2021-2022年高中数学竞赛训练讲义及详细答案

年高数学竞赛训练讲义及详细答案一、选题1为互不相等正数，下列关系中能成立是（、；；2设，又记

f

k

f

k

,

则（．、；；3设为锐角，的大小序为（．、；；4用红、黄、、绿四颜色给图中A、C、D个小方格涂色（许只用中几种使邻区有公共边的格）不色，则不同涂色方式种数（；、.

AC

BD5、正四棱锥一个对截面一个侧的面积比为则其侧与底面的夹为().；、.、正整集的小元为最元为并各素以小大成个公为等数列则集的素数（．、、.二填题、若数足

yxy，则.2310310310、抛线点，点，抛线的点则最值为．、计.、过线上一作一长最的圆使焦为则圆方为.、把个方切成个面，的小是.、将位码大的全正数自到的序成个列则．三解题、数满；令

1ya1

,1,2,

；．、若位的位码中任个码可成个角的条长则为四三形，求有位角数个．参考答案一选题本满36分，小6分、为不等正，下关中能立是）、；答；：，，合件排，由

244n244n，与号排；当，可成，例取故．、设，记

f

f

则）、；答；：

f1

1f,fx111f1

1

，f3

1fxf2f1f2

33

，此，

f

4

1x,fx1

，f

4n

,f

4

，为，选、设锐，则大顺为）、；答；：

xysin

cossinsin

，

2cos

，.、用、、、四颜给中A、B、D四个方涂（许用中种，使区有共的格）同则同涂方种为（、.答；：两有，色择角种法共种；选色种其一重有选，色择角种法另两选位种共种四全有（为定置，计.正棱的个角面一侧的积为，则其面底的角()..答；：底正形长，锥高，面角形高，则，，.、正数合最元为最元为并各素以从小到大排成一公差为的等差数列，并集中的元素个数为

DPD

C（．

H

M、、.答：解用表集元个，，，，是，

A

BA17

AA59

200617

；而

AA

151

．二填题本满54分，每题9分

222MF2pxD222MF2pxD、若数足

yx21033103

，.答；解据件是于方的个，即

t

的个，以、抛线点，点，抛线的点则最值为．答；：抛线程，顶及点标，设点标，MO2

2

2

22px

x2xpx2px444

，故当时等）、计.答：解：

02cos10

2sinsin

．、直：上一作个轴短椭使焦为则圆方为.

y答；：直上点，关直的称，椭圆定义，

Q

P2aPFPF125，122当仅共，，即，述等取号此，

F

1

OF

2

x点标，得椭的程.、一长体割个面则最值.答解据等性只考单正体切情，说个够，为，四体面为角，互平，正体上至要割两三角，底至要割两个角，个角的积且四三形属四不的四体以种角为的面，高故个同四体体积1和不；

C1所，一方，将位方体割个面；例如从方中挖一四体剩四角的面，计四体.、将位码大的全正数自到的序成个列

A1

D

B1

C则．

A答；解简这数“数则一好有；位数个三好有；，好有，，因即第好为个位好；六好中首为共个前位的有，此个数前位为且是两数的个；前三为各，的三为且前位为第数而四为各，的四为且前位为第数则的五为且前位为的个，．三解题本满60分，小题20分）

ik1nn32ik1nn32、数满：

1naa,2na

；11aa1

11,2,a

；解改条式，111naann

n

1

n

1

n

12a21

，所，

kaikkii

；yiiiii

623

；2kk

1323

．、四数各数中任三数皆构一三形三条长则称四三形，试所四三形的数解称的码，

a,b,c,M

；一当码只一值为共个；二当码恰二值、码为，任三数皆构三形对每，取值则码个为对每，有占方，是种个、码为，据成角条，，的值中个

123456789共个码，于组有占方，是种个、码为，据构三形件有同得数组对于组两有占方，于这有．以共个三当码恰三值、码为，构三形件则，种组每中种占方，是种个、码为，条等于取个同数构三形方数有，组有占方，是种个、码为，同况有值以共个．四互相，有这有，组个法共个．

综，部位角数个为

304

个xx南高数竞训讲（）一选题1、点P（x，y）直上移动则数f（x，y）=的小等（）（）（B）（）（D）2、足正数对x，y（）有对（B）有两（）少三（）不存、集0，1}，，3，，，射f：使对意x∈M，都是数则这的射f个是）（）

