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选修1-1第三章3.一、选择题1.曲线运动方程为s=eq\f(1-t,t2)+2t2,则t=2时的速度为eq\x(导学号92600619)()A.4 B.8C.10 D.12[答案]B[解析]s′=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1-t,t2)))′+(2t2)′=eq\f(t-2,t3)+4t,∴t=2时的速度为:s′|t=2=eq\f(2-2,8)+8=8.2.函数y=x·lnx的导数是eq\x(导学号92600620)()A.y′=x B.y′=eq\f(1,x)C.y′=lnx+1 D.y′=lnx+x[答案]C[解析]y′=x′·lnx+x·(lnx)′=lnx+x·eq\f(1,x)=lnx+1.3.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值是eq\x(导学号92600621)()A.eq\f(19,3) B.eq\f(16,3)C.eq\f(13,3) D.eq\f(10,3)[答案]D[解析]f′(x)=3ax2+6x,∵f′(-1)=3a-6,∴3a-6=4,∴a=eq\f(10,3).4.(2023·北京昌平高二检测)若函数f(x)=sinx+cosx,则f′(eq\f(π,2))的值为eq\x(导学号92600622)()A.2 B.1C.0 D.-1[答案]D[解析]f′(x)=cosx-sinx,∴f′(eq\f(π,2))=coseq\f(π,2)-sineq\f(π,2)=-1.5.(2023·广西南宁高二检测)曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为eq\x(导学号92600623)()A.30° B.45°C.60° D.120°[答案]B[解析]y′=3x2-2,∴切线的斜率k=3-2=1,∴切线的倾斜角为45°.6.若函数f(x)=f′(1)x3-2x2+3,则f′(1)的值为eq\x(导学号92600624)()A.0 B.-1C.1 D.2[答案]D[解析]∵f′(x)=3f′(1)x2-4x∴f′(1)=3f′(1)-4,∴f′(1)二、填空题7.函数f(x)=x+eq\f(1,x),则f′(x)=\x(导学号92600625)[答案]1-eq\f(1,x2)[解析]f(x)=x+eq\f(1,x),∴f′(x)=1-eq\f(1,x2).8.(2023·贵州遵义一中高二检测)若曲线f(x)=xsinx+1在x=eq\f(π,2)处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直,则实数a=\x(导学号92600626)[答案]2[解析]∵f′(x)=(xsinx)′=x′sinx+x·(sinx)′=sinx+xcosx∴f′(eq\f(π,2))=sineq\f(π,2)+eq\f(π,2)coseq\f(π,2)=1.又直线ax+2y+1=0的斜率为-eq\f(a,2),∴1×(-eq\f(a,2))=-1,∴a=2.9.(2023·天津文)已知函数f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f′(x)为f(x)的导函数.若f′(1)=3,则a的值为\x(导学号92600627)[答案]3[解析]f′(x)=a(lnx+1),f′(1)=a=3.三、解答题10.函数f(x)=x3-x2-x+1的图象上有两点A(0,1)和B(1,0),在区间(0,1)内求实数a,使得函数f(x)的图象在x=a处的切线平行于直线\x(导学号92600628)[解析]直线AB的斜率kAB=-1,f′(x)=3x2-2x-1,令f′(a)=-1(0<a<1),即3a2-2a-1=-1,解得a=eq\f(2,3).一、选择题1.(2023·重庆巴蜀中学高二检测)不可能以直线y=eq\f(1,2)x+b作为切线的曲线是eq\x(导学号92600629)()A.y=sinx B.y=lnxC.y=eq\f(1,x) D.y=ex[答案]C[解析]若y=eq\f(1,x),则y′=-eq\f(1,x2)<0,∴曲线y=eq\f(1,x)上任意点处的切线的斜率k<0,故其切线方程不可能为y=eq\f(1,2)x+b.2.若函数f(x)=exsinx,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为eq\x(导学号92600630)()A.eq\f(π,2) B.0C.钝角 D.锐角[答案]C[解析]y′|x=4=(exsinx+excosx)|x=4=e4(sin4+cos4)=eq\r(2)e4sin(4+eq\f(π,4))<0,故倾斜角为钝角,选C.3.曲线y=eq\f(x,x+2)在点(-1,-1)处的切线方程为eq\x(导学号92600631)()A.y=2x+1 B.y=2x-1C.y=-2x-3 D.y=-2x-2[答案]A[解析]∵y′=eq\f(x′x+2-xx+2′,x+22)=eq\f(2,x+22),∴k=y′|x=-1=eq\f(2,-1+22)=2,∴切线方程为:y+1=2(x+1),即y=2x+1.4.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)+lnx,则f′(e)eq\x(导学号92600632)()A.e-1 B.-1C.-e-1 D.-e[答案]C[解析]∵f(x)=2xf′(e)+lnx,∴f′(x)=2f′(e)+eq\f(1,x),∴f′(e)=2f′(e)+eq\f(1,e),解得f′(e)=-e-1,故选C.二、填空题5.直线y=4x+b是曲线y=eq\f(1,3)x3+2x(x>0)的一条切线,则实数b=\x(导学号92600633)[答案]-eq\f(4\r(2),3)[解析]设切点为(x0,y0),则y′=x2+2,∴xeq\o\al(2,0)+2=4,∴x0=eq\r(2).∴切点(eq\r(2),eq\f(8\r(2),3))在直线y=4x+b上,∴b=-eq\f(4\r(2),3).6.设a∈R,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数是f′(x),若f′(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为\x(导学号92600634)[答案]y=-3x[解析]f′(x)=3x2+2ax+(a-3),又f′(-x)=f′(x),即3x2-2ax+(a-3)=3x2+2ax+(a-3),对任意x∈R都成立,所以a=0,f′(x)=3x2-3,f′(0)=-3,曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=-3x.三、解答题7.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0,求函数f(x)的解析式.eq\x(导学号92600635)[解析]由f(x)的图象经过点P(0,2),知d=2,所以f(x)=x3+bx2+cx+′(x)=3x2+2bx+c.因为在M(-1,f(-1))处的切线方程是6x-y+7=0,可知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1,f′(-1)=6.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3-2b+c=6,-1+b-c+2=1)),即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b-c=-3,b-c=0)),解得b=c=-3.故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.8.已知函数f(x)=x3+x-\x(导学号92600636)(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-eq\f(1,4)x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.[解析](1)∵f′(x)=3x2+1,∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13.∴切线的方程为13x-y-32=0.(2)解法一:设切点为(x0,y0),则直线l的斜率为f′(x0)=3xeq\o\al(2,0)+1,∴直线l的方程为y=(3xeq\o\al(2,0)+1)(x-x0)+xeq\o\al(3,0)+x0-16,又∵直线l过原点(0,0),∴0=(3xeq\o\al(2,0)+1)(-x0)+xeq\o\al(3,0)+x0-16,整理得,xeq\o\al(3,0)=-8,∴x0=-2,∴y0=-26,k=13.∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).解法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),则k=eq\f(y0-0,x0-0)=eq\f(x\o\al(3,0)+x0-16,x0),又∵k=f′(x0)=3xeq\o\al(2,0)+1,∴eq\f(x\o\al(3,0)+x0-16,x0)=3xeq\o\al(2,0)+1,解之得,x0=-2,∴y0=-26,k=13.∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).(3)∵切线与直线y=-eq\f(x,4)+3垂直,∴切线的斜率
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