新高考数学二轮复习专题讲测练思想01 运用分类讨论的思想方法解题（精讲精练）（解析版）

思想01运用分类讨论的思想方法解题【命题规律】高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．【核心考点目录】核心考点一：由情境的规则引起的分类讨论核心考点二：由定义引起的分类讨论核心考点三：由平面图形的可变性引起的分类讨论核心考点四：由变量的范围引起的分类讨论核心考点五：由空间图形的可变性引起的分类讨论【真题回归】1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的单调区间；(2)已知SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0上不同的三点SKIPIF1<0处的切线都经过点SKIPIF1<0．证明：（ⅰ）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（ⅱ）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（注：SKIPIF1<0是自然对数的底数）【解析】（1）SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的增区间为SKIPIF1<0.（2）（ⅰ）因为过SKIPIF1<0有三条不同的切线，设切点为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故方程SKIPIF1<0有3个不同的根，该方程可整理为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，在SKIPIF1<0上为增函数，因为SKIPIF1<0有3个不同的零点，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的减函数，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（ⅱ）当SKIPIF1<0时，同（ⅰ）中讨论可得：故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，在SKIPIF1<0上为增函数，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0有3个不同的零点，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则方程SKIPIF1<0即为：SKIPIF1<0即为SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0有三个不同的根，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，要证：SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0，即证：SKIPIF1<0，即证：SKIPIF1<0，即证：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故即证：SKIPIF1<0，即证：SKIPIF1<0即证：SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为增函数，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，故原不等式得证：2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求a的取值范围；(3)设SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的减区间为SKIPIF1<0，增区间为SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为连续不间断函数，故存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，总有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为增函数，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0为增函数，故SKIPIF1<0，与题设矛盾.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，下证：对任意SKIPIF1<0，总有SKIPIF1<0成立，证明：设SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0成立.由上述不等式有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0总成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，所以SKIPIF1<0.综上，SKIPIF1<0.（3）取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，总有SKIPIF1<0成立，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0对任意的SKIPIF1<0恒成立.所以对任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，整理得到：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故不等式成立.3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的最大值；(2)若SKIPIF1<0恰有一个零点，求a的取值范围．【解析】（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；所以SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；所以SKIPIF1<0，此时函数无零点，不合题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；又SKIPIF1<0，由（1）得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0仅在SKIPIF1<0有唯一零点，符合题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0单调递增，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0有唯一零点，符合题意；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；此时SKIPIF1<0，由（1）得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有一个零点，在SKIPIF1<0无零点，所以SKIPIF1<0有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为SKIPIF1<0.【方法技巧与总结】当被研究的问题出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们通常将可能出现的所有情况分别进行讨论，得出每种情况下相应的结论，这就是分类讨论的思想，包含分类与整合两部分，既化整为零，各个击破，又集零为整．基本步骤是：（1）研究讨论的必要性，确定讨论对象；（2）确定分类依据，并按标准分类；（3）逐类解决，获得各类的结果；（4）归纳整合，得到结果．分类的基本原则是：（1）标准统一，不重不漏；（2）层次明晰，不混不乱．分类讨论应用的热点：（1）由概念、定义、公式、定理、性质等引起的分类讨论，如直线的斜率是否存在，幂、指数、对数函数的单调性，等比数列的公比是否为等．（2）由数学运算规则引起的分类讨论，如除法运算中分母不为零，偶次方根为非负数，不等式两边同乘（除）以一个数（式）的符号等．（3）由变量的范围引起的分类讨论，如对数的真数与底数的范围，指数运算中底数的范围，函数在不同区间上单调性受参变量的影响等．（4）由图形的可变性引起的分类讨论，如图形类型、位置，点所在的象限，角大小的可能性等．（5）由情境的规则引起的分类讨论，情境问题的规则在解决数学问题时常需要分类讨论思想，如体育比赛的规则等．【核心考点】核心考点一：由情境的规则引起的分类讨论【典型例题】例1．