高中数学人教A版第二章平面向量平面向量的线性运算 一等奖

课题名称：§2．向量加法运算及其几何意义课程模块及章节：必修四第二章第二节第一课时备课时间：2023学科：数学备课组：高一数学主备教师：保德怀备课组长：龙清华组员：黄泽专、赵明烈、张秋花、邱建成、张国彪、龙清华、张国彪。教师二次备课教学背景分析课标的理解与把握1.理解向量的加法及其运算法则、运算律．(重点)2.理解向量加法的几何意义．(难点)3.数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点)教材分析：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。向量概念的教学应从物理背景和几何背景入手，物理背景是力、速度、加速度等概念，几何背景是有向线段。了解这些物理背景和几何背景，对于学生理解向量概念和运用向量解决实际问题都是十分重要的。教师还可以引导学生运用向量解决一些物理和几何问题。例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题。对于向量的非正交分解只要求学生作一般了解，不必展开。（三）学情分析：加强基础知识教学。了解到学生目前的学习情况，大部分学生对初中的相关知识掌握不好，利用自习课或课余时间为他们补充初中知识的盲点，加强基础知识。同时在上课的时候，以基础简单题目为主，争取让大部分学生在课堂上有所收获。加强合作学习。对于班级出现的两极分化情况，发动成绩好的学生带动基础薄弱的学生，促使大家共同进步。注重情感交流。分层教学、因材施教。主要方法是对作业也要分层次布置，基础不同，要求不同。多表扬、多鼓励。教学目标1．知识与技能(1)掌握向量的加法运算，并理解其几何意义．(2)会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力．2．过程与方法通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法．3．情感、态度与价值观(1)通过对向量的加法运算的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到特殊的认识事物规律，培养探索精神与创新意识．(2)通过本节的学习，学会用数学的方式解决问题、认识世界，进而领会数学的价值，不断提高自己的文化修养．教学重点和难点重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量．难点：理解向量加法的定义．教学准备、教学资源和主要教学方法自主学习与合作探究相结合。教学过程教学环节教师为主的活动学生为主的活动设计意图导入新课【问题导思】分析下列实例：(1)飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京(如图)，这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的．(2)有两条拖轮牵引一艘轮船，它们的牵引力分别是F1＝3000N，F2＝2000N，牵引绳之间的夹角为θ＝60°(如图)，如果只用一条拖轮来牵引，也能产生跟原来相同的效果．1．从物理学的角度，上面实例中位移、牵引力说明了什么？体现了向量的什么运算？【提示】后面的一次位移叫前面两次位移的合位移，四边形OACB的对角线eq\o(OC,\s\up12(→))表示的力是eq\o(OA,\s\up12(→))与eq\o(OB,\s\up12(→))表示力的合力．体现了向量的加法运算．2．上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？【提示】三角形法则和平行四边形法则．学生开始思考从数形结合的角度加以研究，避免了代数方法的繁琐，直观而有效，但注意图形的准确性．目标引领板在黑板的右上角，并对目标进行解读。活动导学1．向量加法的定义图2－2－1定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(BC,\s\up12(→))＝b，则向量eq\o(AC,\s\up12(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))，如图2－2－1.对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝a.2．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面上任取一点A，作Aeq\o(B,\s\up12(→))＝a，Beq\o(C,\s\up12(→))＝b，则向量Aeq\o(C,\s\up12(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝Aeq\o(B,\s\up12(→))＋Beq\o(C,\s\up12(→))＝Aeq\o(C,\s\up12(→))平行四边形法则已知两个不共线向量a，b，作Aeq\o(B,\s\up12(→))＝a，Aeq\o(D,\s\up12(→))＝b，以Aeq\o(B,\s\up12(→))，Aeq\o(D,\s\up12(→))为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量Aeq\o(C,\s\up12(→))＝a＋b问题导思】实数的运算律有哪些？向量的加法是否也有相似的运算律？【提示】交换律和结合律；有.交换律结合律a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)例一：(1)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(MB,\s\up12(→)))＋(eq\o(BO,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＋eq\o(OM,\s\up12(→))化简后等于()\o(BC,\s\up12(→)) \o(AB,\s\up12(→))\o(AC,\s\up12(→)) D．eq\o(AM,\s\up12(→))(2)如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c.图2－2－2【思路探究】1.几何表示式如何进行加法运算？2．应用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法运算的过程可以分别简记为什么？【自主解答】(1)(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(MB,\s\up12(→)))＋(eq\o(BO,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＋eq\o(OM,\s\up12(→))＝(eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BO,\s\up12(→)))＋(eq\o(OM,\s\up12(→))＋eq\o(MB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→)))＝eq\o(AO,\s\up12(→))＋eq\o(OB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→)).