山西省大同市兴乐中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析

山西省大同市兴乐中学2021-2022学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的部分图象如下图所示.则函数的解析式为

A．B．C．D．参考答案：D2.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是am（0＜a＜12）、4m，不考虑树的粗细．现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为S，若将这棵树围在花圃内，则函数S=f（a）（单位m2）的图象大致是(

)A． B． C． D．参考答案：C【考点】函数的图象与图象变化．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】为求矩形ABCD面积的最大值S，可先将其面积表达出来，又要注意P点在长方形ABCD内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论．【解答】解：设AD长为x，则CD长为16﹣x又因为要将P点围在矩形ABCD内，∴a≤x≤12则矩形ABCD的面积为x（16﹣x），当0＜a≤8时，当且仅当x=8时，S=64当8＜a＜12时，S=a（16﹣a）S=分段画出函数图形可得其形状与C接近故选C．【点评】解决本题的关键是将S的表达式求出来，结合自变量的取值范围，分类讨论后求出S的解析式．3.(2009山东卷理)某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(

).A.90

B.75

C.

60

D.45参考答案：A解析：产品净重小于100克的概率为(0.050+0.100)×2=0.300,已知样本中产品净重小于100克的个数是36,设样本容量为,则,所以,净重大于或等于98克并且小于104克的产品的概率为(0.100+0.150+0.125)×2=0.75,所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75=90.故选A.4.已知数列{an}为等差数列，若a12+a102≤25恒成立，则a1+3a7的取值范围为（）A．[﹣5，5] B．[﹣5，5] C．[﹣10，10] D．[﹣10，10]参考答案：D【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用等差数列的性质令a1=5cosθ，a10=5sinθ（0＜θ＜），则d=（sinθ﹣cosθ），问题转化为三角函数在定区间上求最值问题解决即可．【解答】解：由题意得，令a1=5cosθ，a10=5sinθ（0＜θ＜），则d=（sinθ﹣cosθ），∴a1+3a7=10（sinθ+cosθ）=10sin（θ+），∴a1+3a7的取值范围为[﹣10，10]，故选：D．【点评】本题主要考查了等差数列的性质，借助三角函数，通过等价转化思想达到解决问题的目的，要体会这种换元法的解题思路，属中档题．5.已知向量，的夹角为，且，||=2，在△ABC中，，D为BC边的中点，则=（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：A考点： 向量的模．专题： 计算题．分析： 利用D为BC边的中点，，再利用向量的模的定义求出向量的模．解答： 解：=，故选A．点评： 本题考查两个向量的加减法的法则，两个向量的数量积的定义，向量的模的定义，求向量的模的方法．6.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的解析式为A．

B．C．

D.参考答案：C由图象可知,,,即，所以，所以，，即，所以，即，又，所以，所以，选C.7.设.若当时，恒成立，则实数的取值范围是

A．

B.

C．

D.参考答案：D8.参考答案：A略9.双曲线的离心率的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C10.若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．参考答案：B考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得y=，显然定义域为R，且过点（0，1），当x＞0时，y=，是减函数，从而得出结论．解答：解：若变量x，y满足|x|﹣ln=0，则得y=，显然定义域为R，且过点（0，1），故排除C、D．再由当x＞0时，y=，是减函数，故排除A，故选B．点评：本题主要考查指数式与对数式的互化，指数函数的图象和性质的综合应用，以及函数的定义域、值域、单调性、函数图象过定点问题，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设全集设数列的各项均为正数，前项和为，对于任意的，成等差数列，设数列的前项和为，且，若对任意的实数（是自然对数的底）和任意正整数，总有．则的最小值为

.参考答案：2.根据题意，对于任意，总有成等差数列，则对于n∈N*，总有………………①；所以（n≥2）……②1

--②得；因为均为正数，所以（n≥2），所以数列是公差为1的等差数列，又n=1时，，解得，所以。对任意的实数，有0＜lnx＜1，对于任意正整数n，总有，所以又对任意的实数（是自然对数的底）和任意正整数，总有，所以的最小值为2.12.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，则?的值是．参考答案：22【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由=3，可得=+，=﹣，进而由AB=8，AD=5，=3，?=2，构造方程，进而可得答案．【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴?=（+）?（﹣）=||2﹣?﹣||2=25﹣?﹣12=2，故?=22，故答案为：22．【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到=+，=﹣，是解答的关键．13.已知，且，则的最小值为

.参考答案：分析：由题意首先求得a-3b的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.详解：由可知，且：，因为对于任意x，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.

