2021-2022学年河南省部分名校高三(上)摸底数学试卷(8月份)(附答案详解)

设，，1已知函设，，1已知函)𝜋𝜋20212022年河南省部分名高三（上）摸数学试卷（文科月份一、单选题（本大题共12小题共60.0分

已知全，合，，

B.

C.

D.

已知复满足则共轭复数的虚部

B.

C.

D.

命题“，

”的否定是

C.

，3，𝑎𝑙5

5

B.，3D.，，则𝑎，，的小关系

𝑎

B.

𝑎

C.

𝑎

D.

𝑎

在区间上机取一个数，的概率

B.

C.

D.

中国古代数学名算法统宗中有这样一个问题“今有俸粮百零五石五等官正品、从一品、正二品从二品、正三依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸石分给正一品、从一品、正二品、从二品、正三品这位员，依照品级递石这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正三品分得俸粮是

石

B.

石

C.

石

D.

石

，现将的象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来倍纵坐标不变，得到函的图象，则(

3

B.

C.

D.

已知正三棱柱底为正三角形直棱

中

是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为

B.

C.

D.

江西南昌的滕王阁南昌沿路赣江东岸于唐永徽四即元年，是古代江南唯一的皇家建筑因唐诗人王勃所《滕王阁而名传千古流芳第1页，共页

22𝑦22𝑦𝑏后世，被誉为“江南三大名楼”之另外两大名楼分别为岳阳的岳阳楼与武汉的22𝑦22𝑦𝑏黄鹤楼小张同学为测量滕王阁的高度取了与底部水平的直将自制测量仪器分别放置于两进行测量．如图，测量仪器，滕王阁顶部平齐，并测得𝐴，，滕王阁的高度约参考数据

B.

C.

D.

如为一个三棱锥的三视图该三棱锥的外接球表面积为B.C.D.

已函𝑥

存零点，则实的值范围为

B.

𝑒

C.

,

D.

𝑒,已点，分为椭圆：𝑎𝑏的、右焦点，点在：22，上运动，𝐹

的最大值为，椭的心率

B.

C.

D.

二、单空题（本大题共4小题，20.0分若曲：

的条渐近线方程为𝑦

，则．写一个最大值的偶函数(，即______．已向足，，则______．在eq\o\ac(△,)中角，，的对边分别𝑎，，，𝑎𝑏)𝑖𝑎(，的取值范围_____用间．三、解答题（本大题共7小题，82.0分某为巩固脱贫成果，防止返贫致贫，积极引导村民种植一种名贵中药材，但种中药材需加工成半成品才能销售有甲乙种针对这种中药材的加工方式可供第2页，共页

𝑛3𝑛3𝑛2𝑛选择，为比较这两种加工方式的优劣，村委会分别从甲、乙两种加工𝑛3𝑛3𝑛2𝑛半成品中各随机抽取了件为样本检测其质量指标质量指标值越大量越好，测结果如表所示：指标区间频数甲种生产方式乙种生产方式已知每件中药半成品的等级与纯利润间的关系如表所示：指标区间

等级

二级

一级

特级纯利润

将率视为概率，分别估计甲、乙两种加工方式所加工一件中药材半成品等级为特级的概率；从均数的角度分析村民选择哪种中药材加工方式获利多．18.

已知数

的𝑛项和为𝑛

，且

𝑛

𝑛

．求：数是比数列𝑛求列

𝑙𝑜𝑔⋅𝑙𝑜𝑔

的前𝑛项．第3页，共页

19.

如图，在四棱锥中底面四边是形，平面𝐶，，．求的；点在棱上点到平的离．20.

已知抛物线：

的点，与：上的距离的最大值．求；若为标原点与相于两问否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．21.

已知函

且．讨函的调性；第4页，共页

证：时，

𝑙𝑛

．22.

在直角坐标系直线的数方程{𝑡

为参以标原点为极点轴的正半轴为极轴建立极坐标系线的坐标方程为求线𝑙的通方程和曲的角坐标方程；

𝜋

若的角坐标为直𝑙与线相于两

3

3

的值．23.

