2021届浙江高三2-3月卷立体几何大题汇编(教师版)

2021届浙江高三立体几大题汇编：知四边形，CAD

，AB

AD，沿AC翻折至PAC．（1）若，求证：APCD；（2）若二面角PD的弦值为求PD平面PAC所角的正弦值．

，2：图，三棱锥P中，

BC

，

面P，E，F分为，的点．

F（）证：；

（）PB与平面所成角的正弦值．

3P3PAACACP；PFPAC

F4：三棱锥BCD中ABBD

,

BCDC2

,2．（）证：；（2若为上一点，且AP

，求直线与面所成角的正弦值．

5：如图三棱柱DEF所有棱长均1

，且四边形为方形，又AB．（）证：DE；（）直线AB和面ACF所成角的正弦值．如知棱锥P中平面平面PBCBC点在平面内射影恰为PCE的重心G．（1）证明：BCAB；（2）求直线与面PBC所角的正弦值．

BE2

,：如图三棱台ABCDEF中ADCFCB

DF．（3）证明：

；（4）若DE，与面ABC所成角的正弦值．

：ABCDEFABCD，ABAD2

BAD

AC，BDOOA，AE，CFABCD．1DE

BCF

2CF

，

BFD

：本题满分分）在四棱锥P

中，AB∥CD，AD，DAB，为腰直角三角形，PA2，CD端点（Ⅰ）求证：CD∥平面M

的平面分别交线段,于M，E在线段DP上．

MN,E

不同于（Ⅱ）若为DP的点，且DM平PB

，求直线PA与面MNE

所成角的正弦值．ABCDBC22EADCDE△PB32PC

：如，在四锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC,ABC2AD2，面平ABCD．（1）证明：BD面；（2）若

PDPC2

，求三棱锥的积．12：三棱锥ABCA1

中在腰直角中ACB

，BC，

点A

在平面ABC上投影在边中点E，分为CC，B1平面（1求证：//

的三等分点（靠近于、A

处）（2求直线A与面所成角的正弦值13：图，在四边形MACB中，5，BC，2，MA，MB将MAB沿直线折，使得四面体中BC(1)求证：PA(2)若E为的中点，求直线与平面所角的正弦值

421届浙高三2-3卷例题几何大题汇编4：知四边形，CAD

，AB

AD，沿AC翻折至PAC．（1）若，求证：APCD；（2）若二面角PD的弦值为求PD平面PAC所角的正弦值．方提与析嘉赵学

，解）不设

AD

，则，PAPD，

PA

PD

，90

即APPD

PC，

,平PCD，CD．（2）过作于E，延长交CD于F，结，过P于O过作DM平PAC于M，连结PM则PM是PD平面PAC内射影，则即所求角．ACEFAC

，PEF就二面角PAC的面角，即cosPEF

．不妨设

AD

，则，PE，PC，E为的中点，

AD,EFAC

，AD//EF，F为CD的点，EF

，PEF中由余弦定理可知

121)，2PF，PC

，

513PCD2

，PD

7

，PD．BEEFBE

EFE

，AC平PEF，，

EF

，平ACD，

，PEO

PO

体可知V

，DM

，sin

DM2105，PD与面PAC所成角的正弦值为．PD4142：图，三棱锥ABC中

BC

，

面PAC，E，F分为AC，PB的点．

F（）证：EF；

（）PB与平面所角的正弦值．方提与析（江波成）

P

（）解（何）连接PE，，易得AC，为P，

FEA

B

3所以PB，由B3

，所以平面，而EF平，以ACEF．（）解（标）由（1）得，AC平面，以PBE就是PB与面所角，不妨设PA，在等腰三角形PAC中，PAPC

3

，所以PE

12

，在等边三角形ABC中BE

32

，所以PBE

13

1，即PB与平面所角的正弦值为．33ABC3PAPBACABP60

．PF；

方提与析（海贤健

F解CB

z，以MBAB．

因为

AB3

PA，所以

，所以PB．

y所以PBM是PPBM

，又BM，

F

M

H所以PBBM，以△PBM是边长为的边三角形．取线段的点H，接PH，PH．

如图，分别以、AB为

轴、y轴，过点平面垂的直线为

轴，建立空间直角坐标系．则，，(0,3,0)，F(,

,0)，H(

3，(,3,)所以,0,0)，(0,

,)，以2

AC

，即；PFPAC

PAC的法向量为,w)

