八年级三角形的证明串讲课件

第一章三角形的证明

八年级（下册）

学习几何基本规律点→线（两点定线）→角（两线）→（面）图→体一个图（三角形、四边形---）形的定义，性质，判定两个图形之间的关系：全等、相似、对称、位似----图形变换全等变换相似变换（形状不变大小变）如：位似变换。对称旋转平移翻折形状大小都不变两次翻折=一次平移截长补段证明线段的和倍分问题第一单元：等腰三角形全等三角形●等腰三角形性质全等三角形判定：SSS；SAS；AAS；ASA。直角三角形全等：SS（含HL）或者AS。全等三角形性质：对应边、角等元素均相等。全等三角形的类型：平移型-对称型-旋转型。全等的两不能：AAA；SSA不能判断全等。等腰三角形的性质性质定理：两底角相等（等边对等角）。其他性质：三个角知一求二；三个角一六皆六；底角只能是锐角，顶角可锐、可直、可钝；等腰直角三角形的两个底角都是45度。等腰三角形性质定理的证明。做辅助线：对称轴。

⑴平移全等型

⑵对称全等型

⑶旋转全等型

全等三角形的三类九种基本类型（4）翻折全等型【例1】证明：等腰三角形的两底角相等。（略）已知：D，E是等腰三角形ABC底边BC上的两点，且DE=CE，求证：∠ADE=∠AEDABCDE性质定理的推论及等边三角形的性质推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线相互重合（“三线合一”）。三线都是“一线”——对称轴。应用：证明角相等，线段相等或者垂直。定理：等边三角形三个角都相等，都等于。图形语言——符号语言——文字语言。定理的证明。【例2】证明等边三角形的性质定理（略）如图1，ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：BE=CE如图2，若BE的延长线交AC于F点，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题其它条件不变，求证：△AEF≌△BCFABCDEABCEF图1图2等腰三角形的判断定理判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称：等角对等边）——会证明。定理应用：证明一个三角形中两边相等。证明两条线段的长相等放到同一三角形中证明角相等。放到可能全等的两个三角形中证明全等。其它途径。【例3】证明判定定理。已知：锐角三角形ABC两条高BD、CE相交于O点，且OB=OC求证：△ABC是等腰三角形。O点是否在∠BAC的角平分线上，说明理由。ABCDEOF等边三角形的判定定理及“3-6-9”三角形定理1：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。（等腰+60°）定理2：三个角都相等的三角形是等边三角形。定理3：直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。定理三的应用：证明线段的倍、分、比关系。【例4】三个定理的证明。△ABC是等边三角形，AE=CD，AD与BE相交与P点，BQ⊥AD于Q点，求证：BP=2PQABCDEQ学会倒着想——逆向思维【提升训练】10、如图，点C为线段AB上的一点，⊿ACM，⊿CBN是等边三角形，AN，CM交于点E，CN，BM交于点F。（1）求证：AN=BM（2）求证：⊿CEF是等边三角形MFABNEC反证法定义：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法。反证法——常用的间接证明法。步骤：假设命题的结论不成立。从假设出发，推导出矛盾。否定假设，从而肯定命题的结论。【例5】用反证法证明等腰三角形的底角是锐角。求证：一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等。证明：三角形中至少有一个角不小于60°。等腰三角形中的多解问题——分类讨论【例6】等腰三角形的两边长分别是4和5，这个三角形的周长是（）等腰三角形的两边长分别是4和8，这个三角形的周长是（）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为12和15两部分，求该三角形各边的长。（8、8、11；10、10、7）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°则等腰三角形的顶角为（）°【提升训练】在Rt△ABC中，∠ACB=90°点D、E在AB上，AD=AC，BE=BC，当∠A分别为30°、40°时，求∠DCE的度数。从①中你发现了什么？证明你的发现。发现∠DCE=45°，且与∠A的度数无关！CBADE第二单元：直角三角形勾股定理及其证明勾股定理：直角三角形两条直角边平方的和等于斜边的平方。即：a2+b2=c2（c为斜边）应用：知二边求一边；知一边求另两边关系；用来证明有关平方的问题；数轴上做出带二次根号如√3的实数对应的点。勾股定理的其它形式：直角三角形性质：两锐角互余；三边勾股定理；3、6、9三角形；45-9三角形；以后学习其它性质。