2021北京西城二模数学试卷及答案解析Word版

西城区高三模数

本试卷共6页共分考试时长分钟。考生务必答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分

（选择题共40分一、本大题共小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1已知集合A{xZ

≤}Bx，

（A）{0,1,3}（C）{2,3}

（）{1,2,3}（）{x≤3}（2已知复数i（A）（C）(

，其所对应的点在第四象限，则实数的值范围（）(1,+（）(（3要得到函数y)

的图象，只需将函数

sinx

的图象（A）向左平移个位长度B）向右移个位长度6（C）向左平移

个单位长度（）向平移个单位长度3（4某三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的体积为（A）

（）

（C）8（5在△，a，A（A）充分而不必要件（C）充分必要条件

（）4ππ，则“B”“b”（）必要而不充分条件（）既不充分也不必要条件北京市西城区5月高三数学

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（6若直线与曲线C:

y无共点，双曲线的心率可能是（A）

32

（B

（）2

（）3（）“苏州码子”发源苏州，在明清至民国时期，作为一种民间的数字符号曾经流行一时，广泛应用于各种商业场.多前，詹天佑主持修建京张铁路，首次将“州码子”刻于里程碑上.“苏州子”计数方式如下：〡（1（2（（4（（（（（9（0）.为防止混淆，有时要将“〡”“〢”“〣”横过来写已知某铁路的里程碑所刻数字代表距离始发车站的里程，每隔里摆放一个里程碑，若在A点里程碑上刻着“〣〤B点处里程碑刻着“〩〢从A点B点里程碑的个数应为（A）29

（B

（）

（）59（8记

为等比数列{}

的前n和．已知a

，

，则数列{}（A）有最大项，有小项（C）无最大项，有最小项

（）有最大项，无最小项（）无最大项，无最小项（9在平面直角坐标系x，点A(1,1)，B1)C(2,2)，P圆M:

4)

上一点，Q是△ABC上一点，则的大值是（A）2（C）

（）（）16（乙丙三个学生同时参加了若干门学科竞少包含数学和物理竞赛中，甲乙丙三人中都有一个学生的分数为x，一个学生的分数为，三学生的分数为，其中，y，z是个互不相等的正整数在成所有学科竞赛后，甲的总分为分，乙的总分为分丙的总分为16分且在甲乙丙这三学生中乙的数学竞赛成绩排名第一，则（A）甲乙丙三个学至少参加了四门学科竞赛（B，，这三个中的最大值可以取到（C）在甲乙丙这三个学生中，甲学生的物竞赛成绩可能排名第二（）在甲乙丙这三个学生中，丙学生的物理竞赛成绩一定排名第二北京市西城区5月高三数学

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第二部分

（非选择题共）二、填空题共小题，每小题5分，共25分。（）已知向量a，b(3,m)，a方相反，则m等_____．（）在(x)x

3开式中，常数项是.（）对于抛物线C，出下列三个条件：①对称轴为轴；②过点(1,1)③焦点到准线的距离为.写出符合其中两个条件的一个抛物线的准方程____.（）共享单车已经成为方便人们出行的交通工具，某公司决定从1月始向某地投放共享单车，记第nnN个月共享单车的投放量和损失量分别为和b（位：千辆中1

.从第2个月到年12月共单车的每月投放量比上个月增加1千辆，从21月始共单车的月投放量比上个月减1千辆据预测2020年1月开始享单车的每月损失量比上月增1辆第n个底的共享单车的保有量是前个的累计投放量与累计损失量的差，则该地区第4个底的共享单车的计保有量_____千辆n为时地第个月底的共享单车估计保有量达到最大．1,（）已知函数f)x

其中.出下列四个结论：①若a2，函数(x的点是；②若数f()无小值，则a的值范围为；③若a则f(x在间上调递减，在区间单递增；④若于的程f()恰有三个不相等的实数x,，a的值范围3为，x的值范围为(2其中，所有正确结论的序号是_____.北京市西城区5月高三数学

