高中数学北师大版2第一章统计案例 第1章23

第一章§2第1课时一、选择题1．两人打靶，甲击中的概率为，乙击中的概率为，若两人同时射击一目标，则它们都中靶的概率是()A． B．0.48C． D．[答案]A[解析]设甲击中为事件A，乙击中为事件B．∵A、B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.2.如图，A、B、C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为、、，那么系统的可靠性是()A． B．C． D．[答案]B[解析]系统可靠即A、B、C3种开关至少有一个能正常工作，则P＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－(1－(1－(1－＝1－××＝.3．盒中有5个红球、11个蓝球、红球中有2个玻璃球、3个塑料球、蓝球中有4个玻璃球、7个塑料球，现从中任取一球，假设每个球被摸到的可能性相同，若已知取到的球是玻璃球，则它是蓝球的概率是()A．eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(3,4)[答案]B[解析]设摸到玻璃球为事件A，摸到蓝球为事件B，则P(A)＝eq\f(6,16)，P(AB)＝eq\f(4,16)，∴所求概率P＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(4,16)×eq\f(16,6)＝eq\f(2,3).简解：6个玻璃球中有4个蓝球，故所求概率为P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).4．某机械零件加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为a，第二道工序的废品率为b，假定这两道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率是()A．ab－a－b＋1 B．1－a－bC．1－ab D．1－2ab[答案]A[解析]设第一道工序出现废品为事件A，第二道工序出现废品为事件B，则P(A)＝a，P(B)＝b，且A与B相互独立．则产品合格率为P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝(1－a)(1－b)＝1－a－b＋ab.5．甲袋中装有2个白球，2个黑球，乙袋中装有2个白球，4个黑球，从甲、乙两袋中各取一球均为白球的概率为()A．eq\f(1,6) B．eq\f(2,5)C．eq\f(2,15) D．eq\f(5,6)[答案]A[解析]记“从甲袋中任取一球为白球”为事件A，“从乙袋中任取一球为白球”为事件B，则事件A、B是相互独立事件．P(A∩B)＝P(A)·P(B)＝eq\f(2,4)×eq\f(2,6)＝eq\f(1,6).6．甲口袋内装有大小相等的8个红球和4个白球，乙口袋内装有大小相等的9个红球和3个白球，从两个口袋内各摸出一球，那么eq\f(5,12)等于()A．2个球都是白球的概率B．2个球中恰好有1个是白球的概率C．2个球都不是白球的概率D．2个球不都是红球的概率[答案]B[解析]两个球都是白球的概率为eq\f(4,12)×eq\f(3,12)＝eq\f(1,12)；两个球恰好有一个是白球的概率为eq\f(4,12)×eq\f(9,12)＋eq\f(8,12)×eq\f(3,12)＝eq\f(5,12).二、填空题7．掷两枚均匀的骰子，已知点数不同，则至少有一个是6点的概率为____________.[答案]eq\f(1,3)[解析]设掷两枚骰子点数不同记为事件A，至少有一个是6点记为事件B．则P(B|A)＝eq\f(2×5,30)＝eq\f(1,3).8．明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是，乙闹钟准时响的概率是，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________.[答案][解析]设A＝“两个闹钟至少有一个准时响”，∴P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－(1－×(1－＝1－×＝.三、解答题9．在由12道选择题和4道填空题组成的考题中，如果不放回地依次抽取2道题．求：(1)第一次抽到填空题的概率；(2)第一次和第二次都抽到填空题的概率；(3)在第一次抽到填空题的前提下，第二次抽到填空题的概率．[答案](1)eq\f(1,4)(2)eq\f(1,20)(3)eq\f(1,5)[解析]设第一次抽到填空题为事件A，第二次抽到填空题为事件B，则第一次和第二次都抽到填空题为事件AB．(1)P(A)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).(2)P(AB)＝eq\f(4×3,16×15)＝eq\f(1,20).(3)P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,20),\f(1,4))＝eq\f(1,5).10．集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．[答案]eq\f(3,5)[解析]将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，则所有可能的抽取结果为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，共30个．其中甲抽到奇数的情形有15个，在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有9个，∴所求概率P＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).解法2：设甲抽到奇数的事件为A，甲抽到奇数且乙抽到的数比甲大为事件B，则P(A)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).P(AB)＝eq\f(5＋3＋1,6×5)＝eq\f(9,30)＝eq\f(3,10).∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(3,5).一、选择题11．已知某产品的次品率为4%，其合格品中75%为一级品，则任选一件为一级品的概率为()A．75% B．96%C．72% D．%[答案]C[解析]记“任选一件产品是合格品”为事件A，则P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－4%＝96%.记“任选一件产品是一级品”为事件B．由于一级品必是合格品，所以事件A包含事件B，故P(AB)＝P(B)．由合格品中75%为一级品知P(B|A)＝75%；故P(B)＝P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝96%×75%＝72%.12．从甲口袋内摸出1个白球的概率是eq\f(1,3)，从乙口袋内摸出1个白球的概率是eq\f(1,2)，从两个口袋内各摸出1个球，那么eq\f(5,6)等于()A．2个球都是白球的概率 B．2个球都不是白球的概率C．2个球不都是白球的概率 D．