山西省吕梁市东会中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析

山西省吕梁市东会中学2022-2023学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从集合中任取3个元素组成一个集合，记中所有元素之和被3除余数为的概率为，则的大小关系为

（

）

参考答案：B略2.已知如图所示的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P、Q分别在棱BB1、DD1上，且=，过点A、P、Q作截面截去该正方体的含点A1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（）参考答案：A当P、B1重合时，主视图为选项B；当P到B点的距离比B1近时，主视图为选项C；当P到B点的距离比B1远时，主视图为选项D，因此答案为A.考点：组合体的三视图3.将函数y=3sin（x-θ）的图象F按向量（，3）平移得到图象F′,若F′的一条对称轴是直线x=,则θ的一个可能取值是A.

B.

C.

D.参考答案：【标准答案】Ａ【试题解析】依题意可得图象的解析式为,当对称，根据选项可知A正确。【高考考点】图象的平移和三角函数中对称与最值。【易错提醒】将图象平移错了。【备考提示】函数图象的平移是考生应掌握的知识点。4.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，绘制该四面体三视图时,按照如下图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（

）参考答案：B满足条件的四面体如左图，依题意投影到平面为正投影，所以左（侧）视方向如图所示，所以得到左视图效果如右图，故答案选B．5.若，则是的（

）A．既不充分也不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．充分不必要条件参考答案：D考点：逻辑命题6.已知集合A={x∈R|f（x）=log2（x﹣2）}，B={y∈R|y=log2（x﹣2）}，则A∩B=（）A．（0，2） B．（0，2] C．[2，+∞） D．（2，+∞）参考答案：D【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，结合交集的定义进行计算即可．【解答】解：A={x∈R|f（x）=log2（x﹣2）}={x|x﹣2＞0}={x|x＞2}，B={y∈R|y=log2（x﹣2）}=（﹣∞，+∞），则A∩B={x|x＞2}，故选：D7.已知，那么的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.若集合，，则的一个充分不必要条件是（

）A． B．

C．

D．参考答案：D9.执行如图的程序框图，则输出的值为A.2016

B.2

C.

D.参考答案：B10.函数的图像大致是参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my﹣4=0相交于M、N两点，且点M、N关于直线x+y=0对称，则不等式组所表示的平面区域的面积为．参考答案：【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】由M与N关于x+y=0对称得到直线y=kx+1与x+y=0垂直，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，得到k的值；设出M与N的坐标，然后联立y=x+1与圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理得到两横坐标之和的关于m的关系式，再根据MN的中点在x+y=0上得到两横坐标之和等于﹣1，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，把k的值和m的值代入不等式组，在数轴上画出相应的平面区域，求出面积即可．【解答】解：∵M、N两点，关于直线x+y=0对称，∴k=1，又圆心在直线x+y=0上∴∴m=﹣1∴原不等式组变为作出不等式组表示的平面区域，△AOB为不等式所表示的平面区域，联立解得B（﹣，），A（﹣1，0），所以S△AOB=×|﹣1|×|﹣|=．故答案为：．12.给出下列命题：①是幂函数②函数的零点有个③展开式的项数是6项④函数图象与轴围成的图形的面积是⑤若，且，则其中真命题的序号是

（写出所有正确命题的编号）.参考答案：⑤略13.下列说法： ①“”的否定是“”； ②若正数满足，则的最小值为； ③命题“函数处有极值，则”的否命题是真命题； ④上的奇函数，时的解析式是，则时的解析式为 其中正确的说法是

______________参考答案：④略14.若不等式对一切非零实数均成立,记实数的取值范围为.已知集合，集合，则集合

.参考答案：略15.曲线在点处的切线方程为_____________.参考答案：略16.设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有三个不同实根，则实数的取值范围是

.参考答案：17.关于函数f（x）=cosxsin2x，下列说法中正确的是①y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称；②y=f（x）的图象关于直线对称③y=f（x）的最大值是；

④f（x）即是奇函数，又是周期函数．参考答案：①②④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①根据中心对称的定义，验证f（2π﹣x）+f（x）=0是否成立即可判断其正误；②根据轴对称的条件，验证f（π﹣x）=f（x）成立与否即可判断其正误；③可将函数解析式换为f（x）=2sinx﹣2sin3x，再换元为y=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，利用导数求出函数在区间上的最值即可判断正误；④利用奇函数的定义与周期函数的定义直接证明．【解答】解：①∵f（2π﹣x）+f（x）=cos（2π﹣x）sin2（2π﹣x）+cosxsin2x=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0，∴y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称，∴①正确；②∵f（π﹣x）=cos（π﹣x）sin2（π﹣x）=cosxsin2x=f（x），∴y=f（x）的图象关于x=对称，故②正确；③f（x）=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx（1﹣sin2x）=2sinx﹣2sin3x，令t=sinx∈[﹣1，1]，则y=g（t）=2t﹣2t3，t∈[﹣1，1]，则y′=2﹣6t2，令y′＞0解得，故y=2t﹣2t3，在[]上递增，在[﹣1，]和[]上递减，又g（﹣1）=0，g（）=，故函数的最大值为，∴③错误；④∵f（﹣x）+f（x）=+cosxsin2x+cosxsin2x=0，故是奇函数，又f（x+2π）=cos（2π+x）sin2（2π+x）=cosxsin2x，故2π是函数的周期，∴函数即是奇函数，又是周期函数，∴④正确．综上知，说法中正确的是①②④．故答案为：①②④．【点评】本题考查与函数有关的性质的判断，要求熟练掌握中心对称，轴对称性成立的条件，利用导数求函数在闭区间上的最值，函数奇偶性与周期性的判定，涉及到的知识较多，综合性强．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.平面曲线C上的点到点(0,1）的距离等于它到直线的距离。（1）求曲线C的方程；（2）点P在直线上，过点P作曲线C的切线PA、PB，A、B分别为切点，求证：A、B、F三点共线；（3）若直线PF交曲线C于D、E两点，设求证为定值，并求这个定值。参考答案：(1)

