高中数学人教A版第一章集合与函数概念 学业质量标准检测2

第一、二章学业质量标准检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M＝{－1,1}，N＝{－2,1,0}，则M∩N＝eq\x(导学号69174916)(C)A．{0，－1} B．{0} C．{1} D．{－1,1}[解析]M∩N＝{1}，故选C．2．函数f(x)＝x3＋x的图象关于eq\x(导学号69174917)(C)A．y轴对称 B．直线y＝－x对称C．原点对称 D．直线y＝x对称[解析]∵f(－x)＝－f(x)，且定义域为R，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．3．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{1,2,3,5}，B＝{2,4,6}，则图中阴影部分表示的集合为eq\x(导学号69174918)(B)A．{2} B．{4,6} C．{1,3,5} D．{4,6,7,8}[解析]阴影部分表示的集合为B∩(∁UA)．∵∁UA＝{4,6,7,8}，∴B∩(∁UA)＝{4,6}．4．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2x>8,ffx＋2x≤8))，则f(5)的值是eq\x(导学号69174919)(D)A．9 B．11 C．13 D．[解析]f(5)＝f(f(7))＝f(f(f(9)))＝f(f(11))＝f(13)＝15.5．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是eq\x(导学号69174920)(D)A．y＝eq\r(1＋x2) B．y＝x＋eq\f(1,x)C．y＝2x＋eq\f(1,2x) D．y＝x＋ex[解析]y＝eq\r(1＋x2)是偶函数，y＝x＋eq\f(1,x)是奇函数，y＝2x＋eq\f(1,2x)是偶函数，y＝x＋ex非奇非偶函数，故选D．6．化简(eq\r(3)＋2)2017(eq\r(3)－2)2018＝eq\x(导学号69174921)(B)A．eq\r(3)＋2 B．2－eq\r(3) C．1 D．－1[解析](eq\r(3)＋2)2023(eq\r(3)－2)2023＝[(eq\r(3)＋2)(eq\r(3)－2)]2023·(eq\r(3)－2)＝2－eq\r(3).故选B．7．(2023·南昌模拟)函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是eq\x(导学号69174922)(B)A．(0，eq\f(1,2)) B．(eq\f(1,2)，＋∞)C．(－2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[解析]f(x)变形为f(x)＝a＋eq\f(1－2a,x＋2)，因为f(x)在(－2，＋∞)上单调递增，所以1－2a＜0，得a＞eq\f(1,2)，故选B．8．若指数函数y＝ax当x<0时，有0<y<1，则在同一坐标系中，函数y＝a－x与函数y＝logax的图象是eq\x(导学号69174923)(A)[解析]∵x<0时，y＝ax∈(0,1)，∴a>1，∴y＝logax单调递增，y＝a－x＝(eq\f(1,a))x单调递减，故选A．9．函数f(x)＝eq\f(3x,\r(1－x))＋lg(2x－1)的定义域为eq\x(导学号69174924)(C)A．(－∞，1) B．(0,1] C．(0,1) D．(0，＋∞)[解析]要使函数解析式有意义，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＞0，,1－x＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＞0，,x＜1，))所以0＜x＜1，即函数定义域为(0,1)，选C．10．设a＝(eq\f(2,5))eq\s\up7(\f(3,5))，b＝(eq\f(2,5))eq\s\up7(\f(2,5))，c＝(eq\f(3,5))eq\s\up7(\f(2,5))，则a，b，c的大小关系是eq\x(导学号69174925)(C)A．a＞b＞c B．c>a>b C．a<b<c D．b>c>a[解析]∵函数y＝(eq\f(2,5))x在R上是减函数，又eq\f(3,5)>eq\f(2,5)，∴(eq\f(2,5))eq\s\up7(\f(3,5))<(eq\f(2,5))eq\s\up7(\f(2,5))，即a<b.又∵函数y＝xeq\s\up7(\f(2,5))在(0，＋∞)上是增函数，且eq\f(3,5)>eq\f(2,5)，∴(eq\f(3,5))eq\s\up7(\f(2,5))>(eq\f(2,5))eq\s\up7(\f(2,5))，即c>b.∴a<b<c.11．已知函数f(x)＝2eqlog\s\do8(\f(1,2))x的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是eq\x(导学号69174926)(A)A．[eq\f(\r(2),2)，eq\r(2)] B．[－1,1]C．[eq\f(1,2)，2] D．(－∞，eq\f(\r(2),2)]∪[eq\r(2)，＋∞)[解析]由已知得，－eq\f(1,2)≤eqlog\s\do8(\f(1,2))x≤eq\f(1,2)，(eq\f(1,2))eq\s\up7(\f(1,2))≤x≤(eq\f(1,2))－eq\s\up7(\f(1,2))，即eq\f(\r(2),2)≤x≤eq\r(2)，故选A．12．f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝eq\x(导学号69174927)(D)A．3 B．1 C．－1 D．－[解析]∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b，∴f(0)＝1＋b＝0，∴b＝－1，∴f(1)＝2＋2－1＝3，∴f(－1)＝－f(1)＝－3，故选D．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知集合A＝{x∈R|ax2＋x＋2＝0}，若A中至少有一个元素，则a的取值范围是__{a|a≤eq\f(1,8)}\x(导学号69174928)[解析]当a＝0时，A＝{－2}符合题意；当a≠0时，则Δ≥0，即1－8a≥0，解得a≤eq\f(1,8)且a≠0.综上可知，a的取值范围是{a|a≤eq\f(1,8)}．14．