方程思想和数形结合思想与勾股定理的综合应用。【例1】勾股定理的证明。如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°∠ADC=60°，BD=10，求AC的长。三垂直全等形用面积法证明ABCD答案：5√3【提升训练】△ABC中，∠A=60°，AB=9AC=14.4，求BC的长。CBA提示：过C点作AB的垂线。勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。直角三角形的判定：从角出发：两锐角和为90°三角形为直角三角形；从边出发：勾股定理的逆定理。勾股数的概念及常见的勾股数。3、4、5；6、8、10；12、13、5等。【例2】证明勾股定理的逆定理。在△DEF中，DE=17，EF=30，EF边上的中线DG=8，求证：△DEF是等腰三角形。DEFG直角三角形全等的判定HL：斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。SS；两边（直直或直斜）对应相等的三角形全等。AS：一个锐角和任意一条对应边相等的三角形全等。【例3】直角三角形全等判定定理HL的证明。△ABC中，AB=AC，DE是过A点的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，若B、C在D、E的同侧，且AD=CE，求证；AB⊥AC。若B、C在D、E的两侧，其它条件不变，求证；AB和AC垂直吗？证明你的判断。AABCBCDEDE互逆命题与互逆定理逆命题：两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题结论和条件，那么，这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。每个命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理。即：原命题真，逆命题不一定真。【例4】命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是（），这个逆命题是（）命题。（填“真”或“假”）◎会判断（证明）命的真假！◎已知一个命题或定理，能写出其逆命题，并判断其真假·【典例1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，判断△ACD的形状并说明理由。ABCD提示：连AC【典例2】△ABC中，∠ACB=90°，AB=50BC=30，CD⊥AB于点D，求CD长ABCD【典例3】把长方形ABCD沿对角线BD对折，点C落在点F处，BF与BD相交于E点，若AB=12，BC=16，求AE的长；求重合部分△BED的面积；ABCDFE提示：先求AE=3.5---求DE---所求面积=DE乘AB的一半(75)。【典例3】△ABC中，∠ACB=90°AC=BCP是△ABC内一点，且PA=3，PB=1，CD=CP=2，CD⊥CP于C，求∠BPC度数ABCDP证三角形APC与三角BCD全等---所以PA=DB=3---直角三角形DPB---135第三单元：线段的垂直平分线ABCD线段垂直平分线的性质定理：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等。线段的垂直平分线又叫线段的中垂线。线段的中垂线：可以看作到线段两段距离相等的点的集合。中垂线是直线不是线段。线段是轴对称图形，中垂线其实就是线段的对称轴。应用：证明两条线段相等。【例1】性质定理的证明。△ABC中，AB+AC=6，BC的垂直平分线l与AC相交与D点，求△ABD的周长。ClAB线段垂直平分线的性质定理的逆定理逆定理：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。证明一线是一线段的中垂线垂直+平分=垂直平分（中垂线）证明两点在中垂线上→过这两点的直线是中垂线。中垂线不仅可以证明线段相等，还可以间接证明角相等【例2】性质定理的逆定理的证明。△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于D点，交BC与E点，已知∠BAE=30°，求证：EC=2BEABCDE三角形三边垂直平分线的性质定理定理：三角形三条垂直平分线相交于一点，这点到三个顶点的距离相等。（三角形外心）交点的位置：锐角三角形内；直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外部。注意三边垂直平分线与三条高等的区别。【例3】性质定理的证明。已知；A、B、C三个居民区的位置围成一个三角形，现要在三个居民区之间建一个超市，使超市到三个小区的距离相等，超市的位置怎么选。ABC作已知线段的垂直平分线尺规做图：是指用没有刻度的直尺和圆规作图。线段垂直平分线的作法：分别一线段的两个端点为圆心，一大于线段长度二分之一长为半径画弧，两弧在线段两侧相交于两点。过两点作直线，此直线即为所求的垂直平分线。作法的证明。

