2021届天津市河西区高三上学期期末考试数学试卷

河西区2020—学年度第一学期高三年级期末质量调查数学试卷共150分，考试时分钟一选择题：在每小给出的个选项中，有一项符合题目要的.设集

IZ

I

()A.

B.

【答案】【解析】【分析】先利用补集运算求出B，可根据并集运算求出I

I【详解】因为

IZ

，所以

I

，故

A

I

故选：．【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，以及常用数集的识别，属于基础题．已命题

R

，x

x0，命题的定是（）A.

，

x

B.

，x

xC.

R，

D.

R，x2x【答案】【解析】【分析】根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题的否定【详解】命题为称命题，其定为

:R

，x

2

.故选：C.【点睛】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础.某学高一、高、高三年级的学生人数之比依次657防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为样本本中高三年级的学生有21人于（）-1-

35C.54D.【答案】【解析】【分析】由某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：，知高三年级学生的数量总数的

，再由分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为的本，高三年级被抽到的人数为21人能求出n.【详解】解：∵某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比为6：7，∴高三年级学生的数量占总数的

，∵分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为的本，若已知高三年级被抽到的人数为21人，∴n＝21

718

.故选：【点睛】本题考查分层抽样的应用，是基础.函1A.2

f

是定义在R上奇函数，且当B.

x

时，C.

f

(a为常数，

f

（）【答案】【解析】【分析】由题意结合奇函数的性质可得

f

，可得当时，

f

，利用f

即可得解.【详解】

函数

f

是定义在R上奇函数，当

x

时，

f

，f

，解得

a

，当时

f

，f

故选：【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，考查了运算求解能力，属于基础.设a2ln2，

b4

，clog

，则，b，的大小关系是（）

C.

【答案】-2-

【解析】【分析】直接利用指数和对数的单调性求【详解】因为

ln

，

log2

，0log

，所以

故选：A已正方体的体是，则这个正方体的外接球的体积是（）2

43

C.

3

83【答案】【解析】【分析】根据体积得到正方体棱长，根据正方体的外接球半径为体对角线的一半得到半径，计算体积得答【详解】正方体的体积为

则正方体棱长，方体的外接球半径为体对角线的一半，即

223，

V33

.故选：【点睛】本题考查了正方体的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，将半径化为求体对角线是解题的关键.将数x称，则m的小值是（）

的图像沿x向右平移m(

个单位长度，所得函数的图像关于轴对

12

C.

6

6【答案】【解析】【分析】利用辅助角公式将函数化为

，然后利用三角函数的平移变换原则即可求.【详解】

sin3cosx

，将函数的图像沿x轴右平移m(m0)

个单位长度，-3-

可得可得2sin

，此函数图像关于轴对称，则

，解得

，因

m

，则当

时，取得最小值.6故选：D【点睛】本题考查了三角函数的平移变换原则、辅助角公式、诱导公式，属于基础.已双曲线

y2b的顶点与抛物线b

y

2

2px(0)

的焦点的距离为，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为

(

，则双曲线的焦距为（）

2

C.

2【答案】【解析】【分析】由题意结合抛物线的性质可得

，进而可得双曲线的左顶点，由双曲线的渐近线方程结合点(

在双曲线的其中一条渐近线上，即可求出再利用双曲线的性质即可得.【详解】

抛物线

y2p0)

，

该抛物线的准线为

x

p2

，又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为

(

，点在直线x

p上4，2

抛物线的焦点为

(2,0)

，又双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4双曲线的左顶点为

a

，

双曲线的渐近线方程为

y

x

，由点

(

在双曲线的其中一条渐近线上可得

b2

即

，

双曲线的焦距

2c

故选：【点睛】本题考查了双曲线与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，关键是对圆锥曲线性质的熟练掌握，属于中档题.在形中，AB//CD，

，AD，点M在段上则-4-

22AM的小值为（）A

920

C.

