概率论与数理统计-第七章-参数估计-第四节-区间估计

参数估计第四节参数的区间估计一、区间估计的基本概念前面，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值去估计未知参数.但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大.区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷.一、区间估计的基本概念1、置信区间定义满足设是一个待估参数，给定X1,X2,…Xn确定的两个统计量若由样本和分别称为置信下限和置信上限.则称区间是的置信水平（置信度)为的置信区间.一、区间估计的基本概念这里有两个要求:可见，对参数作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量).一旦有了样本，就把估计在区间内.一、区间估计的基本概念可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度.1.要求以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率要尽可能大.即要求估计尽量可靠.

2.估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度尽可能短，或能体现该要求的其它准则.一、区间估计的基本概念关于定义的说明一、区间估计的基本概念若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n)按伯努利大数定理,在这样多的区间中,一、区间估计的基本概念例如一、区间估计的基本概念在求置信区间时，要查表求分位点.2、置信区间的求法若X为连续型随机变量,则有所求置信区间为一、区间估计的基本概念所求置信区间为由此可见，置信水平为的置信区间是不唯一的。同样对于一、区间估计的基本概念~N(0,1)求参数的置信度为的置信区间.

例

设X1,…Xn是取自

的样本，明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平是多少？寻找未知参数的一个良好估计.选

的点估计为,解寻找一个待估参数和统计量的函数，要求其分布为已知.有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率.一、区间估计的基本概念对给定的置信水平查正态分布表得对于给定的置信水平,根据U的分布，确定一个区间,使得U取值于该区间的概率为置信水平.使为什么这样取？一、区间估计的基本概念一、区间估计的基本概念这样的置信区间常写成其置信区间的长度为一、区间估计的基本概念

从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下:1.明确问题,是求什么参数的置信区间?置信水平

是多少?2.寻找参数的一个良好的点估计

3.寻找一个待估参数和估计量T的函数U(T,),且其分布为已知.T(X1,X2,…Xn)一、区间估计的基本概念

4.对于给定的置信水平

，根据U(T,)的分布，确定常数a,b，使得P(a<U(T,)<b)=

5.对“a<S(T,)<b”作等价变形,得到如下形式即于是就是的100(

)％的置信区间.一、区间估计的基本概念可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个待估参数和估计量T的函数U(T,),且U(T,)的分布为已知,不依赖于任何未知参数.而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是否已知，是怎样的类型，至关重要.一、区间估计的基本概念需要指出的是，给定样本，给定置信水平，置信区间也不是唯一的.对同一个参数，我们可以构造许多置信区间.

1.在概率密度为单峰且对称的情形，当a=-b时求得的置信区间的长度为最短.

2.即使在概率密度不对称的情形，如分布，F分布，习惯上仍取对称的分位点来计算未知参数的置信区间.二、单正态总体的区间估计统计量二、单正态总体的区间估计二、单正态总体的区间估计二、单正态总体的区间估计二、单正态总体的区间估计二、单正态总体的区间估计二、单正态总体的区间估计二、单正态总体的区间估计二、单正态总体的区间估计二、单正态总体的区间估计二、单正态总体的区间估计二、单正态总体的区间估计二、单正态总体的区间估计二、单正态总体的区间估计二、单正态总体的区间估计二、单正态总体的区间估计二、单正态总体的区间估计二、单正态总体的区间估计二、单正态总体的区间估计二、单正态总体的区间估计二、单正态总体的区间估计二、单正态总体的区间估计三、矩估计法矩估计法是英国统计学家K.皮尔逊最早提出来的.由辛钦大数定理,若总体的数学期望有限,则有其中为连续函数.三、矩估计法

这表明,当样本容量很大时

,在统计上,可以用用样本矩去估计总体矩.这一事实导出矩估计法.定义用样本原点矩估计相应的总体原点矩,又用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的连续函数,这种参数点估计法称为矩估计法

.

理论依据:

大数定律矩估计法的具体做法如下：那么它的前k阶矩,一般都是这k个参数设总体的分布函数中含有k个未知参数,那么用诸的估计量Ai分别代替上式中的诸,即可得诸的矩估计量：三、矩估计法i=1,2,…,k从这k个方程中解出j=1,2,…,kj=1,2,…,k矩估计量的观察值称为矩估计值.的函数,记为：三、矩估计法三、矩估计法三、矩估计法三、矩估计法三、矩估计法三、矩估计法三、矩估计法三、矩估计法

矩法的优点是简单易行,并不需要事先知道总体是什么分布.

缺点是，当总体类型已知时，没有充分利用分布提供的信息.一般场合下,矩估计量不具有唯一性.其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性.四、极大似然估计它是在总体类型已知条件下使用的一种参数估计方法.它首先是由德国数学家高斯在1821年提出的.GaussFisher然而,这个方法常归功于英国统计学家费歇.费歇在1922年重新发现了这一方法，并首先研究了这种方法的一些性质.四、极大似然估计极大似然估计法的思想

极大似然估计法，是建立在最大似然原理的基础上的求点估计量的方法。最大似然原理的直观想法是：在试验中概率最大的事件最有可能出现。因此，一个试验如有若干个可能的结果A,B,C,…,若在一次试验中，结果A出现，则一般认为A出现的概率最大。四、极大似然估计极大似然估计定义：当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为：设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合密度(连续型）或联合分布律(离散型)为

f(x1,x2,…,xn;)这里x1,x2,…,xn

是样本的观察值.四、极大似然估计似然函数：f(x1,x2,…,xn;)极大似然估计法就是用使达到最大值的去估计.即称为的极大似然估计值.而相应的统计量称为的极大似然估计量.看作参数的函数，它可作为将以多大可能产生样本值x1,x2,…,xn

的一种度量.四、极大似