高中数学人教B版第一章立体几何初步 第1章3

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径为()\r(3,2) \r(3,3)C．2eq\r(3,2) \r(2)【解析】设大球的半径为r，则eq\f(4,3)π×13×2＝eq\f(4,3)πr3，∴r＝eq\r(3,2).【答案】A2．设正方体的表面积为24，那么其外接球的体积是()\f(4,3)π \f(8π,3)C．4eq\r(3)π D．32eq\r(3)π【解析】由题意可知，6a2＝24，∴a设正方体外接球的半径为R，则eq\r(3)a＝2R，∴R＝eq\r(3)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.【答案】C3．圆台上、下底面面积分别是π、4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是()\f(2\r(3),3)π B．2eq\r(3)\f(7\r(3),6)π \f(7\r(3),3)π【解析】S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝6π＝π(r＋R)l，∴l＝2，∴h＝eq\r(3).∴V＝eq\f(1,3)π(1＋4＋2)×eq\r(3)＝eq\f(7,3)eq\r(3)π.故选D.【答案】D4．如图1­1­108，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()图1­1­108\f(17,27) \f(5,9)\f(10,27) \f(1,3)【解析】由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4cm，底面半径为2cm，右面圆柱的高为2cm，底面半径为3cm，则组合体的体积V1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm3)，原毛坯体积V2＝π×32×6＝54π(cm3)，则所求比值为eq\f(54π－34π,54π)＝eq\f(10,27).【答案】C5．某几何体的三视图如图1­1­109所示，则它的体积是()图1­1­109A．8－eq\f(2π,3) B．8－eq\f(π,3)C．8－2π \f(2π,3)【解析】由三视图可知，该几何体是一个正四棱柱挖去一个圆锥，正四棱柱的体积为2×2×2＝8，圆锥的体积为eq\f(1,3)π×2＝eq\f(2π,3)，所以该几何体的体积为8－eq\f(2π,3)，选A.【答案】A二、填空题6．一个长方体的三个面的面积分别是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，则这个长方体的体积为________．【解析】设长方体的棱长分别为a，b，c，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘可知(abc)2＝6，所以长方体的体积V＝abc＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)7．圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图1­1­110所示)，则球的半径是________cm.图1­1­110【解析】设球的半径为r，则由3V球＋V水＝V柱，得6r·πr2＝8πr2＋3×eq\f(4,3)πr3，解得r＝4.【答案】48．半径为2的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为________.【导学号：60870029】【解析】由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆，如图所示，设圆锥底面半径为r，高为h，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2πr＝2π，,h2＋r2＝4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,h＝\r(3).))∴它的体积为eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.【答案】eq\f(\r(3),3)π三、解答题9．一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图1­1­111所示，AA1＝3.(1)请画出它的直观图；(2)求这个三棱柱的表面积和体积．图1­1­111【解】(1)直观图如图所示．(2)由题意可知，S△ABC＝eq\f(1,2)×3×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(9\r(3),4).S侧＝3AC×AA1＝3×3×故这个三棱柱的表面积为27＋2×eq\f(9\r(3),4)＝27＋eq\f(9\r(3),2).这个三棱柱的体积为eq\f(9\r(3),4)×3＝eq\f(27\r(3),4).10．如图1­1­112，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．图1­1­112【解】因为V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×43＝eq\f(128,3)π(cm3)，V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×42×10＝eq\f(160,3)π(cm3)，因为V半球<V圆锥，所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．[能力提升]1．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得的这个圆台的圆锥的体积是()A．54 B．54πC．58 D．58π【解析】设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝eq\f(1,3)πh1(r2＋9r2＋3r·r)，∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得eq\f(r,3r)＝eq\f(h－h1,h)，∴h＝eq\f(3,2)h1，∴V原圆锥＝eq\f(1,3)π(3r)2×h＝3πr2×eq\f(3,2)h1＝eq\f(9,2)×12＝54.【答案】A2．(2023·长沙高一检测)一个几何体的三视图如图1­1­113所示，则它的体积为()图1­1­113\f(20,3)\f(40,3)C．20 D．40【解析】由三视图知该几何体是一个放倒的四棱锥(如图所示的四棱锥A­BCDE)，其中四棱锥的底面BCDE为直角梯形，其上底CD为1，下底BE为4，高BC为4.棱锥的高AB为4，所以四棱锥的体积为eq\f(1,3)×eq\f(1＋4,2)×4×4＝eq\f(40,3)，故选B.【答案】B3．(2023·蚌埠市高二检测)圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，则圆锥的表面积是________．【解析】因为圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，所以圆锥的侧面积等于扇形的面积＝eq\f(120×π×22,360)＝eq\f(4,3)π，设圆锥的底面圆的半径为r，因为扇形的弧长为eq\f(2π,3)×2＝eq\f(4,3)π，所以2πr＝eq\f(4,3)π，所以r＝eq\f(2,3)，所以底面圆的面积为eq\f(4,9)π.所以圆锥的表面积为π×eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋2))＝eq\f(16,9)π.【答案】eq\f(16,9)π4．若E，F是三棱柱ABC­A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A­BEFC【解】如图所示，连接AB1，AC1.∵B1E＝CF，∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．又四棱锥A­BEFC的高与四棱锥A­B1EFC1的高相等，∴VA­BEFC＝VA­B1EFC1＝eq\f(1,2)VA­BB1C1C，又VA­A1B1C1＝eq\f(