多项选择题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．若选项中有SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0个选项符合题目要求，随机作答该题时SKIPIF1<0至少选择一个选项SKIPIF1<0所得的分数为随机变量SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0，则有（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的可能情况为0，3，5选择的情况共有：SKIPIF1<0种；，，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的可能情况为0，3，5选择的情况共有：SKIPIF1<0种；，，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的可能情况为3，5选择的情况共有：SKIPIF1<0种；，，所以对于AB：，，所以，故A错误，B正确；对于CD：，，所以，故CD错误；故选：B例2．甲、乙、丙、丁进行乒乓球比赛，比赛规则如下：第一轮：甲和乙进行比赛，同时丙和丁进行比赛，两个获胜者进入胜者组，两个败者进入败者组；第二轮：胜者组进行比赛，同时败者组进行比赛，败者组中失败的选手淘汰；第三轮：败者组的胜者与胜者组的败者进行比赛，失败的选手淘汰；第四轮：第三轮中的胜者与第二轮中胜者组的胜者进行决赛，胜者为冠军．已知甲与乙、丙、丁比赛，甲的胜率分别为SKIPIF1<0；乙与丙、丁比赛，乙的胜率分别为SKIPIF1<0；丙与丁比赛，丙的胜率为SKIPIF1<0任意两场比赛之间均相互独立．SKIPIF1<0求丙在第二轮被淘汰的概率；SKIPIF1<0在丙在第二轮被淘汰的条件下，求甲所有比赛全胜并获得冠军的概率．【解析】解：SKIPIF1<0若丙在第二轮被淘汰，则根据规则，第一轮中丙和丁比赛，丙为败者的概率为SKIPIF1<0，而甲与乙比赛的败者分两种情况，若第二轮甲进入败者组，其概率为SKIPIF1<0，则第二轮丙被淘汰的概率SKIPIF1<0；若第二轮乙进入败者组，其概率为SKIPIF1<0，第二轮丙被淘汰的概率SKIPIF1<0故丙在第二轮被淘汰的概率为SKIPIF1<0SKIPIF1<0第一轮甲与乙比赛中，甲获胜进入胜者组的概率为SKIPIF1<0，并且与丁进行第二轮比赛，第二轮胜者组比赛甲获胜的概率为SKIPIF1<0，丁与乙进行第三轮比赛，故分两种情况，若第三轮乙获胜，乙获胜的概率为SKIPIF1<0，甲与乙进行决赛，甲获胜的概率为SKIPIF1<0，此时甲获得冠军的概率为SKIPIF1<0；若第三轮丁获胜，丁获胜的概率为SKIPIF1<0，甲、丁进行决赛，甲获胜的概率为SKIPIF1<0，此时甲获得冠军的概率为SKIPIF1<0设“丙在第二轮被淘汰”为事件A，“甲所有比赛全胜并获得冠军”为事件B，则SKIPIF1<0例3．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，SKIPIF1<0SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；SKIPIF1<0设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：SKIPIF1<0的一个最小正实根，求证：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0根据你的理解说明SKIPIF1<0问结论的实际含义．【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0设，因为SKIPIF1<0，故，若，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为，，故有两个不同零点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，若SKIPIF1<0，因为在为增函数且，而当时，因为在上为减函数，故，故1为SKIPIF1<0的一个最小正实根，若SKIPIF1<0，因为且在上为减函数，故1为SKIPIF1<0的一个最小正实根，综上，若，则SKIPIF1<0若，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0此时，，故有两个不同零点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，而，故，又，故在存在一个零点p，且SKIPIF1<0所以p为SKIPIF1<0的一个最小正实根，此时SKIPIF1<0，故当时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代后必然临近灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后还有继续繁殖的可能．核心考点二：由定义引起的分类讨论【典型例题】例4．已知数列满足SKIPIF1<0求数列的通项公式；SKIPIF1<0求数列的前n项和SKIPIF1<0【解析】解：SKIPIF1<0因为，所以当SKIPIF1<0时，；当SKIPIF1<0时，，故，则；经检验：SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0知，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；综上：例5．设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0求数列SKIPIF1<0的通项公式；SKIPIF1<0若求数列SKIPIF1<0的前15项的和．【解析】解：SKIPIF1<0由题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，化简整理，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是以2为首项，2为公比的等比数列，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0当n为奇数时，SKIPIF1<0当n为偶数时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0的前15项和为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例6．已知正项数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，如果SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前n项和，则当SKIPIF1<0取得最大值时，n的值等于（

）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】D【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0是一个以1为首项，1为公差的等差数列，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值．故选：SKIPIF1<0核心考点三：由平面图形的可变性引起的分类讨论【典型例题】例7．SKIPIF1<0中，内角A，B，C的对边分别为a，b，SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0求角SKIPIF1<0SKIPIF1<0若AC边上的点D满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【解析】解：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由正弦定理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0化简可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0两边平方得：SKIPIF1<0③在SKIPIF1<0中，由余弦定理：SKIPIF1<0化简得：SKIPIF1<0④，由③④可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0例8．若恰有三组不全为0的实数对SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足关系式SKIPIF1<0，则实数t的所有可能的值为__________．