应用弹塑性力学ch5-part1-简单的弹塑性力学问题

Ch5简单的弹塑性力学问题

part-15.1简单桁架的弹塑性分析(b)如图所示为三杆对称桁架,假定材料是理想弹塑性的.设桁架所受的铅垂力为F作用.各杆截面积均为A,中间杆2的长度为.若用分别表示杆1、杆2和杆3的内力，求出各杆的应力和应变。由静力平衡，得各杆的应力为（5.1)式（5.13)代人（5.12）得(5.2)若以分别表示杠1、2、3的伸长，则在小变形情况下，有式中：表示节点A的位移。各杆中的应变为(5.3)因此，有变形协调关系(5.4)几何关系1、弹性阶段——弹性解和弹性极限荷载当荷载P足够小时，各杆应力都小于屈服应力，整个桁架处于弹性阶段。由虎克定律有(5.5)联立式(5.2)、(5.3)和(5.5)并求解，得(5.6)由式(5.6)可见，当P增加时，杆2将首先屈服。显然，当时，桁架开始初始屈服，由式（5.6)可求得桁架初始屈服时对应的荷载值

称为弹性极限载荷，它是桁架采用弹性理论设计时所能承受的最大载荷。(5.7)应用的表达式,可以将(5.6)改写成(5.8)弹性解弹性解代入本构关系(5.5),得(5.9)再把式(5.9)代入几何关系(5.3),得节点A的位移为(5.10)令式(5.10),可得节A的位移为(5.11)弹性极限位移2.弹塑性阶段——弹塑性解和塑性极限荷载当杆2发生初始屈服时，由于其他两杆尚未屈服，可继续加载。当时，这时桁架进入弹塑性阶段。由于材料为理想弹塑性，杆2的应力不能提高（变形可以增加），即有将式(5.12)代入平衡关系（5.2),得(5.12)(5.13)桁架的塑性变形当杠2屈服时，处于所谓的塑性流动阶段，对单独的2杆理论上可以发生任意伸长，但由于在节点A处受到其他两根弹性杆的约束而不能任意伸长，此时桁架称为有约束塑性变形阶段。为求出杆2的应变和节点A处的位移，必须先用弹性关系求出杆1和3的应变。将式（5.12)代入本构关系，得(5.14)

再将式（5.14)代入变形协调关系（5.4),得(5.15)(5.15)代入几何关系式（5.3),得到节点A的位移为(5.28)在杆2屈服后，随着荷载F的进一步增加，由于杆2中的应力不能再增加，增加的荷载由杆1和杆3分担。当时桁架的三根杆全部进入塑性流动状态。由式(5.13)有(5.17)式中：称为塑性极限荷载，相应的状态称为塑性极限状态。由于此时三杆均已屈服，变形不再受到任何约束，桁架进入无限制塑性变形阶段，结构丧失承载能力，所以，又表示桁架的极限承载能力。从式(5.17)可以发现，与材料的弹性模量无关，这表明，如果采用理想刚塑性模型，则求出的塑性极限荷载仍一样。这为结构的极限分析带来方便。将式（5.17)代入式(5.16)，可得到桁架刚刚进入塑性极限状态时节点A的位移。（5.18)式中：称为塑性极限位移将式（5.7)和式(5.11)表示的弹性极限载荷和弹性极限位移与式（5.17)和式（5.18)表示的塑性极限载荷和塑性极限位移比较，得:(5.19)由（5.19)可见：这些数据说明，桁架的塑性极限荷载总比弹性极限荷载大，而塑性极限变形与弹性极限变形在同一数量级。因此，采用塑性分析更能发挥结构的潜力，尤其当桁架的超静定次数更高时，将提高更多。弹性解弹性解弹性极限解弹塑性解3.卸载——残余应力和残余变形若荷载增加到值（）后卸载，由于卸载服从弹性规律，因此，如果在卸载过程中，桁架各杆不发生反向屈服，则我们可以假想在节点A施加一个大小与卸载时荷载的改变量相等的假想荷载，按弹性规律求得其引起的应力、应变和位移，然后将卸载前的应力、应变和位移与之相减，就得到卸载后的应力、应变和位移。设卸载时载荷变化量为，则由式(5.6)、式（5.8）和式(5.10)得(5.20)若将（5.21-1)式中：表示（5.21-1)确定的卸载前的应力量（式中的P用代替）。可见尽管外载荷已经完全卸除，但各杆中仍有应力，这种应力称为残余应力。

同理，可求得各杆中的残余应变(5.21-2)节点A的残余变形为(5.21-3)注：1）从式（5.21-1)和式（5.21-2)可以发现，杆1，3内残余应力为拉应力，杆2中残余应力为压应力，但各杆的残余应变均大于零。原因是它们要满足如下的平衡关系与变形协调关系：2）对于超静定结构，当卸去外载后，残余应变不等于塑性应变，它包含有弹性应变（如杆1的应变）。只有静定结构卸载后的应变是塑性应变。5.1.3加载路径对桁架变形的影响考虑上一节的三杆桁架，现设桁架同时受铅直力P和水平力Q的作用。我们将P和Q按不同的加载方案施加在桁架上，讨论当荷载的最终数值一样，但加载路径不同对桁架变形的影响。1.加载方案1：比例加载在整个加载过程中，保持单调增加，直到桁架到达塑性极限状态，这种加载路径属于比例加载。l=hPQ桁架平衡关系为(5.27)这里取若以u,v分别表示节点A的水平和垂直位移，则各杆的应变与节点位移之间有（几何关系）：(5.28)由式(5.28),得变形协调关系(5.29)当P从零开始增加，而整个桁架处于弹性阶段，弹性本构关系(5.5)仍成立。联立方程(5.27)、(5.28)与(5.5)求解，得三杆内的应力可见，其中最大，是压应力。当时，杆1发生屈服，此时对应的荷载、应力和位移为(5.31)其中当P继续增加时,杆1保持不变,即杆2和杆3仍处于弹性状态。由平衡关系的增量形式，可解得杆2和杆3的应力增量(5.31)将它们代入本构关系（5.17)，得到杆2和杆3的弹性应变增量(5.43)利用变形协调关系(5.40)，进一步可得到杆1的塑性应变增量(5.44)将式(5.43)和式(5.44)代入几何关系(5.39)，求得节点A的位移增量为杆2和杆3的应力增量与式(5.41)的应力值相加，得(5.45)从上式可以发现，当表明此时整个桁架达到塑性极限状态。最终的荷载、应力和节点位移为2.加载方案2:非比例加载第二种加载路径是:先只加P使桁架达到极限荷载然后保持节点竖直位移不变,从零开始增加Q直到(5.46)当时,对应的各杆内的应力和节点位移为现保持v不变,也即,施加Q,则,由几何关系得到可见,此时杆1和杆3仍保持塑性状态,而杆2卸载,因而有(5.47)将上式代入平衡关系的增量形式,求得此时各杆内的应力为从上式可以看出,当