，则，点的距离为80误。（1）测量距离问题无论题型如何变化，即两点的情况如何变化，实质都是要求这两点间的距离，无非就是两点所在三角形及其构成元素的所知情况不同而已，恰当地画出找出）适合解决问题的三角形是解题的基础，将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键．）求距离题的两个策略①选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解．②确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用，就选择更便于计算的定理．如图在海岸线上相距错!千的A两地分别测得小岛B在A的北西α方向在的北偏西错!－向，且＝误!,则，之间的距离是（

)

学必求其心得，业必贵于专精A．30误千米．12错!千米

B．30米．12千米答案解析

D由题意得AC＝26,＝错!＝cos＝误，＝错!＝cos2＝21＝错!，在△ABC中由正弦定理得＝错!＝误!＝12，则B与的距离是12千米．题型二

测量高度问题12019·长沙一中模拟）如在路边安装路灯，路宽为OD灯柱高为10，灯杆AB长为1m，且灯杆与灯柱成，路灯采用圆锥形灯罩,其轴截面的顶角为2，灯罩轴线AC与灯杆垂直．若灯罩截面的两条母线所在直线中的一条恰好经过点，另一条与地面的交点为E则该路灯照在路面上的宽度OE长是________。答案解析

错!在△AOB,由余弦定理可得＝误!由正弦定理得sin∠BAO＝错误!，因为∠BAOθ＝错误!，所以cos＝∠BAO＝错误!＝错!,则sin2θ＝2sinθ＝错误!

学必求其心得，业必贵于专精易知∠＝60°，则sin∠＝（－错!，在△AOE，由正弦定理可得OE错!＝误m.2．如图小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在处测得公路上，C两点的俯角分别为30°，45°，且＝若山高AD＝m,汽车从B点到点历时这辆汽车的速度约为_______m/s（精确到0.1)．参考数据：错!≈1.414，错!。答案解析

22。因为小明在处测得公路上BC两点的俯角分别为30°，所以∠BAD＝∠CAD＝设这辆汽车的速度为，则BC＝v在eq\o\ac(△,Rt)ADB中，错!＝误＝200。在eq\o\ac(△,Rt)ADC中＝错!＝误!＝误!.在△ABC中由余弦定理，得2＝ACAB2ACBAC，所以14v)＝（100错!）2＋22×100误!所以v＝误≈226,所这辆汽车的速度约为22.6m/s.求解高度问题的注意事项（1）理解仰角、俯角（它是在铅垂面上所成的角)方向(位）角（它是在水平面上所成的角）等的定义．（在实际题中可能会遇到空间与平（地面)时研究的

学必求其心得，业必贵于专精问题，这时最好画两个图形，一个空间图,一平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错．如举例说明。注意山或塔垂直于地面或海平面空间问题转化为平面问题．1．如,在地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为山脚A的俯角为已知∠BAC＝60°，则山的高为()A．700m．600m

B．m．560m答案解析

在eq\o\ac(△,Rt)AMD中AM＝误＝错!＝400误（在△MAC中，∠AMC＝15°＝，∠＝45°－＝75°，∠MCA－∠－MAC＝正弦定理得AC＝错误＝错!＝错（eq\o\ac(△,Rt)ABCBC＝sin∠＝400错误!＝（m2．如图所示，为测量山高MN选择A和另一座山的山顶为测量观测点．从测得M的仰角∠MAN＝C点的仰角∠CAB＝45°及∠MAC＝从C点测得∠＝60°.已知山高＝100m,则山高MN＝

学必求其心得，业必贵于专精________m.答案解析

150在△ABC中,＝1002在△MAC中误＝错!解得MA＝错误!在△中错误!sin60°＝误故MN＝，即山高为150m题型三

测量角度问题1在某点测得建筑物AE的顶端A的仰角为θBE方向前进30至点C处测得顶端A的仰角为θ继续前10错!至D点，测得顶端仰角为4则θ的大小为________答案解析

在△ACD中，AC＝＝，＝CD＝10错!,∠＝180°－θ,由正弦定理得错!＝误!，所以错!＝误，＝错!，所以θ＝，＝2．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东向，相距12mile水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时n的速度沿南偏东75°方向前进若红方侦察艇以每小时

学必求其心得，业必贵于专精14mile的速度沿北偏东α向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α正弦值．解

如图，设红方侦察艇经过小时后在C处拦截住蓝方的小艇则AC＝14x＝10x∠＝120°.根据余弦定理得x

＝12

2

＋(10

－240cos120°，解得x＝故AC＝28，＝20。根据正弦定理得错!＝错!，解得sin＝误!＝误。所以红方侦察艇所需的时间为小时，角α正弦值为错!.解决测量角度问题的注意事项（1）测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．（求角的小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．（3在解应用题时要根据题意正确画出示意图通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理"使用的优点．如图所示位于处的信息中心获悉:在处的正东方向相距海的B处有一艘渔船遇险，在

学必求其心得，业必贵于专精原地等待营救信息中心立即把消息告知在A处的南偏西30°相距海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线前往救援则cos等于(

）A。错!

