新高考数学二轮复习专题讲测练专题07 立体几何小题常考全归类（精讲精练）（原卷版）

专题07立体几何小题常考全归类【命题规律】高考对该部分的考查，小题主要体现在两个方面：一是有关空间线面位置关系的命题的真假判断；二是常见一些经典常考压轴小题，难度中等或偏上．【核心考点目录】核心考点一：球与截面面积问题核心考点二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题核心考点三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题核心考点四：立体几何中的交线问题核心考点五：空间线段以及线段之和最值问题核心考点六：空间角问题核心考点七：轨迹问题核心考点八：以立体几何为载体的情境题核心考点九：翻折问题【真题回归】1．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥SKIPIF1<0的六条棱长均为6，S是SKIPIF1<0及其内部的点构成的集合．设集合SKIPIF1<0，则T表示的区域的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·浙江·高考真题）如图，已知正三棱柱SKIPIF1<0，E，F分别是棱SKIPIF1<0上的点．记SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（多选题）（2022·全国·高考真题）如图，四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记三棱锥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的体积分别为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（多选题）（2022·全国·高考真题）已知正方体SKIPIF1<0，则（

）A．直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0 B．直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0 D．直线SKIPIF1<0与平面ABCD所成的角为SKIPIF1<05．（多选题）（2021·全国·高考真题）在正三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的周长为定值B．当SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值C．当SKIPIF1<0时，有且仅有一个点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，有且仅有一个点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<06．（2020·海南·高考真题）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以SKIPIF1<0为球心，SKIPIF1<0为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．【方法技巧与总结】1、几类空间几何体表面积的求法（1）多面体：其表面积是各个面的面积之和．（2）旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．（3）简单组合体：应弄清各构成部分，并注意重合部分的删、补．2、几类空间几何体体积的求法（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算．（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．（3）锥体体积公式为SKIPIF1<0，在求解锥体体积时，不能漏掉3、求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形．4、球的截面问题球的截面的性质：①球的任何截面是圆面；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；③球心到截面的距离SKIPIF1<0与球的半径SKIPIF1<0及截面的半径SKIPIF1<0的关系为SKIPIF1<0．注意：解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的位置关系和数量关系；选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），达到空间问题平面化的目的．5、立体几何中的最值问题有三类：一是空间几何体中相关的点、线和面在运动，求线段长度、截面的面积和体积的最值；二是空间几何体中相关点和线段在运动，求有关角度和距离的最值；三是在空间几何体中，已知某些量的最值，确定点、线和面之间的位置关系．6、解决立体几何问题的思路方法：一是几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值；通过降维的思想，将空间某些量的最值问题转化为平面三角形、四边形或圆中的最值问题；涉及某些角的三角函数的最值，借助模型求解，如正四面体模型、长方体模型和三余弦角模SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为平面的斜线与平面内任意一条直线SKIPIF1<0所成的角，SKIPIF1<0为该斜线与该平面所成的角，SKIPIF1<0为该斜线在平面上的射影与直线SKIPIF1<0所成的角）．7、立体几何中的轨迹问题，这是一类立体几何与解析几何的交汇题型，既考查学生的空间想象能力，即点、线、面的位置关系，又考查用代数方法研究轨迹的基本思想，培养学生的数学运算、直观想象等素养．8、解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法．对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法（解析法）．在图形中，建立恰当的空间直角坐标系或平面直角坐标系．9、以立体几何为载体的情境题大致有三类：（1）以数学名著为背景设置问题，涉及中外名著中的数学名题名人等；（2）以数学文化为背景设置问题，包括中国传统文化，中外古建筑等；（3）以生活实际为背景设置问题，涵盖生产生活、劳动实践、文化精神等．10、以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题．图形怎么阅读?一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．【核心考点】核心考点一：球与截面面积问题【规律方法】球的截面问题球的截面的性质：①球的任何截面是圆面；②球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；③球心到截面的距离SKIPIF1<0与球的半径SKIPIF1<0及截面的半径SKIPIF1<0的关系为SKIPIF1<0．【典型例题】例1．（2022·全国·高三阶段练习）已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，且该四棱锥的所有顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD,SKIPIF1<0，点E在棱PB上，且SKIPIF1<0，过E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是____________.例2．（2022·湖北省红安县第一中学高三阶段练习）球体在工业领域有广泛的应用，某零件由两个球体构成，球SKIPIF1<0的半径为SKIPIF1<0为球SKIPIF1<0表面上两动点，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点.半径为2的球SKIPIF1<0在球SKIPIF1<0的内壁滚动，点SKIPIF1<0在球SKIPIF1<0表面上，点SKIPIF1<0在截面SKIPIF1<0上的投影SKIPIF1<0恰为SKIPIF1<0的中点，若SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值是___________.例3．（2022·江西·高三阶段练习（理））如图，正方体SKIPIF1<0的棱长为6，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点的平面SKIPIF1<0截该正方体所得截面的面积为_________．例4．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）如图，在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是棱SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上运动，给出下列四个结论：①平面SKIPIF1<0截正方体SKIPIF1<0所得的截面图形是五边形；②直线SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离是SKIPIF1<0；③存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0面积的最小值是SKIPIF1<0．其中所有正确结论的序号是__________．核心考点二：体积、面积、周长、角度、距离定值问题【规律方法】几类空间几何体体积的求法（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算．（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解；对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．（3）锥体体积公式为SKIPIF1<0，在求解锥体体积时，不能漏掉【典型例题】例5．（2022·河南省实验中学高一期中）如图，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点，则三棱锥SKIPIF1<0的体积（

