高中数学人教A版第二章数列 高质作品

第二课时等差数列的前项和的应用一、课前准备1.课时目标：搞清等差数列求和公式的推导及应用，利用等差数列前项和的性质解决数列问题，掌握等差数列和的性质，培养学生利用数形结合的思想解决问题的方法，能够利用等差数列的和解决实际问题.2.基础预探：(1)等差数列前项和的公式的有两种形式①与②.(2)常用的等差数列前和的性质①；②；③.（3）若数列均为等比数列，且前项的和分别为和，那么（4）利用等差数列求和公式解决应用问题一般确定首项，公差与二、基础知识习题化（1）如果等差数列中，，那么（A）14（B）21（C）28（D）35（2）数列的前n项和，则的值为（）（A）15(B)16(C)49（D）64（3）设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于（）A．6 B．7 C．8 D．9（4）设等差数列的前n项和为则= （） A．63 B．45 C．36 D．27（5）设为等差数列的前项和，若，则。三、学习引领

等差数列的前项和的公式的是关于二次函数，注意没有常数项，若有常数项不为等差数列，利用等差数列求和计算问题，首先要考虑等差数列的性质，能利用性质解决问题就利用性质来解决，遇到等差数列求和的最值问题要注意利用数形结合思想来解决，在解实际问题时，把实际问题转化为数学问题是解决问题的关键，注意确定首项，公差与项数；注意把所有量都用基本量来表示，变量归一从而发现其中的规律，这就是基本思想与方法，树立目标意识，需要什么就求什么，充分合理的运用条件，时刻注意题目的目标往往也能取得与巧用性质相同的效果，从而提高思维的灵活性和对知识掌握的深刻性.四、典型例题题型一有证明等差数列数列的前项和为且，求常数的值；证明：数列是等差数列思路导析：（1）分别令，可得；（2）由与的关系，分情况进行讨论，并用等差数列的的定义证明.解：（1）当时，若,与已知矛盾，所以则，当时，，.（2）由（1）知，当时，则以上相乘便得到，故是以首相，公差为的等差数列.规律总结：遇到与的关系，一般是把转化为，一般变式训练1.数列，，是前项和，求证：是等差数列；设，求数列的前项和的最小值.题型二应用问题例22023年“七上八下”的防汛关键时刻，某抗洪指挥部接到预报，24销售后有一洪峰到达，为确保安全指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道放线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道放线？思路导析：因为每隔20分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列.工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明24小时内可完成第二道放线工程.思路导析：解：从第一辆车投入工作算起各车工作时间（单位：小时）依次设为，由题意可知，此数列为等差数列，且，公差.25辆翻斗车完成的工作量为：，而需要完成的工作量为.在24小时内能构筑成第二道放线.规律总结：利用等差数列求和公式解决实际问题，关键是合理的转化把应用问题转化为数学问题，再求解，一般按审题、建模、求最值注意实际意义.变式训练2.若只有25辆车可以抽调，则最长每隔多少分钟就有一辆车投入工作才能在24小时内完成任务？题型三利用等差数列和的性质解题例3设等差数列的前项的和分别为，若，则的值为（）C.D.思路导析:利用等差数列和的性质解题，可以设出再求解.解：令，可得当故，所以.规律总结：充分利用的等差数列的性质解题，可以简化解题步骤，对于等差数列的前项和注意是的形式，遇到两个时可以设出两个等差数列的和再求通项来解.变式训练3.已知等差数列是公差不为零的等差数列，且，求五、随堂练习1.设为数列的前项和，，则取最小值时，的值为（）.2.已知数列的前项和为，数列的前项和为，则（）.3.数列的前n项和，则当时，有A、B、C、D、4.设等差数列前项和，，则的值.5.等差，，则使前n项和成立的最大自然数n是___________。6.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32：27，求该数列的过公差.六、课后作业1在等差数列中，设，，，则关系为（）A等差数列B等比数列C等差数列或等比数列D都不对2..已知数列{an}的通项公式为(n∈N*),若前n项和为9,则项数n为()3.已知等差数列的公差，且，则当取得最大值时，等于4.设等差数列，，前项和分别为，若对任意自然数都有，则.5.在数列中，，求.6.某公司决定给员工增加工资，提出两个方案，让每位员工自由选择其中一种.甲方案是公司在每年末给每位员工增资1000元；乙方案是每半年末给每位员工增资300元.你会怎样选择增资方案？请说明你的理由；若保持方案甲不变，而乙方案中每半年末的增资额改为元，问为何值时，方案乙总比方案甲增资多？（说明：①方案的选择应以让自己获得更多增资总额为准；②假定员工工作年限均为整数）参考答案二、基础预探：（1）【】（2）【每项的和成等差数列；当项数为偶数时，满足；当项数为奇数时，；】（3）【】（4）【项数】二、基础知识习题化1.【答案】C【解析】2.【答案】A【解析】.3.【答案】A【解析】设该数列的公差为，则，解得，所以，所以当时，取最小值。4.【答案】B【解析】依题意，S3，S6-S3，S9-S6也构成等差数列，所以=S9-S6=9+2×18=45，选择B；5.【答案】15【解析】,解得，变式训练1解：（1）当时，当时，即，整理得即所以是以2为首项公差为4等差数列（2）设数列的前项和为，由（1）知，所以数列是单调递增的数列，令因为得所以当时，取得最小值，最小值为2.解：从第一辆车投入工作算起各车工作时间（单位：小时）依次设为，由题意可知，此数列为等差数列，且.由例题的解答可知，需要完成的工作量为480.即25辆翻斗车完成的工作量需满足条件，解得，所以最长每隔24分钟就有一辆车投入工作才能在24小时内完成任务.3.解：五、随堂练习1【C】解析：，即，即，故选C.2.【答案】C【解析】.当时，时成立，即.，，故选C.3.【D】解：由得，所以单调递减最大，所以选D4.解析：，即，即.5.解：，所以，所以.6.解：由已知条件，得解得又.在列出方程组后，也可用不求出的值，而是用比例性质求解.由，得.又，解得.六、课后作业1.选A。利用等差数列的性质可知，选A.2..答案:A解析:∵=,∴前n项和==9,解得n=99.3.【.5或6】解析：C由，即，.当或6时，取得最大值.4.答案：解析：由等差数列的性质可得：，又..5.解：，，即，数列是