（B）

（）15

（）4、方

x

)

ycos(19

)

所示曲是（）曲（B）焦在x轴上的圆（）点在y轴上椭（D以答都正5、一三数三数顺序倒将得的与数加若中有个字是数则这数“和。么所的位中奇和有）个（）100

（）120

（）

（）2006、

函数与相同的定义，且对义域中的任，有f(f()0,

。若的解是，则函数（）A奇函C、既奇函数是偶函数

B、偶数D、既不奇函又不是函数二填题7、长为数成差列，长60钝三形有个8、知个整yz的最公数300，并且则程的x，z）=

。9、已知于x的系方和的个同根复面对的共，m的取范是。、设面的量足系又与模1，且互垂，与夹为。设数f(f(x)f()f(xf(221

，函的象x轴围图形的闭分面是。、若整n恰有4个约，称n为奇数例，8，10是异，么27，69，，125，137，343，，3599，7999这10个整中异有个。三解题、已△ABC的边分别a、b、c，且足abc=（1）否在长为数△ABC？若在求三长若存，明理。（2）a＞1，＞1，＞1，出ABC周的小。

x3x3、已椭过点（1，且点x轴上椭与线|y|=x的交为B、。有A为点过、且开向的物，物的点标（，0。当圆离率e满时求数m的取范。数竞训讲（）

参答1（A）fx)x

2(1)

3解

1x1x13222

21x

，号且当即成，f（，y）最值2（B）解设其ab为然，y=a+b，

b

2)(a)

167

。因b+a与b-a有相的偶，所或得3（A）解当，x+f（x）+xf（x）=-2-f（-2）奇，则f（-2）取1，，5，三取；当x=0时x+f（x）+xfx）=f（0）奇数则f（）可1，3，有3种取；时，（x）+xfx=1+2f（1）奇，则f（1）可3，5，5种法由法理，共3××5=45个射4（）解

19

2007

192)19(360n)于，

sin(192007)

sin(360n19)

sin

，理因，应（）5（A）解设位是则+

aaa)10(a)a)3213

。若进，和的位必偶，符题，以=，13，15，17。因，所取有种能因，所取有可能因，所取有可能因，所取有可；由不进，以能01，，3，。因，足件数有5（）（）6（B）解由

a51

a2

2

猜：。已递关式易数归法予明略于，时故

a12

2007

2006因应(7（，60，100）解记程中两方为12，去x得，所，（）或（4）由1（）得即x：y：：3：5，是由知件必x=20，，z=100由1（得x=-y=-z，已条矛盾8．或解易方的根

xx当即，程两共的根且实为这在平内对的构等梯或矩，们圆当即时方有个等实，对的在对的为直端的上该的程，

x

2

y

2

x)34

，及应的标1，±1）入程即。故m的值围是{或9、解由知得设的角，

|x|y

，以、7解函的象图实部所。求封部的积

梯形A

CDE

1(22、解当AQ=x时，GQ面BDE交于点，作NMBD于M，联QM直线BC点取为P，此最小。

A

yD2CE

B建如1的空直坐标，（0，1）且-3的yz），故令由N在QG上知（，1）存λQN=λQG代消λ2xyx(y000从，

BG

A

QDPC于，而M在BD，可由知

H

y于，

MN

61(.23

x

G、解设则且所a2200712x2

)x3

)2

)2

2007

1x1

2007

2006

x23

2007

2006

x13

2007

2006

x1

2006=

220074012

2007

22x222x2解（）不妨整a≥≥，显≥。若c≥，这由

abc2(c

，得111)(1)(1))25

。矛。故c只能2，，4。当c=2时有又a≥≥2，故解当c=3时即又a≥≥3，故或解或能成角的有，b=7。当c=4时同解a=9b=4或，b=5。能成角的有，b=5。故在边均整的ABC其边分为4，5，，7，（2）

abc2(c

，得1(1)))11)ab3所，

]

a)(

11)ab

，有9332a13ab32故ABC周最值，且当，得最值14.解椭过点A（1，0，，∵，，对性，求物只过圆射y=x（x≥0）的点就过圆射y=xx0）的点x(x0)解程2∵