高中数学人教A版2第二章推理与证明单元测试 全国公开课

选修1-2第二章2.1一、选择题1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于eq\x(导学号92600974)()A．28 B．32C．33 D．27[答案]B[解析]由以上各数可得每两个数之间依次差3,6,9,12……故x＝20＋12＝32.2．下列关于归纳推理的说法错误的是eq\x(导学号92600975)()①归纳推理是由一般到一般的推理过程；②归纳推理是一种由特殊到特殊的推理；③归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确；④归纳推理具有由具体到抽象的认识功能．A．①② B．②③C．①③ D．③④[答案]A[解析]归纳推理是一种由特殊到一般的推理，类比推理是一种由特殊到特殊的推理．3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…可以得出的一般结论是eq\x(导学号92600976)()A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2[答案]B[解析]观察各等式的构成规律可以发现，各等式的左边是2n－1(n∈N*)项的和，其首项为n，右边是项数的平方，故第n个等式首项为n，共有2n－1项，右边是(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.4．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适eq\x(导学号92600977)()A．三角形 B．梯形C．平行四边形 D．矩形[答案]C[解析]从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．5．观察右图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为eq\x(导学号92600978)()A． B．△C．▭ D．○[答案]A[解析]图形涉及○、△、▭三种符号；其中△与○各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个黑色▭符号，即应画上才合适．6．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝eq\f(底×高,2)，可推知扇形面积公式S扇等于eq\x(导学号92600979)()A．eq\f(r2,2) B．eq\f(l2,2)C．eq\f(lr,2) D．不可类比[答案]C[解析]我们将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径r，∴S扇＝eq\f(1,2)lr.二、填空题7．已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)；sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2)，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：\x(导学号92600980)[答案]sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝eq\f(3,2)[解析]观察每个式子中三个角的关系：三个角分别成等差数列，即30°＋60°＝90°，90°＋60°＝150°；5°＋60°＝65°，65°＋60°＝125°.根据式子中角的这种关系，可以归纳得出：sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝eq\f(3,2).8．在△ABC中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)≥eq\f(9,π)成立，在四边形中不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)≥eq\f(16,2π)成立，在五边形中eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)＋eq\f(1,E)≥eq\f(25,3π)成立，猜想在n边形A1A2…An中有不等式：________成立.eq\x(导学号92600981)[答案]eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋eq\f(1,A3)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,n－2π)[解析]不等式的左边是n个内角倒数的和，右边分子是n2，分母是(n－2)π，故在n边形A1A2…An中有不等式eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋eq\f(1,A3)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,n－2π)成立．9．在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系为\x(导学号92600982)[答案]Seq\o\al(2,△ABC)＝S△OBC·S△DBC[解析]将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得Seq\o\al(2,△ABC)＝S△OBC·S△DBC．三、解答题10．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数.eq\x(导学号92600983)(1)求f(4)；(2)当n>4时，求f(n)(用n表示)．[解析](1)如图所示，可得f(4)＝5.(2)∵f(3)＝2，f(4)＝5＝f(3)＋3，f(5)＝9＝f(4)＋4，f(6)＝14＝f(5)＋5.……∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．∴f(n)＝f(n－1)＋n－1，累加得f(n)＝f(3)＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝2＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝eq\f(1,2)(n＋1)(n－2)．一、选择题1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，则第七个三角形数是eq\x(导学号92600984)()A．27 B．28C．29 D．30[答案]B[解析]后面的三角形数依次在前面的基础上顺次加上2,3,4,5，……，故第七个三角形数为21＋7＝28.2．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是eq\x(导学号92600985)()A．白色 B．黑色C．白色的可能性大 D．黑色的可能性大[答案]A[解析]由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．3．(2023·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝eq\f(2S,a＋b＋c)；类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体P－ABC的体积为V，则r＝eq\x(导学号92600986)()A．eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B．eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C．eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D．eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)[答案]C[解析]将△ABC的三条边长a、b、c类比到四面体P－ABC的四个面面积S1、S2、S3、S4，将三角形面积公式中系数eq\f(1,2)，类比到三棱锥体积公式中系数eq\f(1,3)，从而可知选C．证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，∴V＝eq\f(1,3)S1r＋eq\f(1,3)S2r＋eq\f(1,3)S3r＋eq\f(1,3)S4r，∴r＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).4．对于大于1的自然数m的n次幂可用奇数进行如图所示的“分裂”，仿此，记53的“分裂”中的最小数为a，而52的“分裂”中的最大数是b，则a＋b＝\x(导学号92600987)[答案]30[解析]根据图中的“分裂”规律，可知a＝21，b＝9，故a＋b＝30.二、填空题5．(2023·天津五区县高二检测)在等差数列{an}中，若m＋n＝2p(m、n、p∈N＋)，则am＋an＝2ap，类比上述结论，在等比数列{bn}中，若m＋n＝2p，则得到的结论是\x(导学号92600988)[答案]bmbn＝beq\o\al(2,p)[解析]设等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，则bm＝b1qm－1，bn＝b1qn－1，bp＝b1qp－1，∴bm·bn＝beq\o\al(2,1)qm＋n－2，beq\o\al(2,p)＝beq\o\al(2,1)q2p－2，∵m＋n＝2p，∴bmbn＝beq\o\al(2,1)q2p－2＝beq\o\al(2,p).6．(2023·陕西文)观察下列等式eq\x(导学号92600989)1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)……据此规律，第n个等式可为________．[答案]1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n).[解析]等式左侧规律明显，右侧是后几个自然数的倒数和，再注意到左右两侧项数关系求得．三、解答题7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且Sn－1＋eq\f(1,Sn)＋2＝0(n≥2)，计算S1、S2、S3、S4，并猜想Sn的表达式.eq\x(导学号92600990)[解析]当n＝1时，S1＝a1＝1；当n＝2时，eq\f(1,S2)＝－2－S1＝－3，∴S2＝－eq\f(1,3)；当n＝3时，eq\f(1,S3)＝－2－S2＝－eq\f(5,3)；∴S3＝－eq\f(3,5)；当n＝4时，eq\f(1,S4)＝－2－S3＝－eq\f(7,5)，∴S4＝－eq\f(5,7).猜想：Sn＝－eq\f(2n－3,2n－1)(n∈N*)．8．若a1、a2∈R＋，则有不等式eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2),2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2,2)))2成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广.eq\x(导学号92600991)[解析]本例可以从a1、a2的个数以及指数上进行推广．第一类型：eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3),3)≥(eq\f(a1＋a2＋a3,3))2，eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)＋a\o\al(2,4),4)≥(eq\f(a1＋a2＋a3＋a4,4))2，…，eq\f(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋…＋a\o\al(2,n),n)≥(eq\f(a1＋a2＋…＋an,n))2；第二类型：eq\f(a\o\al(3,1)＋a\o\al(3,2),2)≥(eq\f(a1＋a2,2))3，eq\f(a\o\al