【答案】C(2)如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，再作向量eq\o(AB,\s\up12(→))＝b，则得向量eq\o(OB,\s\up12(→))＝a＋b，然后作向量eq\o(BC,\s\up12(→))＝c，则向量eq\o(OC,\s\up12(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．例二：如图所示，已知E、F分别是▱ABCD的边DC、AB的中点，求证：四边形AECF是平行四边形．图2－2－3【思路探究】要证四边形AECF为平行四边形，只需证eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\o(FC,\s\up12(→)).【自主解答】在▱ABCD中，eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))，又由E、F分别是DC、AB的中点，得eq\o(DE,\s\up12(→))＝eq\o(FB,\s\up12(→)).所以eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(DE,\s\up12(→))＝eq\o(FB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(FC,\s\up12(→))，又A、E、C、F四点不共线，故四边形AECF是平行四边形．活动：让学生仔细观察图1，教师适当时候再提示。展示讨论结果向量求和的三角形法则，可推广到多个向量求和的多边形法则：n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一个向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量．1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．在进行向量的加、减法运算时，应注意一些特殊情况，如零向量、共线向量等．特别是判断一些相关命题的真假时，一定要考虑到这些特殊的情况，如果忽略这些就容易出现错误．当堂评价下列命题：①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；②在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＝0；③在eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＝0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；④若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．其中真命题的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个【错解】C【错因分析】①中，当a＋b＝0时，命题不成立，因此①是假命题；②是真命题；③中，当A，B，C三点共线时，也可以有eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＝0，因此③是假命题；④中，只有当a与b为同向向量时，|a＋b|与|a|＋|b|才相等，其他情况下均为|a|＋|b|>|a＋b|，因此④是假命题．故真命题的个数为1个．由学生自主完成。巩固深化培养学生的独立解决问题的能力。学生课后完成巩固本节课所学过的知识使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉。板书设计§2．向量加法运算及其几何意义例1例二图形解答过程：变式练习图形解答过程：教学反思课题名称：§2.2.2向量减法运算及其几何意义课程模块及章节：必修四第二章第二节第二课时备课时间：2023学科：数学备课组：高一数学主备教师：保德怀备课组长：龙清华组员：黄泽专、赵明烈、张秋花、邱建成、张国彪、龙清华、张国彪。教师二次备课教学背景分析课标的理解与把握1.掌握向量减法的运算，理解其几何意义．(重点)2.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义．(难点)3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算．(易混点)教材分析：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。向量概念的教学应从物理背景和几何背景入手，物理背景是力、速度、加速度等概念，几何背景是有向线段。了解这些物理背景和几何背景，对于学生理解向量概念和运用向量解决实际问题都是十分重要的。教师还可以引导学生运用向量解决一些物理和几何问题。例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题。对于向量的非正交分解只要求学生作一般了解，不必展开。（三）学情分析：加强基础知识教学。了解到学生目前的学习情况，大部分学生对初中的相关知识掌握不好，利用自习课或课余时间为他们补充初中知识的盲点，加强基础知识。同时在上课的时候，以基础简单题目为主，争取让大部分学生在课堂上有所收获。加强合作学习。对于班级出现的两极分化情况，发动成绩好的学生带动基础薄弱的学生，促使大家共同进步。注重情感交流。分层教学、因材施教。主要方法是对作业也要分层次布置，基础不同，要求不同。多表扬、多鼓励。教学目标1．知识与技能(1)了解相反向量的概念．(2)掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义．2．过程与方法通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物间可以相互转化的辩证思想．3．情感、态度与价值观通过本节学习，使学生利用类比的方法探究向量减法的运算法则，培养学生的探索精神与创新意识．教学重点和难点重点：向量减法的概念和向量减法的作图法．难点：减法运算时方向的确定．教学准备、教学资源和主要教学方法自主学习与合作探究相结合。教学过程教学环节教师为主的活动学生为主的活动设计意图导入新课【问题导思】1．相反向量就是方向相反的向量吗？【提示】(1)不是．相反向量是方向相反且长度相等的向量．2．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b吗？【提示】若|a|＝|b|，则a，b不一定共线，有可能a≠b且a≠－b.1．定义：如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量．2．性质：(1)对于相反向量有：a＋(－a)＝0.(2)若a，b互为相反向量，则a＝－b，a＋b＝0.(3)零向量的相反向量仍是零向量.学生开始思考从数形结合的角度加以研究，避免了代数方法的繁琐，直观而有效，但注意图形的准确性．目标引领板在黑板的右上角，并对目标进行解读。活动导学1．向量减法的定义【问题导思】1．两个相反数的和为零，那么两个相反向量的和也为零向量吗？【提示】是零向量．2．根据向量的加法，如何求作a－b?【提示】先作出－b，再按三角形或平行四边形法则作出a＋(－b)．1．