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三、解答题共小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步或证明过程。（小13）如图，在四棱锥ABCD中面ABCDAB//CD，ABAD,PACD,为PB的点（Ⅰ）求证：平面PBC平；（Ⅱ）求二面角ECD的弦值.（小13）已知函数fx)cos()0).在列条件①、条件②、条件③这三23个条件中，选择可以确定值两个条件作为已.（Ⅰ）求)的；（Ⅱ）若函数f()在间[0,a]上增函数，求实数a的最大.条件①：()最正周期为条件②：()最值与最小值之和为0；条件③：f(0).注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．北京市西城区5月高三数学

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（小14）在新冠病毒疫情防控期间，北京市中小学开展了“优化线上教育与学生线下学习相结合教育教学实践活动.为了解区教师对A,C,E五线教育软件的使用情位教师都使用这五类教育软件中的某一类且每位教师只选择一类教育软件师中随机抽取了1人，统计数据如下表，其中a，a教育软件类型选用教师人数

D

假设所有教师选择使用哪类软件相互独立．（Ⅰ）若某校共有00教师，试估计该校教师中使用教育软件C或的数；（Ⅱ）从该区教师中随机抽取，估计这中至少有人用教育软件D的率；（Ⅲ）设该区有3名师，从中随机抽1人记教师使用教育软件D的概率估计值为；区学校M有600名师，其中有200人用教育软件C，100人用教育软件D学校M中随机抽取人师用教育件C或D的概率值为P；从该区其他教师（除学校外中随机抽取人该教师使用教育软件C或D的概率估计值为.比较PP和之的大小（结论不要求证明）1（小15）x已知椭圆C:的心率为其轴的两个端点分别为(，B.a（Ⅰ）求椭圆的准方程；（Ⅱ）点为椭圆上除，的任意一点，直线直线于，点为标原点且与直线垂的直线记为lBP交y轴点M线l于点求△BMO与△的积之比北京市西城区5月高三数学

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（小15）已知函数()ln，()

，x在x处得极大值（Ⅰ）求和c的；（Ⅱ）当x时曲线yf()在线(x)的方，求实数的值范围（Ⅲ）设k，明：存在两条与曲线yfx和y(x都切的直.（小15）设是正整数的一个非空子集，如果对于任意A都有A或xA，称为自邻集记集合A{1,2,

n}(n2,n的有子集中的自邻集的个数为.（Ⅰ）直接写出的有自邻集；（Ⅱ）若偶数且≥，证：A的所有含5个素的子集中，自邻集的个数是偶数；（Ⅲ）若n≥4，证：≤.北京市西城区5月高三数学

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22西城区高三模数学参考答案一、选择题（共10小，每小题4，共分）

（）（）A（）B

（）D（）（10）D

（B（B

（）D（）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共分）（11）3

（12）（13x，,x（上答案均可）（14

（15）④注：第14）题第一空3分第空.第15题全部选对得5分，选或有错选得0分其他得3分三、解答题（共6小题，共85）（）解）取的点，接CF，以AFCD，又因为//CD，所以四边形AFCD是行四边.因为，ADCD，以四边形AFCD是正方形，则CF,CF，以BC2，得到BC，所以BC.因为面ABCD，所以PA，

……………分……………分因为PA

A，所以平面因为面PBC，平面PBC平面PAC.（Ⅱ）因为面ABCD，

……………分……………分……………分所以PAAD，AB则,两垂直，北京市西城区5月高三数学

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如图建立空间直角坐标系xyz.

……………分则(0,0,0)，P，B(0,4,0)，(2,2,0)，D，E，所以(0,2,0)，.设平面的向量为xz)，所以

0,

所以

0,x

即

z

……………分令，，所以平面CDE的向量为(1,0,2)，又因为平面法向量

……………分……………10分所以cos

m5，m5

……………12分由已知，二面角为锐角，所以二面角E的弦值为

25

.

…………3分（）解Ⅰ）()4sin

()222

……………分3sin

3(1cos

……………分sin

cos

3πx).选择条件①②：

……………分由条件①得，T

|

2π

，因，以.

……………分由②知，(2m)3)，以3.

……………分则f()

π)，ππππ所以f())3.3

……………分北京市西城区5月高三数学

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πππ（Ⅱ）令π2x≤π(kZ)，3

……………10分所以

πππ≤≤π(kZ)12所以函数f()单调增区间为[

π5π,π]kZ).12

……………11因为函数f()[]上单调递增，且

π5]，时，12所以a

≤

π，故实数的大值为.