【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解析】由已知得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，看成有且仅有三条直线满足SKIPIF1<0和SKIPIF1<0到直线不过原点SKIPIF1<0的距离t相等．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，此时易得符合题意的直线l为线段AB的垂直平分线SKIPIF1<0以及直线AB平行的两条直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，有4条直线l会使得点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0到它们的距离相等，注意到l不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去．设点A到l的距离为d，①作为增根被舍去的直线l，过原点和A，B的中点SKIPIF1<0，其方程为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，符合；②作为增根被舍去的直线l，过原点且以SKIPIF1<0为方向向量，其方程为SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0，符合；综上，满足题意的实数t为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0例9．过双曲线C：SKIPIF1<0的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点SKIPIF1<0已知O为坐标原点，若SKIPIF1<0的内切圆的半径为SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为__________．【答案】SKIPIF1<0或2【解析】若SKIPIF1<0在y轴的同侧，不妨设A在第一象限，如图，设SKIPIF1<0的内切圆的圆心为M，则M在SKIPIF1<0的平分线Ox上，过M分别作SKIPIF1<0于N，SKIPIF1<0于T，由SKIPIF1<0得四边形MTAN为正方形，由焦点到渐近线的距离为b，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0若SKIPIF1<0在y轴的两侧，不妨设A在第一象限，如图，易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的内切圆半径为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故答案为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0核心考点四：由变量的范围引起的分类讨论【典型例题】例10．已知函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的导函数．SKIPIF1<0求证：SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零点；SKIPIF1<0求证：有且仅有两个不同的零点．【解析】SKIPIF1<0证明：设SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一的零点SKIPIF1<0，所以命题得证，SKIPIF1<0证明：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0知：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减；所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一的极大值点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有一个零点，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上也恰有一个零点，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上没有零点．SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上没有零点．综上，SKIPIF1<0有且仅有两个不同的零点．例11．已知函数的图像经过点．SKIPIF1<0确定a的值，并讨论函数的极值点：SKIPIF1<0设，若当SKIPIF1<0时，，求实数m的取值范围．【解析】解：SKIPIF1<0因为图象过，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0单调递增，无极值点；②当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，在SKIPIF1<0单调递增，所以SKIPIF1<0是函数的极小值点，无极大值点．则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，则存在唯一的SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0综上，实数m的取值范围为例12．已知函数SKIPIF1<0是自然对数的底数SKIPIF1<0SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的单调区间；SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，试讨论SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的零点个数．SKIPIF1<0参考数据：SKIPIF1<0【解析】解：SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，定义域为R，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，单调递减区间为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0解：由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当时，SKIPIF1<0；当时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在上单调递增，在上单调递减，即SKIPIF1<0在上单调递增，在上单调递减．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在上单调递增，上单调递减．SKIPIF1<0，，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由函数零点存在性定理可得，此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上仅有一个零点；②若SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在上单调递增，在上单调递减，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且当、时，SKIPIF1<0；当时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在和上单调递减，在上单调递增．SKIPIF1<0，，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由零点存在性定理可得，SKIPIF1<0在和内各有一个零点，即此时SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个零点．综上所述，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上仅有一个零点；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个零点．核心考点五：由空间图形的可变性引起的分类讨论【典型例题】例13．正方体SKIPIF1<0棱长为2，动点P在线段SKIPIF1<0上SKIPIF1<0含端点SKIPIF1<0，以下结论不正确的为（