B.

错。

错!

D.

错!答案解析

B在△ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝由余弦定理得BC2＝ABAC2－AB＝以＝207.由正弦定理得ACB＝误·sin∠＝错误!。由∠＝120°知∠ACB为锐角故cos＝错!故cos＝∠ACB＋30°）＝cos∠·cos30°－∠ACB＝错!.对应学生用书P285组

基础关1．如图所示，为了测量某泊两侧AB间的距离，李宁同学首先选定了与，B不共线的一点C（△ABC的角，B，所对的边分别记为a,c然后给出了三种测量方案：①测量，,②测量，b,C；③测量，B，a。则一定能确定A间的距离的所有方案的序号为（）A．①②

B．②③

sin45学必求其心得，业必贵于专精．①③sin45

．①②③答案解析

D知两角一边可用正弦定理解三角形故案①③可以确定B间的距离，知两边及其夹角可用余弦定理解三角形，故方案②可以确定,B间距离．2．如图所示，一座建筑物的高为(30－10，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD。在它们之间的地面上的点M(，M，D三共线）处测得楼顶A，塔顶仰角分别是在楼顶测得塔顶C的仰角为，则通信塔CD的高为()A．30．303

B．60m．403m答案解析

B在eq\o\ac(△,Rt)ABM中AM＝误＝错!＝错!＝20错误m点A作AN⊥CD于点，如图所示．易知∠＝∠AMB15°,所以∠MAC＝30°＋15°45°.又∠15°－60°105°,MC所以∠＝。在△AMC中，由正弦定理得＝错误，解得MC＝40误．在eq\o\ac(△,Rt)CMD中,CD＝40误×sin60°＝故通信塔的高为60m.

学必求其心得，业必贵于专精3．如图，两座相距60的建筑物AB，的度分别为BD为水平面则从建筑物AB的顶端建筑物CD张角∠等于（

)A．．

B．45°．答案解析

B依题意可得AD＝2010＝305m,又CD＝50，所以在△中，由余弦定理得cos∠＝错!＝误＝错误＝错!,又

0°<∠CAD所以∠＝，所以从顶端A看建筑物的张角为45°.4．如图所示，一艘海轮从出发,测灯塔在海轮的北偏东向，与海轮相距20nmile，海轮按北偏西60°的方向航行了min到达处，又测得灯塔在海的北偏东75°的方向上，则海轮的速度为()A。错!nmile/min．错!nmile/min

B。误!nmile/min．10错!答案

A

学必求其心得，业必贵于专精解析错!所以

由已知得∠ACB45°，B，由正弦定理得错!＝＝错!＝错!＝10错!,所以海轮航行的速度为错误!＝错!mile/min)5如图测量河对岸的塔高时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD＝15°,∠＝＝30，并在点处测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于（）A．6

B．15．

错!

．15

错答案解析

D在△BCD中，∠CBD＝－＝135°。正弦定理得错!＝误所以BC＝15错!在eq\o\ac(△,Rt)中＝BC∠ACB＝15错!×误!＝15错!。6．线段AB外有一点,∠ABC＝60°,AB＝200km，汽车以km/h速度由A向行驶,同时摩托车以50km/h的速度由C行驶，则运动开始________后，两车的距离最小．答案解析

错!如图所示设t后汽车由A行驶到D摩托车由驶到E则AD＝，BE＝50t因为＝所以BD＝200－t问题就是求DE最小时t的．由余弦定理得＝BD22BD＝80t)2＋25002－－t）t＝t242000＋。

学必求其心得，业必贵于专精当t＝错误时DE最小．组

能力关1．如图，为了测量某湿，点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点D，E。从D点测得∠＝67。5°，从点测得∠ACD＝45°,∠BCE＝75°，从E点测得∠＝测得＝错误!，＝错误(位：百米)，则,B两的距离为（

)A.

错!

B．2

错．

．

错答案解析

根据题意，在△ADC中，∠＝45°,∠＝67.5°3，则＝－－67.5°＝。则＝23在△BCE，∠BCE＝∠BEC＝60°,＝错误则∠EBC＝180°－－＝则有误＝错!,变形可得BC＝误＝错误!＝错!,在△ABC中AC＝错误＝错误∠ACB＝180°－－∠BCE＝60°,则AB2

＝AC2

＋2

－ACBCACB＝9，则AB＝22019·惠州调研)如图所示在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角山坡的A处测得∠＝，沿山坡前进50到达，又测得∠DBC＝

学必求其心得，业必贵于专精根据以上数据可得cos＝________。答案解析

3－由∠＝15°，∠DBC＝，可得∠＝135°，＝在△ABD中，根据正弦