高中数学人教A版2第一章导数及其应用单元测试 一等奖

1．函数的最大(小)值与导数1．能够区分极值与最值两个不同的概念．2．掌握在闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)的求法．eq\x(基)eq\x(础)eq\x(梳)eq\x(理)1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值．函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点处或区间端点处取得．2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤：(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值．想一想：如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象．(1)观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．(2)结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？(1)解析：极大值为：f(x1)、f(x3)，极小值为：f(x2)，f(x4)．(2)解析：存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)．eq\x(自)eq\x(测)eq\x(自)eq\x(评)1．连续不断的函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M＝m，则f′(x)(A)A．等于0B．大于0C．小于0D．以上都有可能解析：因为最大值等于最小值，所以该函数是常数函数，所以f′(x)＝0，故选A.2．函数f(x)＝x＋2cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值点为(B)A．x＝0B．x＝eq\f(π,6)C．x＝eq\f(π,3)D．x＝eq\f(π,2)解析：令f′(x)＝1－2sinx＝0，则sinx＝eq\f(1,2)，又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴x＝eq\f(π,6)，又f(0)＝2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(π,6)＋eq\r(3)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\f(π,2)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))最大，∴最大值点为x＝eq\f(π,6).3．设函数f(x)＝x(x2－3)，则f(x)在区间[0，1]上的最小值为(C)A．－1B．0C．－2D．2解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x∈[0，1]时f′(x)≤0，即f(x)在区间[0，1]上是减函数，所以最小值为f(1)＝－2.eq\x(基)eq\x(础)eq\x(巩)eq\x(固)1．函数y＝x－sinx，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))的最大值是(C)A．π－1\f(π,2)－1C．πD．π＋12．设函数f(x)＝2x＋eq\f(1,x)－1(x<0),则eq\a\vs4\al(f（x）)(A)A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是(B)A．0≤a<1B．0<a<1C．－1<a<1D．0<a<eq\f(1,2)解析：∵f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，依题意f′(x)＝0在(0，1)内有解．∴0<a<1.4．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．解析：f′(x)＝m－2x，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(m,2).由题设得eq\f(m,2)∈[－2，－1]，故m∈[－4，－2]．答案：[－4，－2]eq\x(能)eq\x(力)eq\x(提)eq\x(升)5．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)(C)A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，也无最小值D．无最大值，但有最小值解析：f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当－1<x<1时，f′(x)<0.∴f(x)在(－1，1)上是减函数，没有最值．故选C.6．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是(A)A．－37B．－29C．－5D．以上都不对解析：f′(x)＝6x2－12x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.由f(－2)＝－40＋m，f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，则f(0)＝m＝3⇒f(－2)＝－40＋m＝－37.故选A.7．函数f(x)＝eq\r(x2＋1)(－2≤x≤1)的最大值是________，最小值是________．解析：x2＋1在x∈[－2，1]上的最大值为5，最小值为1.答案：eq\r(5)18．设x0是函数f(x)＝eq\f(1,2)(ex＋e－x)的最小值点，则曲线上点(x0，f(x0))处的切线方程是________．解析：f′(x)＝eq\f(1,2)(ex－e－x)，令f′(x)＝0，所以x＝0，可知x0＝0为最小值点．切点为(0，1)，f′(0)＝0为切线斜率，所以切线方程为y＝1.答案：y＝19．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，求当|MN|达到最小时t的值．解析：由题意，设|MN|＝F(t)＝t2－lnt(t＞0)，令F′(t)＝2t－eq\f(1,t)＝0，得t＝eq\f(\r(2),2)或t＝－eq\f(\r(2),2)(舍去)．F(t)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))上单调递减，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))上单调递增，故t＝eq\f(\r(2),2)时，F(t)＝t2－lnt(t＞0)有极小值，也为最小值．所以|MN|达到最小值时．t＝eq\f(\r(2),2).10．已知a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值．解析：f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)．若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0；若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±eq\r(a).由x∈[0，1]，则只考虑x＝eq\r(a)的情况．①0＜eq\r(a)＜1，即0＜a＜1时，当x＝eq\r(a)时，f(x)有最大值f(eq\r(a))＝2aeq\r(a).(如下表所示)x(0，eq\r(a))eq\r(a)(eq\r(a)，1)f′(x)＋0－f(x)↗2a