）A．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值SKIPIF1<0B．过P，B，SKIPIF1<0三点若可作正方体的截面，则截面图形为三角形或平面四边形C．当点P和SKIPIF1<0重合时，三棱锥SKIPIF1<0的外接球体积为SKIPIF1<0D．直线PD与面SKIPIF1<0所成角的正弦值的范围为SKIPIF1<0【答案】D【解析】如图，对于A选项，因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以点P到平面SKIPIF1<0的距离等于点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，A对；对于B，①当P，SKIPIF1<0重合时，过P，B，SKIPIF1<0三点作正方体的截面，则所得的截面图形为平面四边形SKIPIF1<0②当P为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，即P为SKIPIF1<0的中点时，过P，B，SKIPIF1<0三点作正方体的截面，则所得的截面图形为三角形SKIPIF1<0，B对；对于C，当点P与SKIPIF1<0重合时，此时三棱锥为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的中点为O，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0所以三棱锥SKIPIF1<0的外接球的球心为SKIPIF1<0的中点，其半径为SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0的外接球的体积为SKIPIF1<0，C对；对于D，由A知，设点P到平面SKIPIF1<0的距离为h，则由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，当P，SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，当P，SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，设直线PD与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，D错．故选SKIPIF1<0例14．两条异面直线a，b所成的角为SKIPIF1<0，在直线a，b上分别取点A，E和点B，F，使SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则线段AB的长为（

）A．8 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由已知得SKIPIF1<0，两边平方可得SKIPIF1<0……①，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，异面直线a与b所成的角为SKIPIF1<0，所以EA，BF所成的角为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入①式得，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，代入上式可得舍去SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，代入上式可得，故AB的长度为SKIPIF1<0故选SKIPIF1<0例15．（多选题）如图，在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0为垂足点，F为BD中点，则下列结论正确的是（

）A．若AD的长为定值，则该三棱锥外接球的半径也为定值B．若AC的长为定值，则该三棱锥内切球的半径也为定值C．若BD的长为定值，则EF的长也为定值D．若CD的长为定值，则SKIPIF1<0的值也为定值【答案】ACD【解析】对于A，将三棱锥补成长方体，易知该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，所以AD为外接球的直径2R，所以该三棱锥外接球的半径也为定值，故A正确；对于B，因为SKIPIF1<0平面BCD，CD，SKIPIF1<0平面BCD，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，BC，SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0平面ABC，因为SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0，假设内切球的球心为O，第一种情况不妨假设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时内切球的半径为SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解SKIPIF1<0第二种情况不妨假设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时内切球的半径为SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上所述，当AC的长为定值，三棱锥内切球的半径不为定值，故B错误；对于C和D，以C点为原点建立空间直角坐标系，如图所示，假设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为E在AC上，所以设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以当BD的长为定值时，EF的长也为定值；当CD的长为定值，则SKIPIF1<0的值也为定值，故C，D正确，故选：ACD【新题速递】一、单选题1．已知SKIPIF1<0为奇函数，且在上是递增的，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的解集是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】SKIPIF1<0是奇函数，且在SKIPIF1<0内是增函数，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内是增函数，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0故选SKIPIF1<02．已知函数若存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题意知，SKIPIF1<0图象的对称轴方程为SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，根据二次函数的性质可知，一定存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，由题意知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不符合题意．综上所述，SKIPIF1<03．已知角SKIPIF1<0的终边上一点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．以上答案都不对【答案】C【解析】由已知可得角SKIPIF1<0的终边在第二或第四象限，当角SKIPIF1<0是第二象限角时，在其终边上取点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由三角函数的定义得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；当角SKIPIF1<0是第四象限角时，在其终边上取点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由三角函数的定义得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<04．已知函数SKIPIF1<0是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】①SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是增函数；SKIPIF1<0在R上是增函数；显然SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不是增函数；SKIPIF1<0的情况不存在；②SKIPIF1<0时，SKIPIF1<