2020年北京市海淀区高考数学一模试卷(附答案详解)

𝜋𝑛𝜋𝑛

2020年北京市海区高考数学一试卷在复平面内，复对的点位于)

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限

已知集，𝐵，集合可是

B.

C.

D.

已知双曲线

𝑦𝑏

22

𝑏的离心率，则的值

B.

C.

D.

已知实，在轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是

𝑏

B.

𝑏

C.

𝑏

D.

𝑏|

在

6

的展开式中，常数项)

B.

C.

−160

D.

如图为的与线相切于点沿直滚滚动到圆时圆与相于运到段的度点到直线的距离为

B.

C.

D.

已知函与函数的象关于𝑦轴称．在间内调递减，则的值范围为

B.

C.

D.

某四棱锥的三视图如图所示棱锥中最长棱的棱长为B.C.D.

√√

若数列满，则𝑛

”是“

为等比数列”的第1页，共页

𝑛355𝑛355在边上C.

充分而不必要条件充分必要条件

B.D.

必要而不充分条件既不充分也不必要条件形2𝑛𝑛是负整数的数称为费马数数家马根

，4

都是质数提出了猜想：费马数都是质数．多年之后，数学家欧拉计算不质数，那的位数是参考数据

B.

C.

D.

已点在物线

上则抛物的准线方．在差数列}中，，，数的前项和为．𝑛5𝑛已非零向量，满|，则𝑏)𝑏．在中

𝜋𝜋43

；的面积为．如，在等边三中动从点出，着此三角形三边逆时针运动回到点记运动的路程点到此三角形中心距离的平方，给出下列三个结论：函的大为；函的象对称轴方程；关的程最有个数根．其中，所有正确结论的序号_____如，在三棱柱

中，平面，，点为Ⅰ求：平；Ⅱ求面的小．

的中点．第2页，共页

,,已函

𝑖Ⅰ求值；Ⅱ从，；，这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数在

𝜋𝜋

上的最小值，并直接写出函数的个周期．科创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素是推动经济实现高质发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．如图是某公司到年年发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比图是当年研发投入的数值单：十亿．Ⅰ从年年随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过的率；Ⅱ从年年随机选取两个年份，示其中研发投入超亿元第3页，共页

22的年份的个数，的分布列和学期望；22Ⅲ根图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．已函

．Ⅰ当时求线在点的切线方程；求数的小值；Ⅱ求：时曲与有且只有一个交点．已椭圆：𝑏的离心率为，22

，，，

的面积为．Ⅰ求圆的程；Ⅱ设是上点，且不与顶点重合，若直与线交点，线与线交点.证eq\o\ac(△,)等腰三角形．第4页，共页

𝑛1𝑛𝑛1𝑛𝑛𝑛已数{是由正整数组成的无穷数列若在常数𝑛

，使

2𝑛

𝑛

对任意𝑛∈

成立，则称数列

具有性．Ⅰ分判断下列数{是具有性质；直接写出结论𝑛；𝑛𝑛𝑛

．Ⅱ若列满足𝑛，求证：“数列具有性质”𝑛𝑛𝑛是“数

为常数列”的充分必要条件；Ⅲ已数{中，𝑛若数列具有性质，𝑛𝑛+1𝑛𝑛求数列

的项公式．第5页，共页

可得答案和解析可得1.【答案】【解析】【分析】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．首先进行复数的乘法运算到数的代数形式的标准形式根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：复数𝑖

𝑖，复对应的点的标，这个点在第一象限，故选．2.【答案】【解析】解：，，集以是．故选：．根据，𝐵，可得出集合可能的情况．本题考查了描述法举法的定义集的定义及运算查计算能力于基础题．3.【答案】【解析】解：双曲

𝑦𝑏

22

𝑏的离心率为，

，得，故选：．利用双曲线的离心率公式，列出方程，求𝑏可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．第6页，共页

，，𝑘【解析】解：法根据数轴可且，对于因为所则即，A错；对于：因|，

22

，所

2

则

2

，故B错；对于：为，以，，C错；对于因为且，以|，故D正，法不妨，，，则故A错误

2

误；，故误；故选：法：据数轴得且|，结合不等式基本性质逐一进行判断即可；法：特值法带入验证即可．本题考查不等式的相关应用，考查合情推理，属于中档题．5.【答案】【解析】解：由题意得：

𝑘

2𝑘

，令𝑘得，故常数项为

3．故选：．先求出通项，然后令的指数为零即可．本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题．6.【答案】第7页，共页

33【解析】解：根据条件可知圆周=33

24

，故可得位置如图：，eq\o\ac(△,)𝐴是腰直角三角形，则到′的离，故选：．根据条件可得圆旋转了个作可得eq\o\ac(△,)𝐴′是腰直角三角形进而可求到4′的离．本题考查点到直线的距离，考查圆旋转的长度求法，数中档题．7.【答案】【解析解根题意，函|与数的象关于轴称若在区间内调递减，则(在区上递增，而({