【例4】证明线段垂直平分线的作法。已知线段AB，作出线段AB的垂直平分线。（保留痕迹不写作法）在作出的垂直平分线上取一点任意取两点M、N，（在AB的上方），连接AM、AN、BM、MN，求证：∠MAN=∠MBNAB【典例1】——识记72-36三角形的特征：△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，垂直为D，连接EC，求∠ECD的度数。若CE=5，求BC的长。72°5ABCDE【典例2】△ABC中BA=BC∠ABC=120°AB的垂直平分线交AC于D，求证：DC=2ADBACD【典例3】△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所成的锐角为50°，则∠A的大小为（）°分类讨论：答案：20或70【典例4】△ABC中，∠C=90°∠CAB的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB

求∠B的度数。BACDE30BB【典例5】要在直路MN旁修建一个货物中转站，分别向A、B两个开发区运货。若要中转站距离两个开发区距离相等，货物中转站应修建在何处？若要求货物中转站与两个开发区距离的和最小，则货物中转站应修建在何处？MNA.B.【典例5】直角梯形ABCD中，∠ABC=90°AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，AC与ED相交于M点，求证：BE=AD求证：AC是线段ED的垂直平分线△DBC是等腰三角形吗？说明理由。ABCDEM第四单元：角平分线角平分线的性质定理性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（距离：垂线段的长）应用：证明线段相等的依据之一。定理的条件简记为”一分二垂“。这也是符号语言中必须满足的条件。符号语言：∵∠POA=∠POBPA⊥OAPB⊥OB∴PA=PBABOP【例1】证明性质定理△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，

DE⊥AB于E，AC=6，BC=8，CD=3，求DE的长。△ADB的面积。ACBED角平分线性质定理的逆定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。应用：通过线段相等证明角相等而省略了证明全等的步骤。垂线段相等证明角相等。符号语言∵PA⊥OA于A，

PB⊥OB于B，

PA=PB∴∠POA=∠POBABOP【例2】证明逆定理如图，∠C=∠D=90°，BE平分∠ABC，且

E为DC的中点，求证：AE平分∠BADABCDE用尺规作角的平分线尺规做图满分解答的两要素：作图痕迹；结论。（初中不要求写作法和证明）作法示例：作∠AOB的平分线在OA、OB上截取OD=OE分别以D、E为圆心，以大于

1/2DE长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。作射线OC，OC即为所求。

ABODEC已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.用尺规作角的平分线.作法:1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.3.作射线OC.

则射线OC就是∠AOB的平分线.ABOCDE

你能说明射线OC为什么是∠AOB的平分线吗？【例3】国道OA和国道OB在某市相交于O处，在∠AOB的，内部有工厂C和D，现要在∠AOB内部修建一个货站P，使P到两国道OA、OB的距离相等，且P到C和

D的距离也相等，请作出P的位置。OBADC三角形角平分线的性质定理三角形三条角平分线相交于一点，并且这点到三角形三边的距离相等。（也叫内心）三角形角平分线的交点一定在三角形的内部。了解内心与外心的区别。【例4】性质定理的证明。已知点P为△ABC三个内角平分线的交点，若∠A=50°，求∠BAC的度数。总结为一个公式或定理PABC全章总结截长补段证明线段的和倍分问题【典例1】——数形结合的思想平面直角坐标系中，O为坐标有原点，点A的坐标为（1，√3），M为坐标轴上一点，且使得△OAM为等腰三角形，满足条件的点M的个数为（）个。

6横轴上2个；纵轴上4个！【典例2】——分类讨论的思想等腰三角形两角之差为30°,求该三角形各内角的度数.答：50、50、80；70、70、40【典例3】——转化的思想△ABC是等边三角形，延长BC至E，延长BA至F，使AF=BE，连接CF、EF，过点F作FD⊥CE于D，试判断∠FCE与∠FEC的数量关系，并说明理由。ABCFED辅助突破——延长BE到G，使EG=BC，得到等边三角形BFG。证△BCF≌△GEF【典例4】——方程的思想（方程+折叠）一张矩形纸片ABCD