（3分）证明：（2）设由，得上述切线方程的化简方程为在这两条切线上

(7分)（3）设由

由题意直线PF的斜率的存在，故PF的方程为故为定值，定值为0。（12分）19.（1）已知实数a，b，c满足a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值；（2）已知正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：．参考答案：【考点】基本不等式．【分析】（1）根据柯西不等式即可得出3（a2+b2+c2）≥1，并且可确定a=b=c=时取等号，这便求出了a2+b2+c2的最小值；（2）左边展开由不等式即可得出左边，然后可构造函数（），通过求导判断单调性，从而求出该函数的最小值，进而得出，从而该题得证．【解答】解：（1）由柯西不等式，（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=1，当且仅当时等号成立；∴a2+b2+c2的最小值为；（2）证明：左边=≥=，构造函数，则：，函数f（x）在上单调递减，最小值为=；∴的最小值为；∴．20.如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1⊥底面ABCD，E为B1D的中点．（Ⅰ）证明：平面ACE⊥平面ABCD；（Ⅱ）若AA1=AB=1，点C到平面AED的距离为，求三棱锥C﹣AED的体积．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接BD，设AC与BD的交点为F，连接EF，由三角形中位线定理可得EF∥BB1，进一步得到EF⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定可得平面ACE⊥平面ABCD；（Ⅱ）连接AB1，C1D，CD1，设C1D交CD1于点G，由题意知四边形CDD1C1为正方形，求得，结合点C到平面AED的距离为，可得CD1⊥平面ADE，则CD1⊥AD，再由AD⊥DD1，可得AD⊥平面CDD1C1，即AD⊥CD，从而得到菱形ABCD为正方形，然后利用等积法求得三棱锥C﹣AED的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接BD，设AC与BD的交点为F，连接EF，∵E为B1D中点，F为BD中点，∴EF∥BB1，则EF⊥平面ABCD，又∵EF?平面ACE，∴平面ACE⊥平面ABCD；（Ⅱ）连接AB1，C1D，CD1，设C1D交CD1于点G，由题意知四边形CDD1C1为正方形，且CD=AB=1，得，又∵点C到平面AED的距离为，∴CD1⊥平面ADE，则CD1⊥AD，又∵AD⊥DD1，∴AD⊥平面CDD1C1，∴AD⊥CD，∴菱形ABCD为正方形，由于E到平面ABCD的距离为，∴．21.已知等差数列{an}满足an＞1，其前n项和Sn满足6Sn=an2+3an+2 （1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn； （2）设数列{bn}满足bn=，且其前n项和为Tn，证明：≤Tn＜． 参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（1）当n=1、2时，解得a1．a2，利用公差d=a2﹣a1=3．可得an=a1+（n﹣1）d=3n﹣1． （2）由（1）可得an=3n﹣1．利用“裂项求和”即可得出数列{bn}的前n项和Tn． 【解答】解：（1）∵6Sn=an2+3an+2，∴6a1=a12+3a1+2，

解得a1=1或a1=2．∵an＞1，∴a1=2． 当n=2时，6S2=a22+3a2+2，即6（2+a2）=a22+3a2+2，解得a2=5或a2=﹣2（舍）． ∴等差数列{an}的公差d=a2﹣a1=3． ∴an=a1+（n﹣1）d=3n﹣1． 前n项和Sn=． （2）， 前n项和为Tn=b1+b2+b3+…+bn= = ∵bn＞0，∴，∴≤Tn＜． 【点评】本题考查了递推式的应用、等差数列的定义与通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22.（本小题满分分）

如图，在多面体中，△是等边三角形，△是等腰直角三角形，

，平面平面，平面，点为的中点，

连接.

(Ⅰ)求证：∥平面；

(Ⅱ)若，求三棱锥的体积.参考答案：(Ⅰ)证明：∵△是等腰直角三角形，，点为的中点，

∴.

………1分

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面.………………2分

∵平面,

∴∥.………3分

∵平面,平面,

∴∥平面.………………4分(Ⅱ)解法1：由(Ⅰ)知∥平面,

∴点到平面的距离等于点到平面的距离.

…5分

过作，垂足为点，

∵平面,平面,

∴.

………6分

∵平面,平面,，

∴平面.

………7分

∵，△是等边三角形，

∴，，.………………9分

∴

………10分