，在区上增函数，则有，即的值范围为；故选：根据题意，分析可在间上递，写成分段函数的形式，分析可得(在区上增函数，据此可的值范围．本题考查函数的单调性，涉及函数之间的对称性、不等式的解法，属于基础题．8.【答案】【解析】解：根据几何体的三视可得直观图为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以最长的棱长

2．故选：．首先把三视图转换为直观图步求出最大棱长．第8页，共页

553232lg2本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，主要考查学生的运算能力和553232lg29.【答案】【解析】解：“，，

”，取，

，{为比数列，充分性成立．若

为比数列则

⋅

只时能成立，必要性不成立．数{满，“，

，

”是“

为等比数列”的充分不必要条件．故选：．利用等比数列的定义、通项公式即可判断出结论．本题考查了等差数列的通项公式，充分必要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【案【解析】【分析】本题考查指对数运算，考查学生阅读理解能力．根据所给定义表示出

，进而即可判断出其位数．【解答】解：根据题意，

=2

532

，因为

，以5

的位数．故选：．【案【解析】解：把点代抛线方程有，，抛线的准线方

．第9页，共页

𝑛𝑛，22222𝑛𝑛，22222把点的标代入抛物线的方程可求，而准线方程

2

，从而得解．本题考查抛物线的方程、准线方程等，考查学生的运算能力，属于基础题．【案【解析】解：设等差数列

的差，，2525，得．则数列

的前项和

2

2．故答案为：．利用等差数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【案【解析】解：因为非零向量

满足|2；2则

2

𝑏)

2

．故答案为：．把所给条件平方整理得到⋅

；代入数量积即可求解结论．2本题考查向量的数量积以及模长的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．【案2【解析】【分析】本题主要考查正弦定理以及三角形的面积，属于基础题目．先根据正弦定理求得，而得三角形的面积．第10页，共18页

，点在上𝐶所以：𝜋2𝜋，点在上𝐶所以：𝜋2𝜋解：如图：因为eq\o\ac(△,)中√，

𝜋2𝜋

，2，sinsin

√3×sinsin3

𝜋4

；

⋅𝐶sin=422sin22

2；故答案为：，．【案0【解析】解：由题可得函数{

2

,

，作出图象如图：

2

,则当点eq\o\ac(△,)𝐴顶重合时时取最大值正；又(，以函的称轴为，故正确；由图象可得数(图与的点个数最多个方最多有个根，故错误．故答案为：．写出函数解析式并作出图象，数形结合进行逐一分析．本题考查命题的真假性判断，涉及函数的应用、图象与性质，数形结合思想，逻辑推理能力，属于难题．第11页，共18页

,√，．，(,⋅𝜋16.答,√，．，(,⋅𝜋所以.eq\o\ac(△,)中，，，1，所以𝐶

．所以.因为，平面，所以

平．Ⅱ解由Ⅰ知，，，，如图，为点建立空间直角坐标𝑧．则，

．设平面的向为=(，则，⋅即

令则，𝑧，所以

．又因为平面的向量为，所以

．由题知二面为锐角所以其大小为【解析Ⅰ证明B.

利用直线与平面垂直的判断定理证

平面．Ⅱ以为原点建立空间直角坐标求平面的向量的向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大大小即可，本题考查二面角的平面角的求法线与平面垂直的判断定理的应用考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．【案】解：Ⅰ由函

，则

；Ⅱ选条，的一个周期𝜋；第12页，共18页

𝜋，所以,；,𝜋𝜋𝜋,，所以[；,,]时，𝜋，所以,；,𝜋𝜋𝜋,，所以[；,,]时，,,

2；4因为

𝜋𝜋𝜋𝜋7𝜋64所以𝑥

𝜋4

，所以；当

，即时，在4

𝜋𝜋6

取得最小值为．选择条，则(的个周期2𝜋；由(

𝑖24

；因为

𝜋𝜋6所以当，

𝜋𝜋𝜋6

取得最小值．【解析Ⅰ由数(的析式求的；Ⅱ选条时的个周期𝜋，利用三角恒等变换化(，求(在选择条时(的一个周期为𝜋，

𝜋𝜋6

的最小值．化简(，利用三角函数的性质求在

𝜋𝜋6

的最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化与运算能力，是基础题．【案】解：Ⅰ设事为年年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超，从年年共年其中研发投入占当年总营收的百分比超有年所以

．Ⅱ由表信息，从年年年有年发投入超过亿，所以的所有可能取值，，．第13页，共18页

252211𝐶𝐶252522252且252211𝐶𝐶252522252

𝐶𝐶10

；

55𝐶10

；2)

