高中数学人教A版1第一章常用逻辑用语-参赛作品

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列命题为特称命题的是()A．奇函数的图象关于原点对称B．正四棱柱都是平行六面体C．棱锥仅有一个底面D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0【解析】A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.【答案】D2．下列命题为真命题的是()A．∀x∈R，cosx<2B．∃x∈Z，log2(3x－1)<0C．∀x>0，3x>3D．∃x∈Q，方程eq\r(2)x－2＝0有解【解析】A中，由于函数y＝cosx的最大值是1，又1<2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)<0⇔0<3x－1<1⇔eq\f(1,3)<x<eq\f(2,3)，所以B是假命题；C中，当x＝1时，31＝3，所以C是假命题；D中，eq\r(2)x－2＝0⇔x＝eq\r(2)∉Q，所以D是假命题．故选A.【答案】A3．下列命题的否定是真命题的是()A．存在向量m，使得在△ABC中，m∥eq\o(AB,\s\up6(→))且m∥eq\o(AC,\s\up6(→))B．所有正实数x，都有x＋eq\f(1,x)≥2C．所有第四象限的角α，都有sinα<0D．有的幂函数的图象不经过点(1，1)【解析】A中，当m＝0时，满足m∥eq\o(AB,\s\up6(→))且m∥eq\o(AC,\s\up6(→))，所以A是真命题，其否定是假命题；B中，由于x>0，所以x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，当且仅当x＝eq\f(1,x)即x＝1时等号成立，所以B是真命题，其否定是假命题；C中，由于第四象限角的正弦值是负数，所以C是真命题，其否定是假命题；D中，对于幂函数f(x)＝xα，均有f(1)＝1，所以幂函数的图象均经过点(1，1)，所以D是假命题，其否定是真命题，故选D.【答案】D4．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是()A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)【解析】f(x)＝ax2＋bx＋c＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4ac－b2,4a)(a>0)，∵2ax0＋b＝0，∴x0＝－eq\f(b,2a)，当x＝x0时，函数f(x)取得最小值，∴∀x∈R，f(x)≥f(x0)，从而A，B，D为真命题，C为假命题．【答案】C5．对下列命题的否定说法错误的是()A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D．p：∃n∈N，2n≤100；綈p：∀n∈N，2n＞100【答案】C二、填空题6．命题“偶函数的图象关于y轴对称”的否定是_____________．【解析】题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图象关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图象关于y轴不对称”．【答案】有些偶函数的图象关于y轴不对称7．已知命题：“∃x0∈[1，2]，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是__________．【解析】当x∈[1，2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，∴a≥－8.【答案】[－8，＋∞)8．下列命题：①存在x<0，使|x|>x；②对于一切x<0，都有|x|>x；③已知an＝2n，bn＝3n，对于任意n∈N*，都有an≠bn；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝∅.其中，所有正确命题的序号为________.【导学号：18490027】【解析】命题①②显然为真命题；③由于an－bn＝2n－3n＝－n<0，对于∀n∈N*，都有an<bn，即an≠bn，故为真命题；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，如n＝1，2，3时，A∩B＝{6}，故为假命题．【答案】①②③三、解答题9．写出下列命题的否定：(1)p：一切分数都是有理数；(2)q：有些三角形是锐角三角形；(3)r：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋x0＝x0＋2；(4)s：∀x∈R，2x＋4≥0.【解】(1)綈p：有些分数不是有理数．(2)綈q：所有的三角形都不是锐角三角形．(3)綈r：∀x∈R，x2＋x≠x＋2.(4)綈s：∃x0∈R，2x0＋4＜0.10．若x∈[－2，2]，关于x的不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，求a的取值范围．【解】设f(x)＝x2＋ax＋3－a，则此问题转化为当x∈[－2，2]时，f(x)min≥0即可．①当－eq\f(a,2)<－2，即a>4时，f(x)在[－2，2]上单调递增，f(x)min＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤eq\f(7,3).又因为a>4，所以a不存在．②当－2≤－eq\f(a,2)≤2，即－4≤a≤4时，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＝eq\f(12－4a－a2,4)≥0，解得－6≤a≤2.又因为－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.③当－eq\f(a,2)>2，即a<－4时，f(x)在[－2，2]上单调递减，f(x)min＝f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7.又因为a<－4，所以－7≤a<－4.综上所述，a的取值范围是{a|－7≤a≤2}．[能力提升]1．已知命题p：∃x0∈(－∞，0)，2x0＜3x0，命题q：∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，cosx＜1，则下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∨(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)【解析】当x0＜0时，2x0＞3x0，∴不存在x0∈(－∞，0)使得2x0＜3x0成立，即p为假命题，显然∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，恒有0<cosx＜1，∴命题q为真，∴(綈p)∧q是真命题．【答案】C2．(2023·四川高考)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则()A．綈p：∃x∈A，2x∈B B．綈p：∃x∉A，2x∈BC．綈p：∃x∈A，2x∉B D．綈p：∀x∉A，2x∉B【解析】命题p是全称命题：∀x∈M，p(x)，则綈p是特称命题：∃x∈M，綈p(x)．故选C.【答案】C3．已知函数f(x)＝x2＋m，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，若对任意x1∈[－1，3]，存在x2∈[0，2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________．【解析】因为对任意x1∈[－1，3]，f(x1)∈[m，9＋m]，即f(x)min＝m.存在x2∈[0，2]，使f(x1)≥g(x2)成立，只要满足g(x)min≤m即可，而g(x)是单调递减函数，故g(x)min＝g(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，得m≥eq\f(1,4).【答案】eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))4．已知a>eq\f(1,2)且a≠1，条件p：函数f(x)＝log(2a－1)x在其定义域上是减函数；条件q：函数g(x)＝eq\r(x＋|x－a|－2)的定义域为R，如果p∨q为真，试求a的取值范围.【导学号：18490028】【解】若p为真，则0<2a－1<1，得eq\f(1,2)<a<1.若q为真，则x＋|x－a|－2≥0对∀x∈R恒成立．记f(