……………13分选择条件①③：由条件①得，T

|

2π

，因，以.

……………分π由③知，f(0)2sin()3，以m.π则f()x)3.ππ所以f()+3+2.πππ（Ⅱ）令π2x≤π(kZ)，3

……………分……………分……………10分所以

πππ≤≤π(kZ)12所以函数f()单调增区间为[

π5π,π]kZ)，12

……………12分因为函数f()[]上单调递增，且

π5]，时，12所以a

≤

π，故实数的大值为.

……………13分说明：不可以选择条件②③：由②知，(2m)3)，以3；π由③知，f(0))3，以；矛盾所以函数f()能同时满足条件②和.（）解（Ⅰ）从表格数据可知，100，则，所以样本中教师使用教育软件E的数为45，

…………2北京市西城区5月高三数学

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2233030022330300故估计该校教师中使用教育软件或的数为300

135人

……4（Ⅱ）设事件F为从该区教师中随机抽取人，至少有人用教育软件D由题意样中的00名师使用软件D的率为10用频率估计概率，从该区教师中随机抽取一名教师，估计该教师使用教育软件D的率为

……………分记被抽取的3人中使用软件D的人数为X，

)

………7所以(X2)C3

3189()(1)10

，

……………分3(C())101000

，

……………分所以P()PX（Ⅲ）PPP13（15分

27

……………11……………14分解）题意，得.又

c6a

，所以.

……………分又因为

，所以b3.x故椭圆C的程为.93

……………分（Ⅱ）设P(,y)(y00

x，则093

……………分所以直线的方程为y

x3)，

……………分y令，点E的标为(4,)707y因为直线BE的率为x0x4

，

……………分所以直线l

的方程为

……………分北京市西城区5月高三数学

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2222|OM||22222222|OM||2222又因为直线

的方程为y

……………10分联立直线l和线的程，消去y73y，所以0700

得

yy0

，……………11因为

x0所以x，93所以

y0xyx00

，解得点N横坐标xN

.

……………13分所以eq\o\ac(△,S)BMONMO

1|OM|||x41|x|2124

……………15分即BMO与NMO的积之比为4:7.（）解）

.

……………分由已知f

，f，

……………分解得.经检验，满足题意.所以.

……………分（Ⅱ）f(x)lnx,(x)kx.f)g)xxkx.依题意ln对任意的成立

……………分所以k

lnxx

对任意的x[1,成.lnx令(x，xF

xxx)xxxx

，

………6令(x)2lnx所以h

xxx

，令h

，以x.

……………分因为当时

，h(调递减；北京市西城区5月高三数学

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222222222222222222当(2,时

，hx单递增当时函数h的最小值为32ln2，且32ln2所以()，即.F()在[1,单调递增，

………8所以F()

min

F所以故数k的值范围为（Ⅲ）假设存在与曲线yf()和曲线(x都切直线l，

……………分设切点坐标分别为(x,lnx，x,12

2).因为

1)，以l的程为.xx

…………10分因为g

)x，以l的程为2xx2

.

……………11所以

1lnx12

1，消去x得x0……①.x2x41令t(x)x

13，x，2x4所以t

112(x2xx

，1所以区间)上()是函数间(

，t()是函数所以，当x时函数t()的最值为.3又因为t，4e2e4

……………13分1ee31111t()，444244

………14分所以函数t(x)在(0,有个零点，即方程①有两个不等的正实根，1由方程可得x有个不同的值，x所以

1x11

有两组不同的解，直线l有条，

…………15分所以存在两条与曲线yf()(x都切的直.北京市西城区5月高三数学

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（）解）A的集中的自邻集有：{1,2,3,4}，，{2,3,4}，，{2,3}，.

……………分（Ⅱ）对于集合A的含有5个素的自邻集Bx,x,,,x}2不妨设xx.34因为对于任意xB，有xB，i1,2,3,4,5.iii所以xx，或.14

……………分对于集合Cn,nn,}，2因为≤xx24

n

，所以1ni

ni

1,2,3,4,5.且nnxnx.431所以CA.因为x，