nn

uu

w

wn(0,

4444所以

3262

1010

．即PAC

．则

cos

,

3||

．注意二面角AD大的余弦值为

．4：三棱锥BCD中ABBD

,

BCDC2

,2．（）证：；（2若P为上一点，且

，直线平面ACD所角的正弦值．方提与析（江波成）（）解（何）取BD点连接OC因，BCDC所以AO，BDOC因为AO所以BD平面，即BDAC（）解（标）

OC，由（1）得，BD平OC，又因为BD平面CD，所以平面平面BDC，得AO,OC,

所以AO

AC

，即OC,

又因为面A

平面BDC，以平BDC，图所示，以射线OBOCOD为

xz

正半轴建系．

0,0,，

B

，

3P,3

DAzADC的个法向量，有

nn

，取

n，设

为直线与平面ACD所成角，则

sin

93nn2

47

．即直线BP与面ACD所角的正弦值为

437

．5：如图三棱柱DEF所有棱长均为，四边形为方形，又．（）证：DE；（）直线AB和面ACF所成角的正弦值．方提与析（江波成）（1）解（何）连接，，四边形BCEF为方形可得，ECBF，又因为EC，BFB

，所以平，以AF，易得四边形ACFD为形，

则AFCD，C，以AF平CDE，即AFDE．（2）解（何）因为AB∥DE，所DE，和平面ACF所角与直线AB和面ACF所角相等，由（），面，又因为平面AFC，以平面CDE平面，过点EH，因平面CDE平CD，平面，以EH平，即为和平面ACF所成角．由DEEC，

EC

，得

DC

，所以sinsin

3

，直线和面ACF所成角的正弦值为．如知棱锥P中平面平面PBCBC点在平面内射影恰为PCE的重心G．（5）证明：BCAB；（6）求直线与面PBC所角的正弦值．方提与析（兴琴）解：（1过作PB于D因为平面PAB平面PBC，平

BE2

,面

平面PBC，AD平面PAB，以AD平面PBC，ADBC．为平面ABCE，以PABC，

AD

，所以BC平PAB，AB．（2）连结PG并长交CE于M，连结．为点，分别以,BC所在的直线为,轴以过B且平面ABCE垂的直线为

轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则

B(0,0,0)

，

(1,0,0)

，

，设

E(,0)

，平，AGCE，理PA，AM．是PCE的重心，M是的中点，

，平面PAM，AC，1）知，BCAB，

，BE,，AE,0)，

xy(x

，，E，设AP，则

Pa)

a2，故,)，(0,,),CG,3

，a2AGa

2P2)(1,0,22)BC(0,2,0)CG(1,,3

)，设平面的法向量为n,,)，

BC

2，

，令z，n，直线与平面所成角为

则

CG

2

42

故直线CG与面所角的正

//42//弦值为．：如图三棱台ABCDEF中ADCFCB

DF．（7）证明：

；（8）若DE，与面ABC所成角的正弦值．方提与析嘉赵学解（1）三棱台补形为三棱锥，结，DF则ADACCB，AF3

，

DF，BCEF，

BF3

，，ABF为等腰三角形．（2）平面ABC//平DEF，与平面ABC所角即为BF与平面DEF所角过作面DEF于，过O作OHEF于H，连结OF．OF是平面内的射影，即所角．

DE，三棱锥DEF为正四面体，

6，OE，BO，又BF，

sinBFOBF3

，故与平面ABC所成角的正弦值

．：ABCDEF

，

ABAD

BAD

AC

，

BD

，2OA

，

AE

，CF

ABCD

．1DE2CF

，

BFD

方提与析（海贤健解

，

BFC

，//

BFC

．DE//，AEDEE

，ADE//AD//BC

COODOA

．

AB

，BD

，

，OA

BCF

（）O为

，C(2,0,0)

，D(0,

，E(2)

，F

．BC(2,

，

DB

，

．BFD

nx,)