）A．存在最大值，最大值为SKIPIF1<0 B．存在最小值，最小值为SKIPIF1<0C．为定值SKIPIF1<0 D．不确定，与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的位置有关例6．（2022·山西运城·模拟预测（文））如图，正方体SKIPIF1<0的棱长为1，线段SKIPIF1<0上有两个动点E，F，且SKIPIF1<0，点P，Q分别为SKIPIF1<0的中点，G在侧面SKIPIF1<0上运动，且满足SKIPIF1<0G∥平面SKIPIF1<0，以下命题错误的是（）A．SKIPIF1<0B．多面体SKIPIF1<0的体积为定值C．侧面SKIPIF1<0上存在点G，使得SKIPIF1<0D．直线SKIPIF1<0与直线BC所成的角可能为SKIPIF1<0例7．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体SKIPIF1<0中，过对角线SKIPIF1<0的一个平面交SKIPIF1<0于E，交SKIPIF1<0于F，给出下面几个命题：①四边形SKIPIF1<0一定是平行四边形；②四边形SKIPIF1<0有可能是正方形；③平面SKIPIF1<0有可能垂直于平面SKIPIF1<0；④设SKIPIF1<0与DC的延长线交于M，SKIPIF1<0与DA的延长线交于N，则M､N､B三点共线；⑤四棱锥SKIPIF1<0的体积为定值．以上命题中真命题的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5核心考点三：体积、面积、周长、距离最值与范围问题【规律方法】几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值【典型例题】例8．（2022·全国·高三专题练习）如图，正方形SKIPIF1<0的中心为正方形SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0，截去如图所示的阴影部分后，翻折得到正四棱锥SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点重合于点SKIPIF1<0），则此四棱锥的体积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例9．（2022·江西南昌·三模（理））已知长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为矩形SKIPIF1<0内一动点，设二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0体积的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例10．（2022·浙江·高三阶段练习）如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面是边长为SKIPIF1<0的正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．过SKIPIF1<0作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例11．（2022·河南省实验中学高一期中）如图，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的动点，则三棱锥SKIPIF1<0的体积（

