【课件】等比数列的前n项和公式（第二课时）课件-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章

数列4.3.2等比数列的前n项和公式第二课时一二三学习目标能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题

学习目标新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用例10如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E,F,G,H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I,J,K,L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去.(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和;(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少?分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列.解:设各个正方形的面积组成数列{an}，正方形ABCD的面积为首项a1,

则a1=254新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用1.一个乒乓球从1m高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的0.61倍.(1)当它第6次着地时，经过的总路程是多少(精确到1cm)?(2)至少在第几次着地后，它经过的总路程能达到400cm?课本P40新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用例11

去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨).分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列,而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列

.因此,可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.解:

设从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列{an}，每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列{bn}，n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位:万吨)，则新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用

=

20

(

1.05+1.052+…+1.05n

)

-(

7.5+9+…+6+1.5n

)常用数列求和方法之分组求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；(2)

将等差数列和等比数列分开：Tn＝c1

+c2+…+cn

＝(a1

+a2+…+an

)±(b1

+b2+…+bn

)(3)利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.解：变式：例题小结例12某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧.(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系;(2)将(1)中的递推公式表示成cn+1－k=r(cn－k)的形式，其中k，r为常数;(3)求S10=c1＋c2＋c3＋‧‧‧＋c10的值(精确到1).新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用分析:(1)可以利用每年存栏数的增长率为8%和每年年底卖出100头建立cn+1与cn的关系；(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式,通过比较系数,得到方程组；(3)利用(2)的结论可得出解答.例12某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧.(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系;(2)将(1)中的递推公式表示成cn+1－k=r(cn－k)的形式，其中k，r为常数;(3)求S10=c1＋c2＋c3＋‧‧‧＋c10的值(精确到1).新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用例12某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧.(1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系;(2)将(1)中的递推公式表示成cn+1－k=r(cn－k)的形式，其中k，r为常数;(3)求S10=c1＋c2＋c3＋‧‧‧＋c10的值(精确到1).新知探究一：等比数列的前n项和公式的实际应用12课本P40新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质思考：你能发现等比数列前n项和公式Sn＝

(q≠1)的函数特征吗？➱➱当q≠1时，即Sn是n的指数型函数.当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.【例】

数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式,并判断{an}是否是等比数列.解:当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1，不满足上式.由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，所以a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列.思考：还有其他方法判断{an}是否是等比数列吗？新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质探究点三

等比数列的判断及其前n项和的函数特征精讲精练

B

思考：若{an}是公比为q的等比数列，S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶,S奇之间有什么关系？(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则S奇＝a1＋a3＋…

＋a2n-1＋a2n+1＝a1＋(a3＋…a2n-1＋a2n+1)＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)＝a1＋qS偶S奇＝a1＋qS偶S偶＝a2＋a4＋…＋a2nS奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1S偶＝a2＋a4＋…＋a2n➱⇔S偶＝qS奇⇔➱新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质【例】

已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，求公比q.解：由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80∴S奇＝－80，S偶＝－160，新知探究二：等比数列的前n项和公式的性质

D

1、等比数列前n项和公式，对于公比未知的等比数列，应用等比数列的前n项和公式时，需讨论公比是否为1；

3、数