定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．2．作法：在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OB,\s\up12(→))＝b，则向量a－b＝eq\o(BA,\s\up12(→))，如图2－2－12所示．图2－2－123．几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．例一：化简：(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))．【思路探究】解答本题可先去括号，再利用相反向量及加法交换律、结合律化简．【自主解答】法一(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝(eq\o(AB,\s\up12(→))＋Beq\o(D,\s\up12(→)))＋(eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→)))＝eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\o(DA,\s\up12(→))＝0.法二(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→)))＋(eq\o(DC,\s\up12(→))－eq\o(DB,\s\up12(→)))＝eq\o(CB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝0.法三设O为平面内任意一点，则有(eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→)))－(eq\o(AC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→)))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BD,\s\up12(→))＝(eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→)))－(Oeq\o(D,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→)))－(eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→)))＋(eq\o(OD,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→)))＝eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OD,\s\up12(→))＋eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OC,\s\up12(→))＋eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))＝0.例二：如图所示，在正六边形ABCDEF中，点O是正六边形中一点，若已知eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，eq\o(OF,\s\up12(→))＝b，eq\o(EO,\s\up12(→))＝c，eq\o(DO,\s\up12(→))＝d，试用向量a，b，c，d表示eq\o(ED,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))，eq\o(DB,\s\up12(→)).图2－2－13【思路探究】运用三角形法则和平行四边形法则，将所求向量用已知向量a、b、c、d的和与差来表示．【自主解答】eq\o(ED,\s\up12(→))＝eq\o(EO,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→))＝eq\o(EO,\s\up12(→))－eq\o(DO,\s\up12(→))＝c－d.eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(AO,\s\up12(→))＋eq\o(OD,\s\up12(→))＝－eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(DO,\s\up12(→))＝－a－d.eq\o(DB,\s\up12(→))＝eq\o(DC,\s\up12(→))＋eq\o(CB,\s\up12(→))＝eq\o(FA,\s\up12(→))＋eq\o(EF,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OF,\s\up12(→))＋eq\o(OF,\s\up12(→))－eq\o(OE,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\o(EO,\s\up12(→))＝a＋c.活动：让学生仔细观察图1，教师适当时候再提示。展示讨论结果1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(BA,\s\up12(→))就可以把减法转化为加法，即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，如：a－b＝a＋(－b)．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD的两邻边AB、AD分别表示向量eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(AD,\s\up12(→))＝b，则两条对角线表示的向量为eq\o(AC,\s\up12(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up12(→))＝b－a，eq\o(DB,\s\up12(→))＝a－b.这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住．(1)首尾相接且为和．(2)起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用、统一向量起点方法的应用．通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决问题时，运算过程中，将“－”改为“＋”，只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“－eq\o(AB,\s\up12(→))”改为“＋eq\o(BA,\s\up12(→))”．在作向量的和时，要合理使用三角形法则和平行四边形法则；在作两向量的差时，应注意两个向量的起点重合，差向量的方向指向被减向量．当堂评价2．设b是a的相反向量，则下列说法错误的是()A．a与b的长度必相等B．a∥bC．a与b一定不相等D．a是b的相反向量【解析】因为0的相反向量是0，故C不正确．【答案】C3．