）A．存在最大值，最大值为SKIPIF1<0 B．存在最小值，最小值为SKIPIF1<0C．为定值SKIPIF1<0 D．不确定，与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的位置有关核心考点四：立体几何中的交线问题【规律方法】几何法【典型例题】例12．（2022·浙江宁波·一模）在棱长均相等的四面体ABCD中，P为棱AD（不含端点）上的动点，过点A的平面α与平面PBC平行．若平面α与平面ABD，平面ACD的交线分别为m，n，则m，n所成角的正弦值的最大值为__________．例13．（2022·全国·高三专题练习）已知一个正四面体的棱长为2，则其外接球与以其一个顶点为球心，1为半径的球面所形成的交线的长度为___________.例14．（2022·福建福州·三模）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为球心，半径为2的球面与底面SKIPIF1<0的交线的长度为___________.例15．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））如图，在四面体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两两垂直，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为球心，SKIPIF1<0为半径作球，则该球的球面与四面体SKIPIF1<0各面交线的长度和为___．核心考点五：空间线段以及线段之和最值问题【规律方法】几何法，利用几何体的性质，探求图形中点、线、面的位置关系；二是代数法，通过建立空间直角坐标系，利用点的坐标表示所求量的目标函数，借助函数思想方法求最值【典型例题】例16．（2022·全国·高三专题练习）已知正三棱锥SKIPIF1<0的底面边长为SKIPIF1<0，外接球表面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点M，N分别是线段AB，AC的中点，点P，Q分别是线段SN和平面SCM上的动点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例17．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为3的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例18．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P是SKIPIF1<0上的一动点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3核心考点六：空间角问题【规律方法】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的．（3）计算：在证明的基础上计算得出结果．简称：一作、二证、三算．2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．（2）等积法：公式SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°．4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．【典型例题】例19．（2022·浙江金华·高三期末）已知正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内一点，且SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例20．（2022·浙江·效实中学模拟预测）在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AC交BD于O点，SKIPIF1<0沿着直线BD翻折成SKIPIF1<0，所成二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，则下列选项中错误的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例21．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D为AB边上的中点，点M在线段BD（不含端点）上，将SKIPIF1<0沿CM向上折起至SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0与平面ACM所成锐二面角为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与平面AMC所成角为SKIPIF1<0，直线MC与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则在翻折过程中，下列三个命题中正确的是（

）①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0.A．① B．①② C．②③ D．①③例22．（2022·浙江·高三专题练习）已知等边SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0上的动点，且满足SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿着SKIPIF1<0翻折至SKIPIF1<0点处，如图所示，记二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例23．（2022·全国·高三专题练习）设三棱锥SKIPIF1<0的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱SKIPIF1<0上的点（不含端点），记直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角是SKIPIF1<0则三个角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中最小的角是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．不能确定核心考点七：轨迹问题【规律方法】解决立体几何中的轨迹问题有两种方法：一是几何法．对于轨迹为几何体的问题，要抓住几何体中的不变量，借助空间几何体（柱、锥、台、球）的定义；对于轨迹为平面上的问题，要利用降维的思想，熟悉平面图形（直线、圆、圆锥曲线）的定义．二是代数法（解析法）．在图形中，建立恰当的空间直角坐标系或平面直角坐标系．【典型例题】例24．（2022·北京·昌平一中高三阶段练习）设正方体SKIPIF1<0的棱长为1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在正方体的表面上运动，且满足SKIPIF1<0，则下列命题：①点SKIPIF1<0可以是棱SKIPIF1<0的中点；②点SKIPIF1<0的轨迹是菱形；③点SKIPIF1<0轨迹的长度为SKIPIF1<0；④点SKIPIF1<0的轨迹所围成图形的面积为SKIPIF1<0.其中正确的命题个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4例25．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体SKIPIF1<0的边长为2，点E，F分别为棱CD，SKIPIF1<0的中点，点P为四边形SKIPIF1<0内（包括边界）的一动点，且满足SKIPIF1<0平面BEF，则点P的轨迹长为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．1例26．（2022·全国·模拟预测（理））如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且SKIPIF1<0，点E，F，G分别为棱AB，AD，PC的中点，下列说法错误的是（

