高中数学人教A版第一章三角函数 课时作业(四)

课时作业(四)诱导公式(一)、三角函数线A组基础巩固1．点P(tan2023°，sin2023°)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：∵2023°＝5×360°＋212°∴tan2023°＝tan212°＞0sin2023°＝sin212°＜0，∴点(tan2023°，sin2023°)在第四象限．答案：D2．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在()A．第一象限的角平分线上B．第四象限的角平分线上C．第二、四象限的角平分线上D．第一、三象限的角平分线上解析：由条件知sinα＝－cosα，α的终边应在第二、四象限的角平分线上．答案：C3．若α是第一象限角，则sinα＋cosα的值与1的大小关系是()A．sinα＋cosα＞1B．sinα＋cosα＝1C．sinα＋cosα＜1D．不能确定解析：作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sinα＋cosα＞1.答案：A4．在[0,2π]上满足sinx≥eq\f(1,2)的x的取值范围是()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))解析：可以直接用特殊角来验证．取x＝eq\f(π,6)，则sinx＝eq\f(1,2)≥eq\f(1,2)成立，故排除D；再取x＝eq\f(π,2)，则sinx＝1≥eq\f(1,2)成立，排除A；再取x＝eq\f(5π,6)，则sinx＝sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)≥eq\f(1,2)成立，故选B.答案：B5．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有()A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b解析：如图作出角α＝－1rad的正弦线、余弦线及正切线，显然b＝cos(－1)＝OM＞0，c＝tan(－1)＜a＝sin(－1)＜0，即c＜a＜b.答案：C6．在(0,2π)内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(5,4)π))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5,4)π))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)π，\f(3,2)π))解析：如图，当eq\f(π,4)＜α＜eq\f(5π,4)时，sinα＞cosα，故选C.答案：C\a\vs4\al(2023·福建三明市高一月考)若角420°的终边上有一点(4，－a)，则a的值是()A．4eq\r(3)B．－4eq\r(3)C．±4eq\r(3)\r(3)解析：由题意，得tan420°＝－eq\f(a,4)，即tan60°＝－eq\f(a,4)，解得a＝－4eq\r(3)，故选B.答案：B\r(sin2120°)等于()A．±eq\f(\r(3),2)\f(\r(3),2)C．－eq\f(\r(3),2)\f(1,2)解析：eq\r(sin2120°)＝|sin120°|＝sin120°＝eq\f(\r(3),2)，故选B.答案：B9．不等式tanα＋eq\f(\r(3),3)＞0的解集是__________．解析：不等式的解集如图所示(阴影部分)，∴不等式tanα＋eq\f(\r(3),3)＞0的解集是{α|kπ－eq\f(π,6)＜α＜kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}．答案：{α|kπ－eq\f(π,6)＜α＜kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}10．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).解析：(1)作直线y＝eq\f(\r(3),2)交单位圆于A、B，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域(图1阴影部分)，即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋eq\f(π,3)≤α≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z}．图1(2)作直线x＝－eq\f(1,2)交单位圆于C、D，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域(图2阴影部分)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋eq\f(2π,3)≤α≤2kπ＋eq\f(4π,3)，k∈Z}．图2B组能力提升\a\vs4\al(2023·安徽蚌埠市高一期末)设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin\f(πx,3)，x≤2014，,fx－4，x＞2014，))则f(2015)等于()\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)\f(\r(3),2)解析：f(2015)＝f(2015－4)＝f(2011)＝sineq\f(2011π,3)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(670×3π＋\f(π,3)))＝sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)，故选D.答案：D\a\vs4\al(2023·山西广灵一中高一期末)如果cosα＝eq\f(m＋4,4\r(m))有意义，那么m的取值范围是()A．m＜4B．m＝4C．m＞4D．m≠4解析：∵－1≤cosα≤1，∴－1≤eq\f(m＋4,4\r(m))≤1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋42,16m)≤1,m＞0))⇒(m－4)2≤0，∴m＝4，故选B.答案：B13．设θ是第二象限角，试比较sineq\f(θ,2)，coseq\f(θ,2)，taneq\f(θ,2)的大小．解析：∵θ是第二象限角，∴2kπ＋eq\f(π,2)＜θ＜2kπ＋π(k∈Z)，故kπ＋eq\f(π,4)＜eq\f(θ,2)＜kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．作出eq\f(θ,2)所在范围如图所示．当2kπ＋eq\f(π,4)＜eq\f(θ,2)＜2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，coseq\f(θ,2)＜sineq\f(θ,2)＜taneq\f(θ,2).当2kπ＋eq\f(5π,4)＜eq\f(θ,2)＜2kπ＋eq\f(3,2)π(k∈Z)时，sineq\f(θ,2)＜coseq\f(θ,2)＜taneq\f(θ,2).14．求函数f(x)＝eq\r(1－2cosx)＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(\r(2),2)))的定义域．解析：由题意，自变量x应满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2cosx≥0，,sinx－\f(\r(2),2)＞0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx＞\f(\r(2),2)，,cosx≤\f(1,2).))则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴{x|2kπ＋eq\f(π,3)≤x＜2kπ＋eq\f(3,4)π，k∈Z}．\a\vs4\al(附加题·选做)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，利用三角函数线证明：sinα＜α＜tanα.证明：如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P，α的正弦线、正切线为有向线段MP，AT，则MP＝sinα，AT＝tanα.因为S△A