中小学数学建模

中小学数学建模B11数学与应用数学四班王毅（114103054014）认识数学建模(一）数学建模：应用（相关）知识从实际问题中抽象、

提炼出数学模型的过程。

即数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。（二）数学模型：由数字、字母和数学符号组成，描述现实对象数量规律的数学公式、图形和算法。

各种数学公式、方程式定理、理论体系等等，都是一些具体的数学模型，举个简单的例子，一元一次方程就是一个数学模型，很多数学问题甚至实际问题都可以转化为一元一次方程来解决。了解数学建模过程

1、模型准备：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。

2、模型假设：根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。

3、模型建立：在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。

4、模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。

5、模型分析：对所得的结果进行数学上的分析。6、模型检验：用实际现象、数据等检验模型的合理性和实用性，即验证模型的正确性。

7、模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异。建立数学模型的方法

（1）分析与综合：分析是对所获得的数学材料或数学问题的构成要素进行研究，把握各要素在整体中的作用，找出其内在的联系与规律，从而得出有关要素的一般化的结论的思维方式。综合是将对数学材料、数学问题的分析结果和各要素的属性进行整合，以形成对该对象的本质属性的总体认识的思维方法。（2）比较与分类：比较是对有关的数学知识或数学材料，辨别它们的共同点与不同点，以便揭示其背后的共同模型。分类是在比较的基础上，按照事物间性质的异同，将具有相同性质的对象归入一类，不同性质的对象归入另一类的思维方法。（3）抽象与概括：抽象是从许多数学事实或数学现象中，舍去个别的、非本质的属性，而抽出共同的本质的属性。概括则是把抽象出来的事物间的共同特征，归结出来。（4）猜想与验证：猜想是对研究的数学对象或数学问题进行观察、实验、比较、归纳等一系列的思维活动，依据已有的材料或知识经验，做出符合一定规律的推测性想象。这样的一个学习过程可以概括为：实际操作——提出猜想——进行验证——自我反思——建立模型案例应用案例一：铺管道问题

A、B两地相距18公里，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道。已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程对提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？AB18公里解：设甲工程队每周铺设管道x公里，则乙工程队每周铺设管道（x＋1）公里。依题意得：解得

=2，

=-3经检验

=2，=-3都是原方程的根。但

=－3不符合题意，舍去。∴x=2x＋1=3答：甲工程队每周铺设管道2公里，则乙工程队每周铺设管道3公里。案例二：采购问题

某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100只，付款总额不得超过11815元。已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，试解答下列问题：（1）该采购员最多可购进篮球多少只？（2）若该商场能把这100只球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580元，则采购员至少要购篮球多少只？该商场最多可盈利多少元？品名厂家批发价(元/只)

商场零价（元只）篮球130160排球100120解：（1）该采购员最多可购进篮球ｘ只，则排球为（100－x）只，依题意得：130x＋100（100－x）≤11815解得x≤60.5∵x是正整数，∴x＝60答：购进篮球和排球共100只时，该采购员最多可购进篮球60只。（2）该采购员至少要购进篮球ｘ只，则排球为（100－x）只，依题意得：30x＋20（100－x）≥2580解得x≥58由表中可知篮球的利润大于排球的利润，因此这100只球中，当篮球最多时，商场可盈利最多，即篮球60只，此时排球平均每天销售40只，商场可盈利（160－130）×60＋（120－100）×40=1800＋800=2600（元）答：采购员至少要购进篮球58只，该商场最多可盈利2600元。案例一：数昆虫问题

蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现在这三种小虫共18只，条有118腿和20对翅膀，问每种小虫各几只?分析：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条腿”与”6条腿“两种。先假设蜻蜓和蝉的总只数为x,那么蝉就有（18-x）只。根据腿的条数列方程先算出x，那么就得到蝉的只数。再设蜻蜓有y只，根据翅膀的对数列方程即可得到y，那么就得到蜻蜓和蝉的只数。解：设蜻蜓和蝉的总共为x只，那么蜘蛛为（18-x）只。可列方程：6x+（18-x）×8=118解得：x=13（只）所以蜘蛛为18-13=5（只）再设蜻蜓为y只，那么蝉为（13-y）只。列方程：2y+（13-y）=20解得y=7（只），所以蝉为13-7=6（只）。答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。数学建模的价值1、翻译能力的培养。数学建模要将实际问题先用数学语言表达出来，再把数学问题用一般人所能理解的非数学语言表达出来，提出解决某一问题的方案或建议。这可以充分锻炼学生的数学语言与非数学语言之间的翻译表达能力。

2、自学能力的培养。数学建模所涉及的各种实际问题一般都与现实生活有较密的联系并具有较强的实用性，很容易激发学生的好奇心，提高学生学习数学和其它知识的兴趣，挖掘学习潜能，自觉地查阅与问题有关的科技资料，从而培养学生的自学能力和自学习惯，使他们掌握一种可以终身获得知识的方法。3、想象力和联想力的培养。对于不少的实际问题，看起来完全不同，但在一定的简化层次下，它们的数学模型是相同的或相似的。这要求学生必须开动脑筋，拓宽思路，充分发挥他们的想象力。4、各种当代科技最新成果使用能力的培养。在数学建模过程中，应用计算机和相应的数学软件对所收集的数据进行计算、处理，对求解结果进行分析、论证，这不仅能够节省大量的时间，得到直观形象的结果，而且能够养成自觉应用最新科技成果的良好习惯。6、团结合作的团队精神和交流表达能力的培养。数学建模活动往往是小组分工合作，需要各成员之间密切配合，相互交流，集思广益。同时提倡讨论、争辩、勇于提出自己的观点和见解，从而培养互相交流、互相学习、求同存异的团结合作精神和组织、协调、管理的能力，这种互相合作的精神在当今社会生活中是非常需要的。

7、创造能力的培养。数学建模没有现成的答案，也没有现成的模式或通式，建模的过程有较大的灵活性，建模的结果一般只有最优答案，而不是标准答案。因此，数学建模给学生提供了一个自我学习独立思考认真探索的实践过程，提供了一个发挥创造才能的条件和平台。数学建模的应用

1、让学生经历数学概念形成的过程，探索数学规律。《新课标》的总体目标中提出，要让学生“经历将一些实际问题抽象为数与代数的问题的过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。”让学生经历就必须有一个实际环境。学生在实际环境中通过活动体会数学、了解数学、认识数学。

2、开设数学活动课，重视实践活动，为学生解决问题积累经验。开设数学活动课，让学生自己动脑、动手解决问题，可以使他们获取数学实际问题的背景、情境，理解有关的名词、概念，有助于学生正确理解题目意思，建立数学模型，是培养学生主动探究精神和实践能力的自由天地。

3、引导学生用图形解决问题，确立从代数到几何的过渡。代数与几何并不是孤立的两块。他们也有相通之处。我们可以用几何的观念来解代数问题。图形对于低段学生来说是更直观、更有效的形式。

例：让学生观察热水瓶、茶杯、可乐罐、电线杆、大树、房屋柱子等，通过现代教学手段（如用CAI课件或实物投影仪），学会撇开扶手柄、树枝、颜色等非本质特征，分