在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|eq\o(BC,\s\up12(→))|＝|eq\o(CA,\s\up12(→))|＝1，则|eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))|的值为________．【解析】eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(CB,\s\up12(→))，而|eq\o(BC,\s\up12(→))|＝1＝|eq\o(CB,\s\up12(→))|.【答案】14．化简：eq\o(BC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→))－(eq\o(DA,\s\up12(→))－eq\o(CF,\s\up12(→)))．【解】eq\o(BC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→))－(eq\o(DA,\s\up12(→))－eq\o(CF,\s\up12(→)))＝eq\o(DC,\s\up12(→))－eq\o(DA,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(CF,\s\up12(→))＝eq\o(AF,\s\up12(→)).由学生自主完成。巩固深化培养学生的独立解决问题的能力。学生课后完成巩固本节课所学过的知识使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉。板书设计§2.2.2向量减法运算及其几何意义例1例二图形解答过程：变式练习图形解答过程：教学反思课题名称：§2.2.3向量数乘运算及其几何意义课程模块及章节：必修四第二章第二节第三课时备课时间：2023学科：数学备课组：高一数学主备教师：保德怀备课组长：龙清华组员：黄泽专、赵明烈、张秋花、邱建成、张国彪、龙清华、张国彪。教师二次备课教学背景分析课标的理解与把握1.掌握向量的数乘运算及其几何意义．(重点)2.掌握向量共线定理的应用．(难点)3.理解实数相乘与向量数乘的区别．(易混点)教材分析：向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。向量概念的教学应从物理背景和几何背景入手，物理背景是力、速度、加速度等概念，几何背景是有向线段。了解这些物理背景和几何背景，对于学生理解向量概念和运用向量解决实际问题都是十分重要的。教师还可以引导学生运用向量解决一些物理和几何问题。例如，利用向量计算力使物体沿某方向运动所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等问题。对于向量的非正交分解只要求学生作一般了解，不必展开。（三）学情分析：加强基础知识教学。了解到学生目前的学习情况，大部分学生对初中的相关知识掌握不好，利用自习课或课余时间为他们补充初中知识的盲点，加强基础知识。同时在上课的时候，以基础简单题目为主，争取让大部分学生在课堂上有所收获。加强合作学习。对于班级出现的两极分化情况，发动成绩好的学生带动基础薄弱的学生，促使大家共同进步。注重情感交流。分层教学、因材施教。主要方法是对作业也要分层次布置，基础不同，要求不同。多表扬、多鼓励。教学目标1．知识与技能(1)掌握向量的数乘运算及其几何意义．(2)理解向量共线定理，并应用其解决相关问题．2．过程与方法通过由向量加法运算探究向量的数乘运算的过程，使学生形成数形结合的研究问题的方法，由λ符号来判断λa与a方向是否相同的过程，培养学生用分类讨论的思想研究问题的方法．3．情感、态度与价值观通过对向量数乘运算的探究学习，经历数学探究活动的过程，培养学生的探索精神和创新意识；通过数乘向量的实际应用，体会数学的应用价值，学会用数学的方式解决问题．教学重点和难点重点：向量的数乘运算及其几何意义，向量共线定理．难点：向量共线定理的应用．教学准备、教学资源和主要教学方法自主学习与合作探究相结合。教学过程教学环节教师为主的活动学生为主的活动设计意图导入新课向量的数乘运算【问题导思】1．向量与实数可以求积，能求加、减运算吗？【提示】不能．如λ＋a，λ－a无意义．2．λa＝0⇔λ＝0或a＝0，对吗？【提示】对．3．数乘可以伸缩向量的模，同时也可以改变向量的方向，对吗？【提示】正确．学生开始思考从数形结合的角度加以研究，避免了代数方法的繁琐，直观而有效，但注意图形的准确性．目标引领板在黑板的右上角，并对目标进行解读。活动导学当λ>0时，不改变方向，当λ<0时，所得向量与原向量反向．1．定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.2．规定：①|λa|＝|λ||a|，②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.3．运算律设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝λμa；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．特别地，我们有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.共线向量定理【问题导思】1．a＝λb⇒a与b共线，对吗？【提示】正确．2．若a与b共线，一定有a＝λb吗？【提示】不一定．当b＝0，a＝0时，λ有无数个值；当b＝0，a≠0时，λ无解；只有当b≠0时，才有a＝λb.向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2例一：计算：(1)3(6a＋b)－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))；(2)eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3a＋2b－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7【思路探究】利用数乘向量的运算计算．【自主解答】(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq\f(3,4)b＝a＋eq\f(3,4)b－a－eq\f(3,4)b＝0.(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a例二：已知非零向量e1，e2不共线．(1)如果Aeq\o(B,\s\up12(→))＝e1＋e2，Beq\o(C,\s\up12(→))＝2e1＋8e2，Ceq\o(D,\s\up12(→))＝3(e1－e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．【思路探究】对于(1)，欲证A、B、D共线，只需证存在实数λ，使Beq\o(D,\s\up12(→))＝λAeq\o(B,\s\up12(→))即可；对于(2)，若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则一定存在λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)．【自主解答】(1)证明：∵Aeq\o(B,\s\up12(→))＝e1＋e2，Beq\o(D,\s\up12(→))＝Beq\o(C,\