．

DBDF

yy

，x

，z

．

(1,0,

．BC

sin

23535

：本题满分分）在四棱锥PABCD

中，AB∥CD，AD，DAB

，APB为腰直角三角形，PA2，C端点（Ⅰ）求证：CD∥平面M

的平面分别交线段,于M，在段上．

MN,E

不同于，（Ⅱ）若E为的点，且DM平APB所成角的正弦值．求直线与平面MNE方提与析（江华+方）解（面行判定与质理（）：AB∥CD，平面PAB，平AB的平面分别交线段PA,于M，MN又过CD

，CD∥面AB

．又CD平M，平M，∥平面NE方1传法等体法点平的离

．

证完（）△为腰直角三角形，PAPB2，

．又，

，由余弦定理得3，而

AD

AB

,得BD．因为DM平面PB，以APDM，BP，得BP平面DP

，于是DP，从而可算得2

．故AD．

D0,20，所以M为的点，进而得到ND0,20，

是BP的点NE3,MEMN．所以△MNE

的面积S

32

．设点到面MNE

的距离为

．容易得到：DM

2，PMN的积为1，．在三棱锥EPMN

中，由等体积法得：

Sh2

12

6，得到．3记直线PA与面MNE

所成角为，sin

h3．PM3即直线PA与面MNE

所成角的正弦值为

33

．方2坐法由题意可以如图建立空间直角坐标系．则平面PB

，所以可设

Db

，则

ab22

，

M

．因为，，由余弦定理得BD3，所以2212

，解得，

，M2,0,

2,0,0

．MN

2,

，

ME

22,

，设平面MNE

的法向量为n

z

．则yz22

，取x得

yz

．从而平面MNE

的一个法向量为

PA

=．记直线PA与面MNE

所成角为，

PAPA

333

．即直线PA与面MNE所角的正弦值为

33

．

eq\o\ac(△,S)2222eq\o\ac(△,S)2222

22EADCDE△PB32

PC方提与析（海贤健解法1BE，

BE2

，

PB

，所以BEPE．又因为E

，所以所以，所以PCEABCE法2：N

PC

CE，

．PN．BNBCBNPB,

．CEN

，所以，以ABCE．法1：ECN,BN，ABCE，

．所以，

，

．C因为V

，所以h

22

．sin

22，

22

．法2：AB

ABCEz32(1,0,0)C(1,2,0)，E(0,1,0)，,AP,,．ABP

nxyz)

．

nn

z

n(0,2,．12PC,,以

sin

PCn

211

．

22

．

法：明：因为ABPM，，MN．所以AB面，所以面PMN交PM，作STPM，所以ST面．由似计算得ST

．因为

//

面PAB，所以

到面ABP距离到的离．又因为Q是BC的中点，所以h记C到ABP的离到ABP的距离的倍

．又sin

22．所以直线PC与ABP所角的正弦值为

22

．：如，在四锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC,ABC2AD2，面平ABCD．（1）证明：BD面；（2）若

PDPC2

，求三棱锥的积．方提与析嘉赵学解析（1）因为四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，//BC,ABC，ADBD

AB

AD

DC

，可得：BDCDBDDC，因为平面平ABCD，平面

平面，又BD平面ABCD，BD面PCD．（2）

PD

，取CD中点O，结，由（1）知DC，则PCD为等边三角形POCD，因为平面平面，平PCD，且平面

6平面ABCD，平面，PO，2V

116S212：三棱锥ABCA1

中在腰直角中ACB

，BC，点A在面ABC上1投影在边中点E，分为CC，B的等分点（靠近于C、处）11（3求证：//

平面（4求直线A

与平面所成角的正弦值方提与析杭沙广解1（间建）

,B1（）上等点D靠近于点接AN、AC．,B1在

中，由相似知

2AACM，有ND//AA//CC//CM3所以四边形为行四边形，即//，因MN平面ABC，CDABC所以MN//平面ABC（C为点CB为轴C且垂直于面ABC为z轴立空间直角坐标系B(0,1,0)，A(,0,2

)

，1()，BA,)，,23设平面MBN即平面M

的法向量为n)

，则