14.在△ABC中，若b2=ac，∠B=，则∠A=．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】根据余弦定理求解出a，c的关系，即可判断角A的大小．【解答】解：由b2=ac，，根据余弦定理cosB=，可得a2+c2=2ac，即（a﹣c）2=0，∴a=c，由b2=ac，可得a=b=c．△ABC是等边三角形．∴A=故答案为：．15.设不等式组

所表示的平面区域为D.若圆C落在区域D中，则圆C的半径r的最大值为________．参考答案：116.已知集合，若则的值是-------------------

。参考答案：-117.若从点O所作的两条射线OM，ON上分别有点M1，M2与点N1，N2，则三角形面积之比为：．若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP，OQ和OR上分别有点P1，P2与点Q1，Q2和R1，R2，则类似的结论为： ．参考答案：=【考点】归纳推理．【分析】本题考查的知识点是类比推理，在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．由平面中，若从点O所作的两条射线OM，ON上分别有点M1，M2与点N1，N2，则三角形面积之比为：．（面的性质）我们可以类比在空间中相似的体的性质．【解答】解：根据类比推理的思路：由平面中面的性质，我们可以类比在空间中相似的体的性质，由若从点O所作的两条射线OM，ON上分别有点M1，M2与点N1，N2，则三角形面积之比为：．我们可以推断：若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP，OQ和OR上分别有点P1，P2与点Q1，Q2和R1，R2则：=故答案为：=三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.斜三棱柱，其中向量,三个向量之间的夹角均为，点M,N分别在上且，=4，如右图(1)把向量用向量表示出来，并求；(2)把向量用表示；(3)求与所成角的余弦值。参考答案：解：（1），所以，因为，所以(2),

(3),,,COS=即为AM与ON所成的角的余弦值。略19.已知A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的6个顶点，在顶点取自A，B，C，D，E，F的所有三角形中，随机（等可能）取一个三角形．设随机变量X为取出三角形的面积．（Ⅰ）求概率P（X=）；（Ⅱ）求数学期望E（X）．参考答案：考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）取出的三角形的面积是的三角形有6种情况，由此可得结论；（Ⅱ）确定X的取值，求出相应的概率，从而可求数学期望．解答：解：（Ⅰ）由题意得取出的三角形的面积是的概率P（X=）==．…（7分）（Ⅱ）随机变量X的分布列为XP所以E（X）=×+×+×=．…（14分）点评：本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识．20.（本小题满分12分）如图组合体中，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与、重合一个点.（1）求证:无论点如何运动,平面平面；（2）当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比．参考答案：（I）因为侧面是圆柱的的轴截面，是圆柱底面圆周上不与、重合一个点，所以

…2分又圆柱母线^平面，

ì平面，所以^，又，所以^平面，因为ì平面，所以平面平面；……………6分（II）设圆柱的底面半径为，母线长度为，当点是弧的中点时，三角形的面积为，三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，………10分圆柱的体积为，

四棱锥与圆柱的体积比为.………12分略21.在平面直角坐标系xOy中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆O：交于点A，B，与圆M：交于点C，D．（1）若，求CD的长；（2）若CD中点为E，求面积的取值范围．参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）先由AB的长度求出圆心O到直线AB的距离，列方程求出直线AB的斜率，从而得到直线CD的斜率，写出直线CD的方程，用垂径定理求CD得长度；（2）△ABE的面积，先考虑直线AB、CD平行于坐标轴的情况，不平行时先由垂径定理求出AB，再在△PME中用勾股定理求出PE，将面积S表示成直线AB斜率k的函数式，再求其范围.【详解】解：（1）因为AB＝，圆O半径为2所以点O到直线AB的距离为显然AB、CD都不平行于坐标轴可设AB：，即则点O到直线AB的距离，解得因为AB⊥CD，所以所以CD：，即点M（2,1）到直线CD的距离所以（2）当AB⊥x轴，CD∥x轴时，此时AB=4，点E与点M重合，PM=2，所以△ABE的面积S=4当AB∥x轴，CD⊥x轴时，显然不存在，舍当AB与CD都不平行于坐标轴时由（1）知因为，所以因为点E是CD中点，所以ME⊥CD，所以所以△ABE的面积记，则则综上所述：【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理求弦长，三角形面积的最值，在设直线方程时一定要先考虑斜率可能不存在的情况.22.（14分）已知椭圆E长轴的一个端点是抛物线y2=12x的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若A、B是椭圆E的左右端点，O为原点，P是椭圆E上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，问是否为定值，说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】向量与圆锥曲线．【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，得到椭圆的长