概率论与数理统计(2-1)

第二章随机变量及其分布§2.1离散型随机变量及其分布律§2.2随机变量的分布函数§2.3连续型随机变量及其概率密度§2.4几种常见的连续型随机变量的分布§2.5随机变量函数的分布§2.6二维随机变量及其联合分布函数§2.7二维离散型随机变量§2.8二维连续型随机变量§2.9随机变量的相互独立性§2.1离散型随机变量及其分布律一、随机变量的定义二、离散型随机变量及其分布律三、常见的离散型随机变量的分布为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律,有必要引入随机变量来描述随机试验的不同结果.

例1

掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况。记ω1=“正面朝上”，ω2=“反面朝上”。X是定义在Ω={ω1，ω2}上的函数，是随机变量。一、随机变量的概念

Ω={t|t≥0}例3

测试灯泡的寿命：X=X（t）ω

X(ω)ΩX

例2

从一批种子中随机抽取20粒进行发芽试验，观察发芽粒数。显然Ω={0，1，…，20}，用变量X表示发芽种子粒数，则X的所有可能取值为0，1，…，20.={ω}→X=X(ω)一、随机变量的概念

定义设随机试验E的样本空间为Ω，如果对于每一个ω∈Ω，都有唯一的一个实数X(ω)与之对应，则称X(ω)为随机变量，并简记为X。

注意：

1.X是定义在Ω上的实值、单值函数。

2.因随机试验的每一个结果的出现都有一定的概率，所以随机变量X的取值也有一定的概率。

3.随试验结果不同,X取不同的值，试验前可以知道它的所有取值范围，但不知确定取什么值。一、随机变量的概念例3

(1)50次射击试验中命中的次数……可以用一个随机变量X来表示，它可能取0，1，…，50中的任一非负整数；(2)城市某十字路口一分钟内通过的机动车数……可以用随机变量X来表示，它所有可能的取值为一切非负整数；二、

离散型随机变量及其分布律(3)汽车司机刹车时，轮胎接触地面的点的位置是在[0,2r]上取值的随机变量，其中r是轮胎的半径．

随机变量按其可能取的值，区分为两大类:

一类叫离散型随机变量,其特征是只能取有限或可列个值.在例1的(1)和(2)中,随机变量为离散型随机变量．另一类是非离散型随机变量。在非离散型随机变量中，通常只关心连续型随机变量，它的全部可能取值不仅是无穷多的、不可列的，而是充满某个区间．在例1的（3），随机变量则为连续型随机变量．二、

离散型随机变量及其分布律

P{X=xi}=pi

（i=1,2,…）亦可用下面的概率分布表来表示Xx1x2…xn…pkp1p2…pn…则称之为离散型随机变量X的概率分布律或分布列（律）

定义

设离散型随机变量X所有可能的取值为

x1,x2,…,xn

,…X取各个值的概率，即事件{X=xi}的概率为二、

离散型随机变量及其分布律（1）非负性：pi≥0（i=1,2，…）（2）规范性：

课堂练习1

已知随机变量X的概率分布为：求常数a.解由概率分布的性质得得

15a=1,即分布律具有如下性质：X0123pk6白4红10球

解用X表示抽到的红球数，则X所有可能的取值为0，1，2，3。且取每一个值的概率分别为

课堂练习2

在一个袋子中有10个球，其中6个白球，4个红球。从中任取3个，求抽到红球数的概率分布。可表示为

例4

假设某篮球运动员投篮命中率为0.8，X表示他投篮一次命中的次数，求X的概率分布．

解用{X=1}表示“投篮一次命中”，{X=0}表示“投篮一次没命中”，则

P{X=1}=0.8,P{X=0}=1－P{X=1}=1－0.8=0.2.即X的概率分布为

X

01

P

0.20.8三、常见的离散型随机变量的分布

1.0-1分布

若随机变量X

只可能取0和1两个值，概率分布为

(0＜p＜1，p+q=1)

若Ω只有两个样本点，即Ω={ω1,ω2}，则可以定义具有0-1分布的随机变量：X=X(ω)=XP10p

q则称X

服从0-1分布（p为参数）,也称为两点分布.记作

X～B(1,p).其分布可表示为或特别当n=1时，二项分布为显然

2.二项分布即为0-1分布。

定义

如果随机变量X的概率分布为（k=0，1，2，…，n）

（0＜p＜1,q=1-p)则称X服从参数为n，p的二项分布。记作X~B(n,p).P{X≥2}=1—[P{X=0}+P{X=1}]（k=0，1，2，…，400）

解将每次射击看成是一次伯努利试验，X表示在400次射击中击的次数，则X~B(400,0.02)其分布律为

例5

某人进行射击，其命中率为0.02，独立射击400次，试求击中的次数大于等于2的概率。≈0.9972

小概率事件原理：某事件在一次试验中发生的可能性很小，但只要重复次数足够大，那么该事件的发生几乎是肯定的。

例6

甲、乙两名棋手约定进行10盘比赛，以赢的盘数较多者为胜.，假设每盘棋甲赢的概率都为0.6，乙赢的概率为0.4，且各盘比赛相互独立，问甲、乙获胜的概率各为多少？

解每一盘棋可看作一次伯努利试验.设X为10盘棋赛中甲赢的盘数，则X

～

B(10,0.6)，按约定，甲只要赢6盘或6盘以上即可获胜.所以P{甲获胜}=若乙获胜，则甲赢棋的盘数，即

练习

某厂需从外地购买12只集成电路.已知该型号集成电路的不合格率为0.1，问至少需要购买几只才能以99%的把握保证其中合格的集成电路不少于12只？

解设需要购买n只，用X表示这n只集成电路中合格品只数，则，按题意，要求事件“X≥12”的概率不小于0.99，即可算出至少需要购买17只集成电路，才能以99%的把握保证其中合格品不少于12只.

注意：事件“甲获胜”与“乙获胜”并不是互逆事件，因为两人还有输赢相当的可能．容易算出一本书的某一页中印刷符号错误的个数；某地区一天内邮递遗失的信件数等，这些随机变量都服从或近似服从泊松分布其中λ＞0是常数，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X~P(λ)查课本204页附表2泊松分布表，对于给定的λ，可查

3.泊松分布（k=0，1，2，…）

定义

如果随机变量X的概率分布为例7

在500个人组成的团体中，恰有5个人的生日是元旦的概率是多少？

解该团体中每个人的生日恰好是元旦的概率都是1/365，则该团体中生日为元旦的人数B(500,1/365)，恰有5个人的生日是元旦的概率为这里n值较大，直接计算比较麻烦.而在二项分布中，当n值较大，而p较小时，有一个很好的近似计算公式，这就是著名的泊松定理。设随机变量Xn(n=1，2，3…)服从二项分布B(n,pn),

从而n较大，pn较小时有其中pn与n有关。如果泊松（Poisson）定理:（k