已知函．解等；若|对成立，的取值范围．第5页，共页

，1答案和解析，11.【答案】【解析】解：全集，合，，𝑁．故选：先求出𝑁，由此能求

的．本题考查集合的运算查交集集定义等基础知识运算求解能力基题．2.【答案】【解析】解：由，得，𝑖

𝑖2

𝑖

，则的轭复数的虚部．故选：．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求即得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】【解析为称命题题

”的否定是

，故选：．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，是基础题．4.【答案】【解析】解：

𝑎

，𝑎，𝑎，5第6页，共页

，𝜋𝜋，，，𝜋𝜋5

15

，

15

，，，故选：先化简，再比较，对于不同底同指数的可以，比．本题考查对数，指数的计算，比较大小，属于基础题．5.【答案】【解析

2

2得

2

2，则对应的概

2(1)3(2)故选：．根据不等式的性质求出对应的解，利用几何概型的概率公式进行求解即可．本题主要考查几何概型的概率计算，求出不等式的解是解决本题的关键，是基础题．6.【答案】【解析】解：依题意设分给正一、从一品、正二品、从二品、正三品位员的大米分别2，，，．则由题意得225，，所以丁分得大米重量22石，故选：．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式了理能力与计算能力于基础题．7.【答案】【解析】解：函数(2得到

，现将的象向右平移个位长度，第7页，共页

𝜋385的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长𝜋3853变，得

𝜋3

的图象，所以．故选：．直接利用三角函数的关系式的变换型函数的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点角函数关系式的变换弦型函数的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．8.【答案】【解析】解：𝐴𝐵，𝐴𝐵中𝑂为标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．，，3，,

,

，所以

,,

，

，则

22⋅

5

．所以异面直与所成角的余弦值为．故选：．设，中为坐标原点建立空间直角坐标系，求出向 ，利夹角公式求出夹角．第8页，共页

本题考查利用空间向量求异面直线所成角，属于基础题．9.【答案】【解析】解：如图所示，中，且，所以，以，所以，

，所以小张同学测得滕王阁的高度．故选：．利用直角三角形的边角关系，即可求以的值．本题考查了直角三角形的边角关系，也考查了运算求解问题，是基础题．【案【解析】解：根据几何体的三视转换为直观图为：该几何体为三棱锥；如图所示：设该三棱锥的外接球半径，所以

，则

，第9页，共页

𝑥22𝑥2，21212所以𝑥22𝑥2，21212

球

⋅

．故选：．直接利用三棱锥体和外接球的关系，求出球的半径和球的表面积．本题考查的知识要点：三棱锥体和外接球的关系，球的半径和球的表面积的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．【案【解析】解：函数(

2

存零点，即

2

有正根，令，2则

𝑥

−2)3

，它在内负2,为，函在上减，在2,上单增，此时

𝑖𝑛

，又当时，时，故选：．

2

．分析可

2

有两个不同的正根，(，用导数即可求得实数的值2范围．本题考查导数在解决函数问题中的运用，考查转化思想及运算能力，属于中档题．【案【解析所题意可：，(，，2合称性妨，设

，则

，椭圆的质可知：2

，所以𝑛

第10页，共17页

𝑥𝑥2𝑥2𝑏𝑏2𝑥2𝑐𝑐𝑐22𝑐2𝑐22𝑥2，𝑥𝑥4𝑥𝑥𝑥𝑥2𝑥2𝑏𝑏2𝑥2𝑐𝑐𝑐22𝑐2𝑐22𝑥2，𝑥𝑥4𝑎𝑐𝑎𝑐𝑎𝑐𝑎𝑐

2𝑐𝑥𝑐2𝑥2𝑏𝑥

，因为𝑥，𝑥

2√𝑥2，当且仅当𝑥𝑏取等，𝑥𝑥2𝑐所以2𝑥

2𝑐2𝑏

，即𝑡𝑎

𝑡𝑎𝑛60°，即2𝑏𝑏2

𝑐𝑎𝑐

2

，，以𝑎，𝑎故选：．由题意画出图像，设𝑥然后的切表示𝑥的函数形式然后求出函数的最大值，并求出此时𝑥的值，则根据此，造𝑐方程，即可求出离心率．本题考查椭圆的性质以及学生运用数形结合思想解题的能力，属于中档题．【案【解析】解：双曲：

𝑚

𝑦

𝑚的条渐近线方程为𝑦=

𝑚可得𝑚，故答案为：．直接利用双曲线的渐近线方程，求即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．【案|𝑥|答不唯【解析】解：一个最大值为的偶函𝑥)𝑥|．故答案为：𝑥|答不唯一．根据函数的性质即可求得结论．本题考查函数奇偶性的判断和应用，注意常见函数的奇偶性，属于基础题．【案或【解析】解：(3,4)，，4，由得√

