高中数学人教A版1第三章导数及其应用单元测试【市一等奖】

选修1-1第三章3.一、选择题1．曲线运动方程为s＝eq\f(1－t,t2)＋2t2，则t＝2时的速度为eq\x(导学号92600619)()A．4 B．8C．10 D．12[答案]B[解析]s′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－t,t2)))′＋(2t2)′＝eq\f(t－2,t3)＋4t，∴t＝2时的速度为：s′|t＝2＝eq\f(2－2,8)＋8＝8.2．函数y＝x·lnx的导数是eq\x(导学号92600620)()A．y′＝x B．y′＝eq\f(1,x)C．y′＝lnx＋1 D．y′＝lnx＋x[答案]C[解析]y′＝x′·lnx＋x·(lnx)′＝lnx＋x·eq\f(1,x)＝lnx＋1.3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是eq\x(导学号92600621)()A．eq\f(19,3) B．eq\f(16,3)C．eq\f(13,3) D．eq\f(10,3)[答案]D[解析]f′(x)＝3ax2＋6x，∵f′(－1)＝3a－6，∴3a－6＝4，∴a＝eq\f(10,3).4．(2023·北京昌平高二检测)若函数f(x)＝sinx＋cosx，则f′(eq\f(π,2))的值为eq\x(导学号92600622)()A．2 B．1C．0 D．－1[答案]D[解析]f′(x)＝cosx－sinx，∴f′(eq\f(π,2))＝coseq\f(π,2)－sineq\f(π,2)＝－1.5．(2023·广西南宁高二检测)曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为eq\x(导学号92600623)()A．30° B．45°C．60° D．120°[答案]B[解析]y′＝3x2－2，∴切线的斜率k＝3－2＝1，∴切线的倾斜角为45°.6．若函数f(x)＝f′(1)x3－2x2＋3，则f′(1)的值为eq\x(导学号92600624)()A．0 B．－1C．1 D．2[答案]D[解析]∵f′(x)＝3f′(1)x2－4x∴f′(1)＝3f′(1)－4，∴f′(1)二、填空题7．函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)，则f′(x)＝\x(导学号92600625)[答案]1－eq\f(1,x2)[解析]f(x)＝x＋eq\f(1,x)，∴f′(x)＝1－eq\f(1,x2).8．(2023·贵州遵义一中高二检测)若曲线f(x)＝xsinx＋1在x＝eq\f(π,2)处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝\x(导学号92600626)[答案]2[解析]∵f′(x)＝(xsinx)′＝x′sinx＋x·(sinx)′＝sinx＋xcosx∴f′(eq\f(π,2))＝sineq\f(π,2)＋eq\f(π,2)coseq\f(π,2)＝1.又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－eq\f(a,2)，∴1×(－eq\f(a,2))＝－1，∴a＝2.9．(2023·天津文)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为\x(导学号92600627)[答案]3[解析]f′(x)＝a(lnx＋1)，f′(1)＝a＝3.三、解答题10．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点A(0,1)和B(1,0)，在区间(0,1)内求实数a，使得函数f(x)的图象在x＝a处的切线平行于直线\x(导学号92600628)[解析]直线AB的斜率kAB＝－1，f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(a)＝－1(0<a<1)，即3a2－2a－1＝－1，解得a＝eq\f(2,3).一、选择题1．(2023·重庆巴蜀中学高二检测)不可能以直线y＝eq\f(1,2)x＋b作为切线的曲线是eq\x(导学号92600629)()A．y＝sinx B．y＝lnxC．y＝eq\f(1,x) D．y＝ex[答案]C[解析]若y＝eq\f(1,x)，则y′＝－eq\f(1,x2)<0，∴曲线y＝eq\f(1,x)上任意点处的切线的斜率k<0，故其切线方程不可能为y＝eq\f(1,2)x＋b.2．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为eq\x(导学号92600630)()A．eq\f(π,2) B．0C．钝角 D．锐角[答案]C[解析]y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝eq\r(2)e4sin(4＋eq\f(π,4))<0，故倾斜角为钝角，选C．3．曲线y＝eq\f(x,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为eq\x(导学号92600631)()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2[答案]A[解析]∵y′＝eq\f(x′x＋2－xx＋2′,x＋22)＝eq\f(2,x＋22)，∴k＝y′|x＝－1＝eq\f(2,－1＋22)＝2，∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)eq\x(导学号92600632)()A．e－1 B．－1C．－e－1 D．－e[答案]C[解析]∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(e)＋eq\f(1,x)，∴f′(e)＝2f′(e)＋eq\f(1,e)，解得f′(e)＝－e－1，故选C．二、填空题5．直线y＝4x＋b是曲线y＝eq\f(1,3)x3＋2x(x>0)的一条切线，则实数b＝\x(导学号92600633)[答案]－eq\f(4\r(2),3)[解析]设切点为(x0，y0)，则y′＝x2＋2，∴xeq\o\al(2,0)＋2＝4，∴x0＝eq\r(2).∴切点(eq\r(2)，eq\f(8\r(2),3))在直线y＝4x＋b上，∴b＝－eq\f(4\r(2),3).6．设a∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数是f′(x)，若f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为\x(导学号92600634)[答案]y＝－3x[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋(a－3)，又f′(－x)＝f′(x)，即3x2－2ax＋(a－3)＝3x2＋2ax＋(a－3)，对任意x∈R都成立，所以a＝0，f′(x)＝3x2－3，f′(0)＝－3，曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝－3x.三、解答题7．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，求函数f(x)的解析式.eq\x(导学号92600635)[解析]由f(x)的图象经过点P(0,2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋′(x)＝3x2＋2bx＋c.因为在M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，可知－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2b＋c＝6,－1＋b－c＋2＝1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b－c＝－3,b－c＝0))，解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.8．已知函数f(x)＝x3＋x－\x(导学号92600636)(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．[解析](1)∵f′(x)＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为13x－y－32＝0.(2)解法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴直线l的方程为y＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(x－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，又∵直线l过原点(0,0)，∴0＝(3xeq\o\al(2,0)＋1)(－x0)＋xeq\o\al(3,0)＋x0－16，整理得，xeq\o\al(3,0)＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．解法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝eq\f(y0－0,x0－0)＝eq\f(x\o\al(3,0)＋x0－16,x0)，又∵k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，∴eq\f(x\o\al(3,0)＋x0－16,x0)＝3xeq\o\al(2,0)＋1，解之得，x0＝－2，∴y0＝－26，k＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y＝－eq\f(x,4)＋3垂直，∴切线的斜率