新浙教版3.3方差和标准差

问题情景

老师要选拔A、B两人数学竞赛，观察近期的五次数学测试成绩如下表所示．谁的成绩较为稳定？为什么？能通过计算回答吗?测试次数第一次第二次第三次第四次第五次A7080808090B100601006080我们把这两位同学的成绩画出折线统计图如下，通过计算发现，两个同学数学成绩的平均数均为80，那它们有没有什么差异呢？由图中可以看出，

A同学的数学成绩没有B同学的稳定.我们班现要挑选他们中的其中一名参加校运动会，你认为挑选哪一位比较适宜？01220345406080100成绩（分）测试次数A

B运用画图的方法对两组数据进行比较,操作简单方便,形象直观，但当两组数据的集中程度差异不大或样本数据较大时，画图就显得相当麻烦，且不容易得出结论。考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是方差和标准差。

3.3方差和标准差

设一组数据x1、x2、…、xn中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1－x)2、(x2－x)2

、…(xn－x)2

，那么我们用它们的平均数，即用来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差.在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.S2=[(x1－x)2＋(x2－x)2

＋…＋(xn－x)2

]1n注意建构数学

方差用来衡量一批数据的波动大小，也就是这组数据的离散程度....例:

为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出10株苗，测得苗高如下(单位:cm):甲:12131415101613111511乙:111617141319681016问哪种小麦长得比较整齐?思考：求数据方差的一般步骤是什么？1、求数据的平均数；2、利用方差公式求方差。S2=[(x1-x)2+(x2-x)2++(xn-x)2]数学运用

例：为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽出10株苗，测得苗高如下（单位：cm）：甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11；乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16；问：哪种小麦长得比较整齐？X甲＝（cm）X乙＝（cm）

S2甲＝（cm2）S2乙＝（cm2）

因为S2甲<S2乙，所以甲种小麦长得比较整齐。

解:数学运用

(1)数据1m、2m、3m、4m、5m的方差是_____（2）A组：11kg、12kg、13kg、14kg、15kg方差是_____B组：3cm、6cm、9cm、12cm、15cm方差是_______2(kg)22m29(cm)2S2=[(x1－x)2＋(x2－x)2

＋…＋(xn－x)2

]1nS=[(x1-x)2+(x2-x)2++(xn-x)2]标准差也是反映数据的离散程度，同样可以刻画数据的稳定程度．方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大.

注意：一般来说，一组数据的方差或标准差越小，这组数据离散程度越小，这组数据越稳定。因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差．即特殊的：如果方差与标准差为零，说明数据都没有偏差，即每个数都一样。(1)某样本的方差是9，则标准差是______3(2)一个样本的方差是则这个样本中的数据个数是____，平均数是____1008（3）计算下列这一组数据的标准差：

-1，2，0，-3，-2，3，0，13.51、（2010广州）老师对甲、乙两人的五次数学测验成绩进行统计，得出两人五次测验成绩的平均分均为90分，方差分别是＝51、＝12．则成绩比较稳定的是______

（填“甲”、“乙”中的一个）．2、（2010南京）甲、乙两人5次射击命中的环数如下：甲798610，乙78988，则这两人5次射击命中的环数的平均数，方差

。（填“>”“<”或“=”）

乙>走近中考3、（2010浙江绍兴）甲、乙、丙、丁四位选手各10次射击成绩的平均数和方差如下表：选手甲乙丙丁平均数(环)9.29.29.29.2方差(环2)0.0350.0150.0250.027则这四人中成绩发挥最稳定的是()A.甲

B.乙

C.丙

D.丁乙第4题4．（2010福建南平）如图是甲、乙两位同学某学期的四次数学考试成绩的折线统计图，则这四次数学考试成绩中()A．乙成绩比甲成绩稳定

B．甲成绩比乙成绩稳定C．甲、乙两成绩一样稳定

D．不能比较两人成绩的稳定性A思维拓展已知三组数据1、2、3、4、5；11、12、13、14、15和3、6、9、12、15。1、求这三组数据的平均数、方差和标准差。2、对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？平均数方差标准差1、2、3、4、511、12、13、14、153、6、9、12、15322132223918请你用发现的结论来解决以下的问题：已知数据a1，a2，a3，…，an的平均数为x，方差为y。则①数据a1+3，a2+

3，a3+3

，…，an+3的平均数为--------，方差为-------

标准差为----------。②数据a1-3，a2-3，a3-3

，…，an-3的平均数为

----------，方差为--------

标准差为----------。③数据3a1，3a2，3a3，…，3an的平均数为-----------，方差为-----------

标准差为----------。④数据2a1-3，2a2-3，2a3-3

，…，2an-3的平均数为----------

方差为---------，标准差为----------。能力提高x+3yx-3y3x9y2x-36y1、为了描述随机变量的取值在其数学期望周围的分散程度，即反映一组数据离散程度的指标，我们学习了随机变量的另外一个特征数——方差2、因为方差的单位是随机变量的单位的平方，故在实用上有时不方便，此时可改用其算术平方根——标准差小结：3.方差:各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这批数据的方差.

4.方差：用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小).在样本容量相同的情况下,方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定.5.标准差:方差的算术平方根叫做标准差.S2=[(x1-x)2+(x2-x)2++(xn-x)2]S=[(x1-x)2+(x2-x)2+