）A．AG⊥平面PBDB．直线FG和直线AC所成的角为SKIPIF1<0C．过点E，F，G的平面截四棱锥SKIPIF1<0所得的截面为五边形D．当点T在平面ABCD内运动，且满足SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0时，动点T的轨迹是圆例27．（2022·浙江温州·高三开学考试）如图，正方体SKIPIF1<0，P为平面SKIPIF1<0内一动点，设二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的大小为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则点P的轨迹是（

）A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线例28．（2022·全国·高三专题练习）如图，正方体SKIPIF1<0中，M为BC边的中点，点P在底面SKIPIF1<0和侧面SKIPIF1<0上运动并且使SKIPIF1<0，那么点P的轨迹是（

）A．两段圆弧 B．两段椭圆弧C．两段双曲线弧 D．两段抛物线弧核心考点八：以立体几何为载体的情境题【规律方法】以立体几何为载体的情境题都跟图形有关，涉及在具体情境下的图形阅读，需要通过数形结合来解决问题．图形怎么阅读？一是要读特征，即从图形中读出图形的基本特征；二是要读本质，即要善于将所读出的信息进行提升，实现“图形→文字→符号”的转化；三是要有问题意识，带着问题阅读图形，将研究图形的本身特征和关注题目要解决的问题有机地融合在一起；四是要有运动观点，要“动手”去操作，动态地去阅读图形．【典型例题】例29．（2022·宁夏·平罗中学高三阶段练习（理））设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在P处的离散曲率为SKIPIF1<0为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0遍及多面体M的所有以P为公共点的面如图是正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，若它们在各顶点处的离散曲率分别是a，b，c，d，则a，b，c，d的大小关系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例30．（2022·广东·广州市从化区第三中学高三阶段练习）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于SKIPIF1<0与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有SKIPIF1<0个面角，每个面角是SKIPIF1<0，所以正四面体在每个顶点的曲率为SKIPIF1<0，故其总曲率为SKIPIF1<0.给出下列三个结论：①正方体在每个顶点的曲率均为SKIPIF1<0；②任意四棱锥的总曲率均为SKIPIF1<0；③若某类多面体的顶点数SKIPIF1<0，棱数SKIPIF1<0，面数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则该类多面体的总曲率是常数.其中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③例31．（2022·辽宁·沈阳二十中三模）我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即SKIPIF1<0.现将椭圆SKIPIF1<0绕SKIPIF1<0轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例32．（2022·全国·高三专题练习）将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），SKIPIF1<0为该地的纬度值，如图．已知太阳每年直射范围在南北回归线之间，即SKIPIF1<0．北京天安门广场的汉白玉华表高为9.57米，北京天安门广场的纬度为北纬SKIPIF1<0，若某天的正午时刻，测得华表的影长恰好为9.57米，则该天的太阳直射纬度为（