【答案】【解析】【分析】根据

AB//

，

DAB

，AB，

CDAD

，建立空间直角坐标系，设得到

M(2

，再求得AMCM的标，利用数量积的坐标运求.【详解】建立如图所示平面直角坐标系：因为//CD，DAB90

，AB，

，所以

，D(0,1)，(1,1)，设所以

M(2

，所以AM(2

，CM

，所以CM，10当

时，AMCM的小值为

920

，故选：二填空题：本大题个小题，每小题分，共30分10.设，

是实数，则a=．【答案】【解析】-5-

2【2利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数结果.a【详解】1a1i2是实数，

，利用虚部为零可得

，得

a

，故答案为【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失11.二项式

xx

的展开式中的常数项__________.【答案】15【解析】【分析】由该二项式的通项公式即可得.【详解】由题意可得，通项为

Cr6

1

r

r6

6

3r2

，令

3r

，得r所以常数项为

C46

，故答案为：.12.过点(的线l

与圆

x

2

y

2

4

相切，则直线l

在y轴的截距为__________．【答案】4【解析】【分析】根据题意，分析可得点

在圆

x

22

上，根据垂直关系求出切线的斜率，由点斜式求出切线方程，根据截距的定义可得结果【详解】因为(3)

2

，所以点(

在圆

x224

上，-6-

11∴切线l

的斜率

，则切线l

的方程为

3(x

，变形可得y3所以直线l在y轴上的截距为4；故答案为：4.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，考查了求圆的切线方程，考查了直线的截距，属于基13.一袋中装有大小相同的黑球和白.已知从袋中任意摸出2球，至少得到1个球的概率是则袋中白球的个数为____；袋中任意摸出球，则摸到白球的个数X的学期望为____.

，【答案】

【解析】【分析】设白球个数为，根据古代概型概率公式和对立事件概率公式列方计算m计算X的各种取值对应的概率，再计算数学期望.【详解】设袋中有白球m，则有黑球﹣个设事件：从袋中任意摸出个球，至少得到1个球，则P（）＝

C4C5

，解得

，即

2

，得m3或m（由从袋中任意摸出2个，则摸到白球的个数X可的取值为

0,1,2

，13431则P（＝）＝1，P（＝1）3，P（X＝25C2555

，∴E（）＝

15

故答案为：3，【点睛】本题主要考查了组合数的运算，以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，其解答中熟记组合数的计算公式，找出随机变量的取值，求得相应的概率是解答的关键，着重考查分析问与解答问题，以及推理与计算能力.14.已知

，且

33+a

，

a

的最小值为______________.-7-

【答案】【解析】【分析】先利用基本不等式求得

(a2)2(b

的最小值，进而求得

a

的最小值，即可得到答案【详解】由题意，设又由

2)2(b2)

，[(a2)b2)]

33b2)b)，aaab当且仅当

6(3=ab

时，即a2(2)

时等号成立，即的小值为2，以故答案为

a

的最小值是2

【点睛主考查了利用基本不等式求最值问题答中先利用基本不等式求得的最小值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试.

(a2)2(b2)15.已知函数

()

x,x2x

，若方程

f

有且只有三个不相等的实数解，则实数k的值范围【答案】

2

【解析】【分析】方程

f

有且只有三个不相等的实数解，可转化为

与图有三个交点，画出函数图象，数形结合求解的值范围.【详解】方程

f

有且只有三个不相等的实数解，可转化为

f

与图有三个交点，画出

fx

xx

，与

图象如图，

3xx-8-

kx

与

yx

相切时，2

，kx

过点(时

k

，

根据图象可知，

2

时，两图象有三个交点，若方程f

有且只有三个不相等的实数解，则实数的取值范围时

[

2)

，故答案为：

【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区[，]上是连续不断的曲线，且faf)＜0，还必须结合函数的图象与性如单调性、奇偶)能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三解答题：本大题小题，共75分解答应写文字说，证明过程演算步.16.在

的内角

AB,C

的对边分别是

b

，满足

Csin

（1）求角的；（2）若，b2，求

sin

的值【答案）

）

-9-

【解析】【分析】（1）根据已知条件，由正弦定理角化，得到三边的关系，进而利用余弦定理求解；（2由弦定理求得sinB,

并根据边的大小关系判定为锐角然后利用倍角公式和两角和的正弦公式计算.【详解】解）∵

Csin

，由正弦定理得，

ca

化简得，

2

2

2

.由余弦定理得，cosA又，

2

222∴

（2）由（）知，

，又a，∴B

A.又b

，∴B

B

33

∴B

23

，2B2sin

13

，∴sin2B

223sin2coscos3

【点睛】本题考查正余弦定理的综合运用，涉及二倍角公式和两角和差的三角函数公式，属中难度的题目.

