高中数学人教B版第三章不等式 获奖作品

第三章基础巩固一、选择题1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在eq\x(导学号27542816)(A)A．每个95元 B．每个100元C．每个105元 D．每个110元[解析]设每个涨价x元，则利润y＝(x＋10)(400－20x)＝－20x2＋200x＋4000，∴当x＝eq\f(200,40)＝5时，y取得最大值．故每个售价为95元时利润最大．2．在面积为S(S为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r时，扇形周长最小，这时θ、r的值分别是eq\x(导学号27542817)(D)A．θ＝1，r＝eq\r(S) B．θ＝2，r＝eq\r(4,S)C．θ＝2，r＝eq\r(3,S) D．θ＝2，r＝eq\r(S)[解析]S＝eq\f(1,2)θr2⇒θ＝eq\f(2S,r2)，又扇形周长P＝2r＋θr＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r＋\f(S,r)))≥4eq\r(S)，当P最小时，r＝eq\f(S,r)⇒r＝eq\r(S)，此时θ＝2.3．某公司从2023年起每位职工的年工资主要由三个项目组成，并按下表规定发放工资：(工龄为整数)项目计算方法基础工资2023年2万元，以后每年逐增10%住房补贴800元×工龄医疗费每年1600元固定不变若该公司某职工在2023年将得到的住房补贴与医疗费之和超过基础工资的25%，到2023年年底这位职工的工龄至少是eq\x(导学号27542818)(C)A．4年 B．5年C．6年 D．7年[解析]设这位职工的工龄为x年，则800x＋1600>20000(1＋10%)2×25%，即800x＋1600>6050，解得x>5，所以到2023年年底这位职工的工龄至少为6年．4．做一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是eq\x(导学号27542819)(C)A．4.6mC．5m[解析]设直角三角形两直角边长分别为x，y，则eq\f(1,2)xy＝1，即xy＝2.周长l＝x＋y＋eq\r(x2＋y2)≥2eq\r(xy)＋eq\r(2xy)＝(1＋eq\r(2))×2≈，当且仅当x＝y时取等号．考虑到实际问题，故选C．二、填空题5．光线透过一块玻璃，其强度要减弱eq\f(1,10).要使光线的强度减弱到原来的eq\f(1,3)以下，至少需这样的玻璃板11块．(参考数据：lg2＝0，lg3＝1)eq\x(导学号27542820)[解析]设至少需要经过这样的n块玻璃板，则，(1－eq\f(1,10))n<eq\f(1,3)，即n·lgeq\f(9,10)<lgeq\f(1,3)，∴n>eq\f(lg\f(1,3),lg\f(9,10))＝eq\f(－lg3,2lg3－1)＝eq\f(－1,2×1－1)≈.又∵n∈N＋，∴n＝11.6．一个矩形的周长为l，面积为S，给出下列实数对：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④(3，eq\f(1,2))．其中可作为(l，S)的取值的实数对的序号是①④.eq\x(导学号27542821)[解析]依题意，设矩形的长、宽分别为a、b，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝\f(1,2)l,ab＝S))，即l＝2(a＋b)≥4eq\r(ab)＝4eq\r(S)，eq\f(l,\r(S))≥4.对于①，eq\f(4,\r(1))＝4；对于②，eq\f(8,\r(6))<eq\f(8,\r(4))＝4；对于③，eq\f(10,\r(8))＝eq\f(5,\r(2))<eq\f(\r(32),\r(2))＝4；对于④，eq\f(3,\f(1,\r(2)))＝3eq\r(2)>4.因此，其中可作为(l，S)的取值的实数对的序号是①④.三、解答题7．某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为万元，但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售的收入函数为R(x)＝5x－eq\f(1,2)x2(万元)，(0≤x≤5)，其中x是产品生产并售出的数量．(单位：百台)eq\x(导学号27542822)(1)把利润表示为年产量的函数；(2)年产量为多少时，企业所得利润最大？(3)年产量多少时，企业才不亏本．(不赔钱)?[解析](1)设利润为y.则y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Rx－－0≤x≤5,R5－－x＞5))，∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2＋x－0≤x≤5,12－x＞5)).(2)y＝－eq\f(1,2)(x－2＋∴x＝时，即年产量为475台时企业所得利润最大．(3)要使企业不亏本，须y＞0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x＜5,－\f(1,2)x2＋x－＞0))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12－＞0,x≥5)).2．