高中数学人教A版1第二章圆锥曲线与方程 省赛获奖

第二章2.一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是()\f(π,6)或eq\f(5π,6) B．eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)\f(π,3)或eq\f(2π,3) D．eq\f(π,2)解析：抛物线的焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，过焦点垂直于x轴的弦长为6≠12，∴该弦所在直线的斜率存在．设直线方程为y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，与方程y2＝6x联立得：4k2x－(12k2＋24)x＋9k2＝0.设直线与抛物线交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．∴x1＋x2＝eq\f(3k2＋6,k2)，∴x1＋x2＋3＝eq\f(3k2＋6,k2)＋3＝12.∴k2＝1，∴k＝±1.答案：B2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝2 D．x＝－2解析：抛物线的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－eq\f(p,2)，即x＝y＋eq\f(p,2)，将其代入y2＝2px＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(p,2)))＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以y1＋y2＝2p＝4，∴p＝2所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.答案：B3．抛物线y2＝2px与直线ax＋y－4＝0的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为()\f(3\r(3),2) B．eq\f(2\r(5),5)\f(7\r(5),10) D．eq\f(\r(17),2)解析：由已知得抛物线方程为y2＝4x，直线方程为2x＋y－4＝0，抛物线y2＝4x的焦点坐标是F(1,0)，到直线2x＋y－4＝0的距离d＝eq\f(|2＋0－4|,\r(22＋1))＝eq\f(2\r(5),5).答案：B4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4x B．y2＝±8xC．y2＝4x D．y2＝8x解析：抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，则直线l的方程为y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,4)))，它与y轴的交点为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,2)))，所以△OAF的面积为eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝4，解得a＝±8.所以抛物线方程为y2＝±8x.答案：B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．解析：根据题意写出直线AB的方程后求出A点坐标，然后再求解．∵y2＝4x的焦点为F(1,0)，又直线l过焦点F且倾斜角为60°，故直线l的方程为y＝eq\r(3)(x－1)，将其代入y2＝4x得3x2－6x＋3－4x＝0，即3x2－10x＋3＝0.∴x＝eq\f(1,3)或x＝3.又点A在x轴上方，∴xA＝3.∴yA＝2eq\r(3).∴S△OAF＝eq\f(1,2)×1×2eq\r(3)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)6．设点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(10,3)))与抛物线y2＝2x上的点P之间的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，则当d1＋d2取最小值时，P点坐标为________．解析：当P点是M与焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))连线与抛物线交点时，d1＋d2最小，MF的方程为y＝eq\f(4,3)x－eq\f(2,3)，与抛物线y2＝2x联立得P(2,2)．答案：(2,2)三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知抛物线y2＝6x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在P点被平分，求这条弦所在直线方程．解析：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，所求直线方程为y－1＝k(x－4)，∵P1，P2在抛物线上，∴yeq\o\al(2,1)＝6x1，yeq\o\al(2,2)＝6x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2) ①将y1＋y2＝2代入①得k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝3，∴直线方程为3x－y－11＝0.8．给定抛物线C：y2＝4x，F是抛物线C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．若|FA|＝2|BF|，求直线l的方程．解析：显然直线l的斜率存在，故可设直线l：y＝k(x－1)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则x1x2＝1，故x1＝eq\f(1,x2). ①又|FA|＝2|BF|，∴eq\o(FA,\s\up6(→))＝2eq\o(BF,\s\up6(→))，则x1－1＝2(1－x2) ②由①②得x2＝eq\f(1,2)(x2＝1舍去)，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，±\r(2)))，得直线l的斜率为k＝kBF＝±2eq\r(2)，∴直线l的方程为y＝±2eq\r(2)(x－1)．9．(10分)(2023·河南洛阳八中高二段考)已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A，B两点，(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于eq\r(10)时，求k的值．解析：(1)证明：设A(－yeq\o\al(2,1)，y1)，B(－yeq\o\al(2,2)，y2)；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝－x,y＝kx＋1))得ky2＋y－k＝0，y1y2＝－1，y1＋y2＝－eq\f(1,k).∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝y1y1＋yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＝y1y2(1＋y