关键是熟练利用正弦定理，余弦定理和三角恒等变形计17.如四柱

AB1

的底面为菱形，AA底，BAD1

，AB，E，F分别为

CD，的中点．1-10-

111111（Ⅰ）求证：平AE；（Ⅱ）若直线

与平面

BAE

所成角的正弦值为

，求

1

的长；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角

BAED11

的正弦值．【答案）解析（Ⅱ）AA的为（Ⅲ）1【解析】【分析】

31010（Ⅰ）取的中点1

G

，根据三角形中位线和菱形特点可证得四边形

是平行四边形，从而得到DF//EG

，根据线面平行判定定理证得结论过等腰三角形和线面垂直可证得

AAAB,1

两两互相垂直，则可将A

作为原点建立空间直角坐标系，利用线面角正弦值的向量求法建立关于

1

的方程，解方程得到结果据二面的空间向量求法求解出二面角的余弦值根同角三角函数关系得到所求正弦值【详解）明：取的点，连接，GE1FG分为AB11

中点1AB且FG//A，又DEA且/A2FGDE

且

FG//DE

四边形

是平行四边形/又DF平，EG

平面BAE，-11-

AD3,2，AD3,2，DF//

平面

BAE（Ⅱ）解：在菱形

ABCD

中，

BADADC

是等边三角形，又E

为CD中点，//

AB又平面1

ABCD

AA，AAAE11则以A

为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：设则

t3,01AD1设平面BAE的向量n

ABt

，

3,0

nn

，即

xy令则，

设直线AD与面B所的角为1

则

sincos,

t2t

解得：t

，即的长为1（Ⅲ）设平面DAE的向量m,z1111

-12-

nn

m

，即

y31令

z

，则

y1

，

x1

m设二面角

BAED的平面角为11则

cos

cosm

41m25sin

，即二面角

BAED11

的正弦值为

31010【点睛】本题考查线面平行关系的证明、利用线面角求解其他量、二面角的求解问题，考查学对于向量法求解立体几何中角度问题的掌握，考查学生的计算能力，属于常规题18.设等差数列

n

d为数n项和S数

n

q

a1

1

2

，dq，S10010

，nN

*（1求数列

n

n

式（2设

，求数列

项为.n【答案）2n1

（2）

T

n【解析】【分析】12100详解】ad1dd

2n1

2

nn

c

n

-13-

nnnn2tnnnn2t

T

7n32

592nT235n

12nnT2nn2n

T

n

【点睛】用错位相减法求和应注意的问(1)善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出S－qS”的表达式(3)在用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等1和等于1种情况求.19.已知椭圆C:

ya2b

的离心率为点A为圆的右顶点B为椭圆的上顶点点F为椭圆的左焦点，且的积是Ⅰ.求椭圆C的程；

．Ⅱ.设直线

xmy

与椭圆C交P两点关于轴的对称点为P与不合1

PQ与x轴于点H求面的取值范围．【答案】I.

4

y

；

S【解析】【分析】I.根据心率和

FAB

以及

2

2

2

可求得

b

的值得椭圆方程联直线方程与椭圆方程，假设P,坐，可得P标及根与系数的关系式：1

y2

m，ym

；根据直线

PQ的两点式方程示出H点坐标，入根系数关系式可得

，从而所求面积为：

y

y

yy2

，换元整理后得到

PQH

tt2

t

，利用t3求所求面积的取值范.【详解】I.e

得ca2则

S

FAB

322

-14-

212t212t则

22

3

，解得：a，，c3椭的标准方程为：

x24

y

2

II.

由P与Q不合可知：1

联立y

，整理可得：

my

，

设

P

1

，

,y2

，则

P1

,11

则

y2

m3，ym2直线方程为：

y

y1

令y0，得：

x22yyy1又

xmy，my11则

x

1yy2

my12yy2

myyy2

m22m

m4m即直线

PQ与x轴点为：

34

y1

2

12

2

，

令t

m

2

3

，则m

PQH

t

t2

t

t当t3时t单递增，则ttt

6t

1t

6433

362，

t

-15-

PQH

3【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、椭圆中的三角形面积的取值范围问题，解题的关键是能通过已知条件确定出H点坐标，从而将求面积转化为求解函数值域的问题，通过函数值域的求法求得所范围，本题思路虽然不复杂，但计算量较大，属于偏难.20.已知函数

f

，其中

是自然对数的底数（1求曲线

f

在点

处的切线方程；（2设函数

h

(

，讨论

的单调性；（3若对任意

512

，恒有关于