2个球中恰有1个是白球的概率[答案]C[解析]记从甲口袋内摸出1个白球为事件A，从乙口袋内摸出1个白球为事件B，则A，B是独立事件，于是P(AB)＝P(A)P(B)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，它表示从甲、乙口袋中摸出来的都是白球，故eq\f(5,6)为2个球不都是白球的概率．13．如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是eq\f(1,2)且互相独立，灯亮的概率为()A．eq\f(3,16) B．eq\f(3,4)C．eq\f(13,16) D．eq\f(1,4)[答案]C[解析]因为灯不亮的概率为eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2))＝eq\f(3,16)，所以灯亮的概率为1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).二、填空题14．从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第1次抽到A，则第2次也抽到A的概率________.[答案]eq\f(1,17)[解析]设第1次抽到A为事件M，第2次也抽到A为事件N，则MN表示两次都抽到A，P(M)＝eq\f(4,52)＝eq\f(1,13)，P(MN)＝eq\f(4×3,52×51)＝eq\f(1,13×17)，P(N|M)＝eq\f(PMN,PM)＝eq\f(1,17).15．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为eq\f(1,2)，乙生解出它的概率为eq\f(1,3)，丙生解出它的概率为eq\f(1,4)，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为________.[答案]eq\f(11,24)[解析]P＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,24).三、解答题16．某班有两个课外活动小组，其中第一小组有足球票6张，排球票4张；第二小组有足球票4张，排球票6张．甲从第一小组的10张票中任抽1张，乙从第二小组的10张票中任抽1张．(1)两人都抽到足球票的概率是多少？(2)两人中至少有1人抽到足球票的概率是多少？[答案](1)eq\f(6,25)(2)eq\f(19,25)[解析]记“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件A，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到足球票”为事件B，则“甲从第一小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件eq\x\to(A)，“乙从第二小组的10张票中任抽1张，抽到排球票”为事件eq\x\to(B)，于是P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(2,5)；P(B)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(3,5).由于甲(或乙)是否抽到排球票，对乙(或甲)是否抽到足球票没有影响，因此A与B是相互独立事件．(1)两人都抽到足球票的概率为P＝P(A)·P(B)＝eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(6,25).(2)两人都抽到排球票的概率为P＝P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,25).故两人至少有1人抽到足球票的概率为P＝1－eq\f(6,25)＝eq\f(19,25).17．一个家庭中有若干个小孩，假设生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中有男孩，又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}，对下述两种情形，讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩．[答案](1)A、B不独立(2)A、B相互独立[解析](1)有两个小孩的家庭，这时样本空间为：Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，女)}，它有3个基本事件，由等可能性知概率各为eq\f(1,3)，这时A＝{(男，女)}，B＝{(男，男)，(男，女)}，AB＝{(男，女)}，于是P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(2,3)，P(AB)＝eq\f(1,3)，由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A、B不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，样本空间为：Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，女)，(女，女，女)}，由等可能性知这4个基本事件的概率均为eq\f(1,4)，这时A中含有2个基本事件，B中含有2个基本事件，AB中含有1个基本事件，于是P(A)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,4).显然有P(AB)＝eq\f(1,4)＝P(A)P(B)成立，从而事件A与B是相互独立的．18．甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为eq\f(1,3)和eq\f(1,4)，求：(1)2个人都译出密码的概率；(2)2个人都译不出密码的概率；(3)恰有1个人译出密码的概率；(4)至多1个人译出密码的概率；(5)至少1个人译出密码的概率．[答案](1)eq\f(1,12)(2)eq\f(1,2)(3)eq\f(5,12)(4)eq\f(11,12)(5)eq\f(1,2)[分析]我们把“甲独立地译出密码”记为事件A，把“乙独立地译出密码”记为事件B，显然，A、B为相互独立事件，问题(1)相当于事件A、B同时发生，即事件A·B．问题(2)相当于事件eq\x\to(A)·eq\x\to(B).问题(3)相当于事件A·eq\x\to(B)＋eq\x\to(A)·B．问题(4)“至多1个人译出密码”的对立事件是2个人都译出密码(即事件AB)．问题(5)“至少1个人译出密码”的对立事件是2个人都未译出密码(即事件eq\x\to(A)·eq\x\to(B))．由于A，B是独立事件，上述问题中，eq\x\to(A)与B，A与eq\x\to(B)，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)都是相互独立事件，可以用公式计算相关概率．[解析]记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A，B为相互独立事件，P(A)＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,4).(1)2个人都译出密码的概率为P(A·B)＝P(A)×P(B)＝eq\f(1,3)×eq