）A．北纬SKIPIF1<0 B．南纬SKIPIF1<0C．北纬SKIPIF1<0 D．南纬SKIPIF1<0核心考点九：翻折问题【规律方法】1、处理图形翻折问题的关键是理清翻折前后长度和角度哪些发生改变，哪些保持不变．2、把空间几何问题转化为平面几何问题，把握图形之间的关系，感悟数学本质．【典型例题】例33．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知四边形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为斜边的等腰直角三角形，SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿对角线SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0在翻折的过程中，下列结论中不正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0可能垂直C．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的最大值是SKIPIF1<0 D．四面体SKIPIF1<0的体积的最大是SKIPIF1<0例34．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）如图，已知矩形SKIPIF1<0的对角线交于点SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0例35．（2022·全国·高三专题练习）如图1，在正方形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点（不含端点），将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，使得二面角SKIPIF1<0为直二面角，得到图2所示的四棱锥SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点（不含端点），则在四棱锥SKIPIF1<0中，下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0四点一定共面B．存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．侧面SKIPIF1<0与侧面SKIPIF1<0的交线与直线SKIPIF1<0相交D．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值例36．（2022·全国·高三专题练习）已知直角梯形ABCD满足：AD∥BC，CD⊥DA，且△ABC为正三角形．将△ADC沿着直线AC翻折至△AD'C如图，且SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的平面角大小分别为α，β，γ，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与平面ABC所成角分别是θ1，θ2，θ3，则（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【新题速递】1．（2022·安徽·高三阶段练习）如图，在棱长为SKIPIF1<0的正四面体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0分别在棱SKIPIF1<0上，且平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内一点，记三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，关于函数SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0B．函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数C．函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称D．SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为四面体SKIPIF1<0的体积）2．（2022·重庆市长寿中学校高三阶段练习）如图所示，在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0､SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0､SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（如图1）.将四边形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，连接SKIPIF1<0（如图2）.在折起的过程中，下列说法中错误的个数是（

）①SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0四点不可能共面；③若SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；④平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0可能垂直.A．1 B．2 C．3 D．43．（2022·四川·成都市第二十中学校一模（理））如图，在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0均为所在棱的中点，则下列结论正确的有（

）①棱SKIPIF1<0上一定存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0②三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0③过点SKIPIF1<0作正方体的截面，则截面面积为SKIPIF1<0④设点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值的最大值为SKIPIF1<0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学有限责任公司模拟预测（文））在棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在正方体各棱及表面上运动且满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0轨迹所围成图形的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足是SKIPIF1<0，正四面体SKIPIF1<0的棱长为4，点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上运动，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上运动，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·湖南·模拟预测）正三棱柱SKIPIF1<0的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，若点P是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MP∥平面SKIPIF1<0，则动点P的轨迹面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2022·山西·高三阶段练习）已知正方体SKIPIF1<0的顶点都在表面积为SKIPIF1<0的球面上，过球心O的平面截正方体所得的截面为一菱形，记该菱形截面为S，点P是正方体表面上一点，则以截面S为底面，以点P为顶点的四棱锥的体积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<08．（2022·浙江·高三阶段练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若空间点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正切的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．19．（多选题）（2022·云南曲靖·高三阶段练习）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为1，点SKIPIF1<0为侧面SKIPIF1<0内一点，则（

）A．当SKIPIF1<0时，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的正切值为2B．当SKIPIF1<0时，四面体SKIPIF1<0的体积为定值C．当点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离等于到直线SKIPIF1<0的距离时，点SKIPIF1<0的轨迹为拋物线的一部分D．当SKIPIF1<0时，四面体SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<010．（多选题）（2022·辽宁·本溪高中高三阶段练习）如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，SKIPIF1<0，G为线段AE上的动点，则（

）A．SKIPIF1<0B．多面体ABCDEF的体积为SKIPIF1<0C．若G为线段AE的中点，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面CEFD．点M，N分别为线段AF，AC上的动点，点T在平面BCF内，则SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<011．（多选题）（2022·广东·东涌中学高三期中）如图，已知正方体SKIPIF1<0的棱长为1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则以下说法正确的是（

）A．点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点B．三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值为SKIPIF1<0D．过点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0作正方体的截面，所得截面的面积是SKIPIF1<012．（多选题）（2022·安徽·阜阳师范大学附属中学高三阶段练习）已知SKIPIF1<0为等腰直角三角形，SKIPIF1<0，其高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折成大小为SKIPIF1<0的二面角，连接SKIPIF1<0，形成四面体SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内（含边界），且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0变化的过程中（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0点到平面SKIPIF1<0的距离的最大值为SKIPIF1<0C．点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内（含边界）的轨迹长度为SKIPI