65＜x＜5或5≤x＜48，即＜x＜48.∴年产量在265台至4800台时，企业才会不亏本．8．某自来水厂的蓄水池存有400t水，水厂每小时可向蓄水池中注水60t，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，xh内供水总量为120eq\r(6x)(0≤x≤24).eq\x(导学号27542823)(1)从供水开始到第几个小时蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80t，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24h内，有几个小时出现供水紧张现象？[解析](1)设xh后蓄水池中的水量为yt，则y＝400＋60x－120eq\r(6x)，设eq\r(6x)＝u，则u2＝6x(u∈[0,12])，∴y＝400＋10u2－120u＝10(u－6)2＋40.∵u∈[0,12]，故当u＝6即x＝6时，ymin＝40.即从供水开始到第6h时，蓄水池中的存水量最少，为40t.(2)依题意，得400＋10u2－120u<80，即u2－12u＋32<0，解得4<u<8，∴16<u2<64.又∵u2＝6x，所以16<6x<64，∴eq\f(8,3)<x<eq\f(32,3).又∵eq\f(32,3)－eq\f(8,3)＝8，∴每天约有8h供水紧张．能力提升一、选择题1．某地2023年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数2158302002501546767457065280行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数124620102935891157651670436若用同一行业中应聘人数和招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是eq\x(导学号27542824)(B)A．计算机行业好于化工行业B．建筑行业好于物流行业C．机械行业最紧张D．营销行业比贸易行业紧张[解析]就业情况＝eq\f(应聘人数,招聘人数)，计算机就业形式＝eq\f(215830,124620)＞1，化工业就业形式＝eq\f(应聘人数,70436)＜eq\f(65280,70436)＜1，则A不合适．同理，建筑行业就业形式＝eq\f(应聘人数,76516)＜eq\f(65280,76516)＜1，物流业就业形式＝eq\f(74570,招聘人数)＞eq\f(74570,70436)＞1.2．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次的进货量相同，且每次的运费均为100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，仓库一年的租金数和一次进货的件数相同，为使一年的运费和租金最省，每次的进货量应为eq\x(导学号27542825)(D)A．200件 B．5000件C．2500件 D．1000件[解析]设每次的进货量为x件，一年的运费和租金总和为y元，则y＝eq\f(10000,x)×100＋x≥2eq\r(\f(10000,x)×100·x)＝2000，当且仅当eq\f(1000000,x)＝x，即x＝1000时等号成立，故选D．二、填空题3．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是100＜x＜\x(导学号27542826)[解析]由题意可列式5%<eq\f(7%×200＋4%×x,200＋x)<6%，即5<eq\f(1400＋4x,200＋x)<6，解得100<x<400.4．周长为2的直角三角形的面积的最大值为3－2eq\r(2).eq\x(导学号27542827)[解析]设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则直角三角形的面积S＝eq\f(1,2)ab.由已知，得a＋b＋c＝2，∴a＋b＋eq\r(a2＋b2)＝2，∴2＝a＋b＋eq\r(a2＋b2)≥2eq\r(ab)＋eq\r(2ab)＝(2＋eq\r(2))eq\r(ab)，∴eq\r(ab)≤eq\f(2,2＋\r(2))＝2－eq\r(2)，∴ab≤(2－eq\r(2))2＝6－4eq\r(2)，∴S＝eq\f(1,2)ab≤3－2eq\r(2)，当且仅当a＝b＝2－eq\r(2)时，S取最大值3－2eq\r(2).三、解答题5．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年增加4万元，每年捕鱼收益50万元．(1)问第几年开始获利？eq\x(导学号27542828)(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？[解析]由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数的关系为f(n)，则f(n)＝50n－[12＋16＋…＋(8＋4n)]－98＝40n－2n2－98.(1)由f(n)>0得，n