定义运算a*b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≤b，,ba＞b，))则函数f(x)＝1*2的最大值为\x(导学号69174929)[解析]当x≥0时，2x≥1；当x＜0时，2x＜1.∴f(x)＝1*2x=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1x≥0，,2xx<0，))，x≥0，∴f(x)的最大值是1.15．幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么αβ＝\x(导学号69174930)[解析]因为BM＝MN＝NA，A(1,0)，B(0,1)，所以点M(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))，N(eq\f(2,3)，eq\f(1,3))．分别代入y＝xα，y＝xβ中，得α＝eqlog\s\do8(\f(1,3))eq\f(2,3)，β＝eqlog\s\do8(\f(2,3))eq\f(1,3)，所以αβ＝1.16．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x，x≥0，,4x－x2，x＜0，))若f(2－a)＞f(a)，则a的取值范围是__(－∞，1)\x(导学号69174931)[解析]作出f(x)的图象，易知f(x)在R上是增函数，由f(2－a)＞f(a)，得2－a＞a，即2a＜2，解得a三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设全集U＝{2,4，－(a－3)2}，集合A＝{2，a2－a＋2}，若∁UA＝{－1}，求实数a的值.eq\x(导学号69174932)[解析]由∁UA＝{－1}，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1∈U,－1∉A，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a－32＝－1，,a2－a＋2≠－1，))解得a＝4或a＝2.当a＝2时，A＝{2,4}，满足A⊆U，符合题意；当a＝4时，A＝{2,14}，不满足A⊆U，故舍去，综上，a的值为2.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)，且f(1)＝\x(导学号69174933)(1)求a的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(3)函数在(3，＋∞)上是增函数，还是减函数？并证明你的结论．[解析](1)f(1)＝1＋a＝10，∴a＝9.(2)∵f(x)＝x＋eq\f(9,x)，∴f(－x)＝－x＋eq\f(9,－x)＝－(x＋eq\f(9,x))＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(3)设x2>x1>3，f(x2)－f(x1)＝x2＋eq\f(9,x2)－x1－eq\f(9,x1)＝(x2－x1)＋(eq\f(9,x2)－eq\f(9,x1))＝(x2－x1)＋eq\f(9x1－x2,x1x2)＝eq\f(x2－x1x1x2－9,x1x2)，∵x2>x1>3，∴x2－x1>0，x1x2>9，∴f(x2)－f(x1)>0，∴f(x2)>f(x1)，∴f(x)＝x＋eq\f(9,x)在(3，＋∞)上为增函数．19．(本小题满分12分)已知幂函数f(x)＝x－2m2－m＋3，其中m∈{x|－2<x<2，x∈Z}满足：eq\x(导学号69174934)(1)f(x)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时f(x)的值域．[解析]因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，所以m＝－1,0,1.因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．当m＝－1时，f(x)＝x2只满足条件(1)而不满足条件(2)；当m＝1时，f(x)＝x0，条件(1)、(2)都不满足．当m＝0时，f(x)＝x3，条件(1)、(2)都满足，且在区间[0,3]上是增函数，所以x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝b·ax(其中a、b为常数，a>0，a≠1)的图象过点，A(1，eq\f(1,6))，B(3，eq\f(1,24)).eq\x(导学号69174935)(1)求f(x)；(2)若不等式(eq\f(1,a))x＋(eq\f(1,b))x－m≥0在x∈[1，＋∞)时恒成立，求m的取值范围．[解析](1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\f(1,6),b·a3＝\f(1,24)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2),b＝\f(1,3)))，∴f(x)＝eq\f(1,3)×(eq\f(1,2))x.(2)(eq\f(1,a))x＋(eq\f(1,b))x－m＝2x＋3x－m，∴m≤2x＋3x，∵y＝2x＋3x在[1，＋∞)上为增函数，∴最小值为5，∴m≤5.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，eq\x(导学号69174936)(1)若函数f(x)在[2,3]上的最大值与最小值的和为2，求a的值；(2)将函数f(x)图象上所有的点向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得函数图象不经过第二象限，求a的取值范围．[解析](1)因为函数f(x)＝logax在[2,3]上是单调函数，所以loga3＋loga2＝2，所以a＝eq\r(6).(2)依题意，所得函数g(x)＝loga(x＋2)－1，由g(x)函数图象恒过(－1，－1)点，且不经过第二象限，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,g0≤0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,loga2－1≤0，))解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a＞0且a≠1).eq\x(导学号69174937)(1)当a＝eq\f(1,2)时，求f(x)的单调区间；(2)当x∈[0，eq\f(3,2)]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值