2

2，解

或，5当

时，(,，4)，55第11页，共17页

2则𝑖√31𝜋，,,，可求范围,,5，则2则𝑖√31𝜋，,,，可求范围,,当时，,，，5则√(2．故答案为：．设，由，求，再分类求解的坐标，然后利用量模的计算公式求解．本题考查向量共线的坐标运算及数乘运算，考查向量模的求法，是基础题．【案√【解析】解：因为𝑖，所以由正弦定理可得，理可得

，由余弦定理可得

2

2

，因为，所以

，

𝐶

𝑖√3

2𝜋3

22√3

3sin(6√3

，2

2

2因为在锐eq\o\ac(△,)中

0<

，可得

，sin(𝐴+,，所以

𝑖√．故答案为：

．由正弦定理化简已知等式可

，余弦定理可

，结合范围可求，用正弦定理，三函数恒等变换的应用化简可求

，在锐eq\o\ac(△,)𝐴中，由

，可得

，而根据正弦函数的性质即求解其取值范围．本题主要考查了正弦定理弦理三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力、转化思想和函数思想的应用，属于中档题．第12页，共17页

30𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑙𝑜𝑔𝑙𝑜𝑔𝑛17.【案】解由格可得甲种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的频数，30𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑙𝑜𝑔𝑙𝑜𝑔𝑛故频率为

，乙种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的频数，故频率为

，由此估计：甲种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的概率为，乙种加工方式所加工的一件中药材半成品等级为特级的概率为；甲加工方式所加工的一件中药材半成品的平均利润为：

+元，乙种加工方式所加工的一件中药材半成品的平均利润为：

100]元，，故从平均数的角度看，村民选择甲种中药材加工方式获利更多．【解析根频数估计估计即可求平均数，根据平均数判断即可．本题考查了通过频数，频率估计概率，考查平均数的计算，是基础题．【案】证明：数列；当时解

的前𝑛项和为𝑛

，

𝑛，整理得

𝑛

，，𝑛当时

𝑛1

，𝑛1得

𝑛

𝑛1

𝑛

，整理

𝑛1

，故

𝑛1

常数，所以数

是以为项，为比的等比数列；解：由得：

𝑛1

𝑛

．所以

3𝑛3𝑛+2

𝑛(𝑛

，故：

𝑛1𝑛+1

𝑛𝑛+2𝑛+2

𝑛+1𝑛+2

．第13页，共17页

eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)5⋅𝑆⋅ℎ⋅则332【解析直利用数列的递推关系式的应用求出数列的eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)5⋅𝑆⋅ℎ⋅则332利裂项相消法的应用求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．【案】解：连，因为平面，平，故AC，又，且，，平面，故AC平面，又平，所以𝐶，故矩形为方形，则2

，

；设与的点，因为四边形为方形，则所以点到平的距离与到平的离相等，3

，所以

⋅⋅2，3设点平面的离为，由等体积法

，eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)

⋅

，故

eq\o\ac(△,𝐴)eq\o\ac(△,)𝐶𝐷𝐶𝐸

12

⋅53

12

53

43

5

，所以点到平的距离为5【解析接，与的点，用线面垂直的性质可从而得到矩为方形，求解可得；因点到面的离与到平面的离相等，由等体积

，结合锥体的体积公式求解即可．第14页，共17页

𝑝222222222√22222本题考查了线面垂直的判定定理𝑝222222222√22222等体积法是求解点到平面的距离的常用方法查了逻辑推理能力空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．【案】解：点

𝑝2

到圆上点的距离的最大值|，即，得𝑝2；4由得²，,，,，2联立

4，得²，24，4，，所以12

，故【解析由到上点最大值为建关𝑝的方程，解出即可；联直线与抛物线方程，结合韦达定理即可求本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的综合，韦达定理得应用，属于中档题．【案】解：函的定义域为，𝑚(2𝑥

2

，令(2𝑚𝑥

2

，它为二次函数，

2

，当时，，所以，故在上单调递增，证：时，，解得，，且4

2

，所以当

时，，以，单递，当

,时，所，单递减，综上所述，时在上调递增，当时

24

上单调递增，在

24

,上单调递减证：知时，在上调递增，上调递减，所以对任意恒，即

2

，第15页，共17页

3322𝜋222于是对任意恒记𝑥，3322𝜋222，则

2

2，所以在上单调递减，所以当时，，所以当时，得当时，⋅𝑥3，即⋅，两边都除以，得𝑥．所以当时𝑥

2

3

，【解析求导得

2𝑚

2

𝑚

2𝑚

𝑚，𝑚2，分两种情况𝑚时当𝑚时分析(的负，进而可的负，即可得出答案．由知当𝑚时在上调递增，上单调递减，推出对任意恒有2