2021届高考内、外接球的冲刺专题(原卷版)

2021届高考内、外接冲刺专题一、几类常用的结论设R为外接球的半径：类型一：正棱椎、圆锥公式：=

l2

l是侧棱或母线长，h是正棱椎或圆锥的高）类型二：长方体、正方体或者能够快速补成长方体或正方体的几何体公式R

a

2

2

2

2

（、、分别是长方体的长、宽、高）类型三：有侧棱垂直底面的椎体或柱体（棱柱、圆柱、棱锥、圆锥）h公式：R（)2

2

2

是侧棱长，r是底面外接圆的半径）备注：三角形外接圆半径（1）直角三角形：斜边的一半。（2）一般三角形：正弦定理求解。（

abcR）AsinC（3）球与截面圆圆O的连线垂直于截面圆及球O与弦中点的连线（3）二、几类常见几何体球心的位置⑴长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点⑵正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点⑶直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心连线的中点⑷正棱锥的外接球球心在其高上体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.⑸若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形公共斜边的中点就是其外接球的球心.三、几类常见长方体、正方体补形法⑴正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥⑵同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥⑶若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体⑷若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体1

四：常见几何体的外接球小结1、设正方体的棱长a求（1）内切球半径；）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。（1）截面图为正方形EFGH的内切圆，R

a2

；（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图2。作截面图，O为正方形EFGH的外接圆，易得R

22

a（3）正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图3，以对角AA作截面图得，O为矩形AACC的外接圆，易R

32

a。图1

图

图32、正四面体的外接球和内切球的半径（正四面体棱长a也是球心）内切球半径为：r外接球半径为：R

61264

aa正四面体的高：h

63

a球O为正四面体高的四等分点，内心、外心两心合一。2

一、基础过关12021·林长春市高其他模拟（理））已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为（）A．

B．

5

C．

．

2天高三二模矩形

ABCD

的顶点都在半径为4的

的球面上

，BC，则棱锥ABCDA．3C．243

的体积为（）B．8．363．（全国高三专题练习（文））已知正四面体P接于球O，E底面三角形

一边的点，过点作球

的截面，若存在半径为的面圆，则正四面体

ABC

棱长的取值范围是（）A．[2，C．[23]

B．[．[24川高三月考（文））一块边长10cm的正方形铁片如图所示的阴影部分截下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器个正四棱锥的外接球的表面积为（）A．

2894

B．

28916

C．

．

5西高三三模（理））在三棱ABC中，是边三角形，顶在底面

的投影是底面的中心，侧V

侧面

AC

，则此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为（）A．

B．

C．

39

．

93

6．（江西上饶市高三三模（理））罗德岛太阳神巨像是古代世界七大迹之它是希腊太阳神赫利俄斯的青铜铸像如图所示阳神赫利俄斯手中所持的几何含火焰近似是一个底面相同的两个圆锥合在一起方向投影过去平面几何图形形状是上方内角为60为的.在其中一个圆锥中放置一个球体，使得球与圆锥侧面、底面均相切，则该球的体积为（）A．

481

B．

4327

C．

827

．

32277．（全国高三其他模拟（文））在三棱锥

中，ABAC7,tanBAC积是（）

32

此三棱锥的体积最大时三棱锥外接球的体A．π

B．

C．

3

．

928．2021·天高三二模）在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．已知四棱锥MABCD为马，侧棱MA底面ABCD，MA

，

，．若该四棱锥的顶在都在同一球面上，则该球的表面为（）A．

B．20

C．

25

．

4

二、强化训练1．2021·江高三其他模拟（理））在三棱P

中，

△

是等边三角形，平面

平面ABCAB360，三棱锥P的接球体积为（）A．

3

B．

3

C．

3

．

2．川雅安市高三三模（理））在四面体ABCD中，已知平面ABD平

，且

ADDBACCB

，其外接球表面积为（）A．

403

B．

803

C．

．

3西西安市西北工业大学附属中学高三其他模拟）已知四面体ABCD的每个顶点都在球的表面上，

AC

，

，

底面ABC，为

ABC

的重心，且直线DM与底面所角的正切值为

12

，则球的表面积是（）A．

623

B．

6349

C．

6719

．

25099

4．2021·河郑州市·三二模（文））已知三棱锥的各顶点都在球的表面上，面ABC，AB，，AC，是线段

上一点，且

．过点D球

的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28

，则球的面积为（）A．

128

B．

132

C．

144

．

1565．（全国高三其他模拟）已知三棱锥

ABC

中，点D平面

ABC

上的投影恰为点A，，F分为棱BC，CD的中点，直线DE，BF相于点，直线DG平面

ABC

所成角为若AC

33

3，三棱锥

ABC

外接球的表面积为（）A．98π

B．

π

C．

π

．

π5

6．2021·千县中学高三其他模拟（文））某四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的内切球的半径为（）A．

