高中数学人教A版第四章圆和方程-参赛作品

4.1.2圆的一般方程题号1234567891011得分答案一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2，3)B．(－2，3)C．(－2，－3)D．(2，－3)2．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是()A．k>1B．k<1C．k≥1D．k≤13．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(－2，3)为圆心，4为半径的圆，则D，E，F的值分别为()A．4，－6，3B．－4，6，3C．－4，－6，3D．4，－6，－34．经过A(0，0)，B(1，0)，C(2，1)三点的圆的方程为()A．x2＋y2＋x－3y－2＝0B．x2＋y2＋3x＋y－2＝0C．x2＋y2＋x＋3y＝0D．x2＋y2－x－3y＝05．若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴切于原点，则()A．D＝0，E＝0，F≠0B．F＝0，D≠0，E≠0C．D＝0，F＝0，E≠0D．E＝0，F＝0，D≠06．圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是A．(－∞，0)B．(－∞，4)C．(－4，＋∞)D．(4，＋∞)7．与圆C：x2＋y2－2x＋4y－1＝0有相同的圆心，且半径是圆C的半径的一半的圆的方程为()A．x2＋y2－2x＋4y＋2＝0B．x2＋y2－2x＋4y＋1＝0C．x2＋y2－2x＋4y－eq\f(1,2)＝0D．x2＋y2－2x＋4y＋eq\f(7,2)＝0二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，则圆C的一般方程为___________________．9．圆x2＋y2＋x－6y＋3＝0上两点P，Q关于直线kx－y＋4＝0对称，则k＝________．10．直线与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，且弦AB的中点Q的坐标为(0，1)，则直线AB的方程为____________．11．已知点A(1，－2)，B(4，0)，P(a，1)，N(a＋1，1)，当四边形PABN的周长最小时，过A，P，N三点的圆的圆心坐标为____________________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)得分12．(12分)下列方程分别表示什么图形？若表示圆，则写出圆心和半径．(1)x2＋y2＋5x－3y＋1＝0；(2)x2＋y2＋4x＋4＝0；(3)x2＋y2＋x＋2＝0;(4)x2＋y2＋2by＝0(b≠0)；(5)2x2＋2y2＋4x－8y＋2＝0.13．(13分)已知圆C：x2＋y2＋4x＋4y＋m＝0，直线l：x＋y＋2＝0.(1)求m的取值范围；(2)若圆D过点P(1，1)，且与圆C关于直线l对称，求圆D的方程．得分14．(5分)若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为A．(－∞，－2)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)15．(15分)已知圆C的方程为x2＋y2＋(m－2)x＋(m＋1)y＋m－2＝0，根据下列条件确定实数m的取值，并写出相应的圆心坐标和半径．(1)圆的面积最小；(2)圆心距离坐标原点最近．

4．圆的一般方程1．D[解析]易知圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(2，－3)．2．B[解析]由题意得16＋4－20k>0，∴k<1.3．D[解析]由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)＝－2，,－\f(E,2)＝3，,\f(1,2)\r(D2＋E2－4F)＝4，))解得D＝4，E＝－6，F＝－3.4．D[解析]把三点代入验证，只有D选项满足题意．5．C[解析]由于点(0，0)在圆上，代入圆的方程可得F＝0.因为圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴切于原点，所以圆心的横坐标为0，即－eq\f(D,2)＝0，∴D＝0.由D2＋E2－4F＞0，可得E2＞0，即E≠0.故选6．B[解析]根据圆的一般方程中D2＋E2－4F>0，得(－2)2＋62－4×5a>0，解得a<2.由圆关于直线y＝x＋2b对称，可知圆心(1，－3)在直线y＝x＋2b上，即－3＝1＋2b，解得b＝－2，故a－7．D[解析]易知圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝6，所以圆C的圆心坐标为(1，－2)，半径为eq\r(6)，故所求圆的圆心坐标为(1，－2)，半径为eq\f(\r(6),2)，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,2)，即x2＋y2－2x＋4y＋eq\f(7,2)＝0.8．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0[解析]由题意知圆心既在线段AB的垂直平分线y＝－3上，又在2x－y－7＝0上，所以圆心为(2，－3)，所以r＝eq\r(5).故圆C的一般方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.9．2[解析]由题意得圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，3))在直线kx－y＋4＝0上，所以k＝2.10．x－y＋1＝0[解析]易知圆心P的坐标为(－1，2)．∵AB的中点Q的坐标为(0，1)，∴直线PQ的斜率kPQ＝eq\f(2－1,－1－0)＝－1，∴直线AB的斜率k＝1，故直线AB的方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.11．3，－eq\f(9,8)[解析]∵AB，PN的长为定值，∴只需求|PA|＋|BN|的最小值．∵|PA|＋|BN|＝eq\r(（a－1）2＋（0－3）2)＋eq\r(（a－3）2＋（1－0）2)，其几何意义为动点(a，0)到两定点(1，3)和(3，－1)的距离之和，∴当这三点共线，即a＝eq\f(5,2)时，其和取得最小值．此时，线段PN的中垂线x＝3，与线段PA的中垂线y＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)x－eq\f(7,4)的交点为3，－eq\f(9,8)，即所求圆的圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(9,8))).12．解：(1)原方程配方得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(15,2)，故该方程表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，\f(3,2)))为圆心，eq\f(\r(30),2)为半径的圆．(2)原方程配方得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋2))eq\s\up12(2)＋y2＝0，表示一个点(－2，0)．(3)∵D2＋E2－4F＝1－8<0，∴该方程不表示任何图形(4)原方程配方得x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋b))eq\s\up12(2)＝b2，故该方程表示圆心为(0，－b)，半径长为|b|的圆(注意半径不为0)．(5)方程2x2＋2y2＋4x－8y＋2＝0可化为x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，配方得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－2))eq\s\up12(2)＝4，故原方程表示以(－1，2)为圆心，2为半径的圆．13．解：(1)∵方程x2＋y2＋4x＋4y＋m＝0表示的是圆，∴42＋42－4m>0，即m<8，故m的取值范围是m(2)设圆D的圆心坐标为(x0，y0)．依题意得圆C的圆心的坐标为(－2，－2)，点(x0，y0)和点(－2，－2)关于直线l对称，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x0－2,2)＋\f(y0－2,2)＋2＝0，,\f(y0＋2,x0＋2)×（－1）＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝0，,y0＝0，))∴圆D的方程为x2＋y2＝r2.又因为圆D过点P(1，1)，∴12＋12＝r2，即r＝eq\r(2)，∴圆D的方程为x2＋y2＝2.14．D[解析]曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，则曲线C表示的是以(－a，2a)为圆心，2为半径的圆．要使圆C上所有的点均在第二象限内，则圆心(－a，2a)必须在第二象限，从而有a>0，并且圆心到两坐标轴的最短距离应该大于圆C的半径．易知圆心到的两坐标轴的最短距离为|－a|，则有|－a15．解：因为(m－2)2＋(m＋1)2－4(m－2)＝2m2－6m＋13＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(17,2)>0恒成立，所以无论m为何值，方程总表示圆，且圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－m,2)，－\f(m＋1,2)))，圆的半径r＝eq\f(1,2)eq\r(2m2－6m＋13).(1)当圆的半径最小时，圆的面积最小．r＝eq\f(1,2)eq\r(2m2－6m＋13)＝eq\f(1,2)eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(3,2)))\s\up12(2)＋\f(17,2))≥eq\f(\r(34),4)，当且仅当m＝eq\f(3,2)时，等号成立，此时面积最小．所以当圆的面积最小时，圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，－\f(5,4)))，半径r＝eq\f(\r(34