𝐶𝐶10

．所以的布列为：故的望

22．

5

22Ⅲ从个方面可以看出，该公式是比较重视研发的：一、从年至年每年的研发投入是逐年增加年外，且增加的幅度总体上逐渐加大；二、研发投入占营收的比例总体上也是逐渐增加的，虽年后些波动，但是总体占比还是较高的．【解析Ⅰ按古典概型概率计算公式计算即可；Ⅱ显这是一个超几何分布超几何分布的概率计算方法算随机变取，，时概率，然后画出分布列，即可求期望；Ⅲ结折线图从“每年的研发投入”“研发投入占营收比”的变化来分析即可．本题考查离散型随机变量的分布列、期望的求法，注意对题意的理解需到位、准确．同时考查学生的数学建模的素养，属于中档题．【案】解：Ⅰ当时，

，．所以．又，所以曲在处切线方程；令，，时随的变化如下

极小值

可知(

𝑚𝑛

，数的最小值．Ⅱ证：由题意可知令(

𝑥𝑛−1，则

，由Ⅰ中知

，故

，第14页，共18页

1120.2,2．2．2．,222因为1120.2,2．2．2．,222则

√⋅

，所以函在上单调递增，因为(

𝑒2，又因为(

𝑒，所以(有一的一个零点．即函数与有只有一个交点．【解析本考查导数的几何意义，利用导数研究函数的最值，函数的零点等问题，考查运算求解能力及推理论证能力，属于中档题．Ⅰ代入，求导，求出切线斜率及切点，利用点斜式方程即解；求函数函的调性情况，进而得出最值；Ⅱ即函仅一个零点，利用导数可知函在间上调递增，结合零点存在性定理即得证．𝑐【答案】解：Ⅰ由题{

𝑐

.解得{所以椭圆方程为4解

．证明：设直

方程且𝑘，线程由{解点

44

．由{2得44

4，则

2所以，42

−4𝑘4即

4242

1

−44+18𝑘−24𝑘+1

．于是直

的方程为

4

，线的程．第15页，共18页

4𝑘,．𝑃4𝑘−200由{0𝑃,解得点．000000000由{0,0000000𝑃00000000000000004𝑘,．𝑃4𝑘−200由{0𝑃,解得点．000000000由{0,0000000𝑃0000000000000000002200000000𝑃𝑃0000000000000020𝑎𝑎

解得点

4于是

，所以．设中点，点纵坐标2𝑘2𝑘．故中点在定直上从上边可以看出在的直平分线上，所，所eq\o\ac(△,)𝐵为等腰角形．解法证明：

,则4000000

．直线

方程

，直线

方为．0+4𝑦4直线

方程

，直线

方为0解得点(

．00

𝑦𝑥𝑦𝑦

−4)−(4𝑦

0．于是

，所以．

4

4(4+4)𝑦

4+4)0

．故中点在定直上从上边可以看出在的直平分线上，所，所eq\o\ac(△,)𝐵𝑃𝑄为腰三角形．【解析Ⅰ由题{

𝑐3

，求出，，可到椭圆方程．𝑎

𝑐

.解直方为𝑥𝑘0且直线方为过联立直线与椭圆方程组坐标坐出𝑃|可证eq\o\ac(△,)𝐵𝑃𝑄为等腰三角形．第16页，共18页

00𝑛𝑛𝑛+1𝑛𝑛𝑛𝑛+1𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛1𝑛𝑛𝑛1𝑛100𝑛𝑛𝑛+1𝑛𝑛𝑛𝑛+1𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛1𝑛𝑛𝑛1𝑛1𝑛𝑛𝑛𝑛+1𝑛𝑛+1𝑛+1𝑛

,𝑦则200000

直方程

，直线

方为通过联立直线与椭圆方程标推得eq\o\ac(△,)𝐵为腰三角形．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用圆方程的求法查转化思想以及计算能力，是难题．【案】解：Ⅰ数列

具有“性”数{不有“性”𝑛Ⅱ证：先证“充分性”：当数列

具“性”，有𝑛1𝑛

𝑛

，又因为

，所以

𝑛𝑛

0，𝑛1进而有𝑛结合有

𝑛+1𝑛

，即“数

为常数列”；再证“必要性”：若“数

为常数列”，则有

𝑛𝑛

，即“数

具有“性质”Ⅲ首证明：𝑛+1

．𝑛因为

具有“性质”所以

𝑛

𝑛

．当时．又因为𝑎,

，且

𝑛

𝑛1

，所以有

𝑛𝑛1

𝑛

进而有

𝑛

𝑛𝑛+1

𝑛+1

，所以

𝑛+1

)，𝑛结合,

可得：

．𝑛然后利用反证法证明

．𝑛假设数

中存在