B．22

C．

．27．（全国高三其他模拟）在正四棱锥

中，2，

，点

为四棱锥

外接球球面上一点，且点，Q不平面ABCD

的同一侧，则三棱锥ABC

体积的最大值为（）A．12B．

274

C．

814

．8北石家庄市高三二模在三棱锥ABC中面ABC，，2，a，动点从B点发，沿外表面经过棱PC上点到点A的短距离为10，该棱锥的外接球的表面积为（）A．5

B．

C．

10

．

9．东高三一模）切割是焊接生产备料工序的重要加工方法，各种金属和非金属切割已经成为现代工业生产中的一道重要工.焊工件所需要的几何形状和尺寸，绝大多数是通过切割来实现的原料利用率是衡量切割水平的一个重要指现把一个表面积为28球形铁质原材料切割成为一个底面边长和侧棱长都相等的正三柱工业用零配件该零配件最大体积为（）6

A．B．3

C．D．

3102021·黑江齐齐哈尔·高三二文某圆锥的侧面展开后是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（）

A．

243256

B．

C．

128729

．

11．西太原市高三一模（文））已知正四面体BCD的长，点E在AB上

作面体

外接球的截面所作截面面积最小值）A．

103

B．3

C．

3

．

12．陕西安市高三二模（文））已知四棱锥P底面ABCD是形，其中AD，AB，，，直线PB与CD所角余弦值为

31313

，则四棱锥外接球表面积为（）A．

283

B．

3

C．

433

．

313．四成都市高三三模（文））在三棱锥

ABC

中，已知面

，ABAC，BAC的半径为（）

23

.若棱锥PABC的顶点都在球O的面球A．

B．2

C．3

．14．2021·江赣州市高二模（文））如图，菱A的长为6，BAD

3

，将其沿着对角线BD折至直二面角

A

，连接

AC

，得到四面体

，则此四面体的外接球的表面积为（）7

A．

56

B．

72

C．36

．6015．全高三月考（文））已知面积为

334

的

的顶点都在球

的球面上，

，点是

的球面上一动点，且点D到面

的最大距离为

3

，则球

的表面积为（）A．

25

B．

509

C．

．

16（2021·安徽高三月考（文）已知三棱ABC

的每个顶点都在球

的球面上，平面ABC平面，，，AB，PB，三棱锥ABC

外接球的表面积为（）A．

503

B．

C．

．32

．2021·北襄阳市襄阳五中高三二模）蹴鞠（如图所示），又蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的.因蹴鞠就是指古人以脚蹴、塌、踢皮球的活动，类似今日的足.

年日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗传名.知某蹴鞠的表面上有四个点S、A、B、

C

，满足

SABC

为正三棱锥，是

SC

的中点，且

AM

SB

，侧棱

2

，则该蹴鞠的表面积为（）A．

B．

C．32

．

3618．浙高三专题练习）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O面，圆锥的侧面展8

323323开图的圆心角为

2

，面积为3，则球O的面积等于（）A．

818

B．

812

C．

．

19．全高三专题练习）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥PABC为鳖臑⊥平面ABC＝＝AC4，棱锥的四个顶点都在球的面上，则球O的表面积为（）A．π

B．

C．20π

．π20．2021·射县第二中学高二学考试）已知球O是棱锥PABC的接球，

，则点到面

的距离取最大值时球

的表面积是（）A．

163

B．

C．27

163．321．山烟台市高三二模）在一次综合实践活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型，底面

为边长是4的方形，半圆面底面

经究发现当在圆弧AD（含A，D点运时三锥的外接球始终保持不变，则该外接球的表面积．22．全高三三模）我国古代数学名著《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱棱垂直于底面的三棱柱称“堑堵棱柱

BC11

为一个堑”，底面

是以

为斜边的直角三角形，

如三棱柱

BC11

有半径为9

1的切球，则三棱柱

C的接的面积为．11

三、综合提升1．（四川宜宾·高三二模（理））在三棱锥

中，

ABC

是边长为的等边三角形且平面ABC平面，三棱锥DABC的个顶点都在同一个球面上，且该球的表面积为

，则三棱维

D

体积的最大值为__________.2．（山西临汾市高三一模（理））在棱长为2的方体

ABC111

中，平面

B1

，则以平截方体所得的截面面积最大时的截面为底面以B为顶点的锥体的外接球的表面积为（）A．

B．

253

C．

203

．

3．（全国高三其他模拟（理））在四棱锥

P

中，已知面ABCD,BCADCD且PAAD2的体积为（）

则该四棱锥外接球A．4

B．

203

C．

203

．54．千阳县中学高三其他模拟（理））《九章算术中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称“堑堵一“堑堵沿一顶点与相对的棱剖开到一个阳马(底面是矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱)和个鳖”四面均为直角三角的四面.在如图所示的堑堵（）

BC11

中，BB，，.下列结论中正确的是A．堑堵

BC11

的内切球半径为3B．马

11

的外接球的表面积为

1

C．点MN分别在线段上，则M1

的最小值为面ABC

分别截堑堵

BC11

所得上方部鳖

ABB1

的下方部分的体积之比为：5．（全国高三专题练习（理））已知四面体

是球

的内接四面体，且球

的一条直径ADBD

有下面四个结论

的表面积为1

AC上存在一点M得AD/BM

若为CD的点ON面体

体积的最大值为

.其中正确结论的个数是（）A．

B．

C．

3

．462021·曲市第二中学高三二（如在梯形ABCD中AB//，D，将该图形沿对角线折成图的三棱锥B且，ADCD2则此三棱锥外接球的体积___________.

2

，7．（全国高三专题练习）已知半球与台OO的底面，圆台上底面圆周