2020年全国初中数学联合竞赛试题及详解

2020年全国初中数学联合竞赛试题及详解2020年国中学合赛题详第试月日午8:309:30)一选题本满42分，每题7分(题共有6小题题均给出了代号为,,C,的个答案中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号在题后的括号.每小题选对得分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内得分.).用的大整数

.已知

t

12

，是t的小数部分，b是的数部分，则

12ba

（）A.

12

.

32

.

D.

3.三种图书的单价分别为10元15元20元，某学校计划恰好用元买上述图书本，那么不同的购书方案

（）A.

种

.10

种

.

种

D.12

种3(A)如一个正整数可以示为两个连续奇数的立方差称这个正整数和数如：

23,2632和均“和谐数”那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为A6858B.68609260D.9262

（）3(B）.已二次函数

yax20)

的图象的顶点在第二象限，且过点

.当

为整数时，

（）A.

.

14

.

34

D..已知

O

的半径

OD

垂直于弦

AB

,交

AB

于点

C

，连接

并延长交

O

于点

E

,若ABCD,则BCE的积为（）A.

..16D.18.如图，在四边形

ABCD

中，

BACBDC

，

AC

,

,对线的交点为

M

则

DM

()A.

35.2.

D.

12.设实数

xyz满则Mxyyz

的最大值为()

2020年全国初中数学联合竞赛试题及详解A.

12..2

D.二填题本满分每题分本题有4个题要直将案在线..【1(A)、2（B已知

的顶点

A

、

在反比例函数

3

（

）的图象上，

ACB

0

,

ABC30

0

,x轴点在A的方，且6,则的坐标为.1(B).已

ABC

的最大边

BC

上的高线

AD

和中线

AM

恰好把

三等分，3

,则

AM

.2(A)在四边形中，∥AD,CA平分BCD,为对角线的交点，CDAO,OD,

则

ABC

.【3(A)】有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍这个六位数是.3(B)若数、满足：p0,则pq的最值为.将1、个2、个3个、5个共个填入一个行列的表格内（每格填入一个数得一列中何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，这和的最小值为

M

,则

M

的最大值为.第试(3月日上午9:50—)一题满分20分已知

b

为正整数，求

Ma22b

能取到的最小正整数.

2020年全国初中数学联合竞赛试题及详解二题分分(A).图，点

在以

AB

为直径的

O

上，

于点

D

,点

E

在

BD

上，

AE,四边形

DEFM

是正方形，

AM

的延长线与

O

交于点

.证明:

DE

.().知：

5,a2215,47.求

a

2abbca

的.

2020年全国初中数学联合竞赛试题及详解三题满分分(A).知正实数

xyz

满足：

yzzx

,且(xy2(2(x

.求

1zx

的值.证:

xyy)()

.().图，在等腰

中

ABAC

5,D

为

边上异于中点的点，点

关于直线AD

的对称点为点

E

,

EB

的延长线与

AD

的延长线交于点

F,

求

AD

的值.

2020年全国初中数学联合竞赛试题及详解2019年全初数联竞试及解第试月日午8:309:30)一选题本满42分，每题7分(题共有6小题题均给出了代号为,,C,的个答案中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号在题后的括号.每小题选对得分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内得分.).用的大整数

.已知

t

12

是t

的小数部分，b是的数部分，则

12ba

（）A.

12

.

32

.

D.

3【答案】

A

.【解析】

1t3,132,4,23

即

又

b

11131,b2(23)32

故选..三种图书的单价分别为元、15元20元某学校计划恰好用500元买上述书本那么不同的购书方案有

（）A.

种

.10

种

.

种

D.12

种【答案.【解析】设购买三种图书的数量分别为

y则10xz500

，即

y3100x

x，解得依意得，z10

x,

为自然数（非负整数故

10,

有

种可能的取值（分别为

,1,2,

,9,10)

，对于每一个

值，

y

和

都有唯一的值（自然数）相对应.即不同的购书方案共有种故选.3(A)如果个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差这正整数谐如：

23,2632和均“和谐数”那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为A6858B9260D.9262

（）

2020年全国初中数学联合竞赛试题及详解【答案.【解析】kk22

（其中

为非负整数

2(122

得，

k

,8,9

，即得所有不超过的和谐数们的和为

3)3)

3

)(19

3

)

3

故选.3(B）.已二次函数

y

2

bxa

的图象的顶点在第二象限，且过点

.当

为整数时

（）A.

.

1.44

D.【答案.【解析】依题意知

a

b2

0,a

故

0,

且

b

，a，于是11又为数a0,故,ab24

，故选..已

O的半径OD垂于弦交于，接AO并延长交O于,若

ABCD2

,则

的面积为（）A.【解析】设

..16D.18x,则OAxOD于C,CB

12

AB4,在

Rt

中，

2

AC

2

即

x2x

解得

x

OC

（第答案图）OCABE的中线BE

AE是的径，B11S故选A.BCE225如图，在四边形中BDC

，

AC

,CD,对角线的交点为

M

，则

DM

()A.

35.2

22020年全国初中数学联合竞赛试题及详解2.

D.

12（第5题案图）【答案D.【解析】过点

A

作

AHBD

于点

H,

则

AMH

～

AMCMD,CD

CDAMAH,设,则CM,CM

5在ABM中AB

2

AM

2

2

则AHBM

5x

5x2

5

显然

0

，化简整理得

2x0解得

52

,

（

x2

不符合题意，舍去5CM在中DMCM2

2

2

12

,故选D.设实数

x,y,满xy则Mxy

的最大值为)A.

12

.

23

.

34

D.【答案.【解析】xy(2x)xy)(1)2xyy2y

2

1xy2

12

2

2

12

2

12

2

2

12

12

12

2

34当且仅当

12

,y时M等号，故

34

，故选C二填题本满分每题分本题有4个题要直将案在线.

2232020年全国初中数学联合竞赛试题及详解223.【1(A)、2（B已知

的顶点

A

、

在反比例函数

3

（

）的图象上，

ACB

0

,

ABC30

0

,

x

轴，点

B

在点

A

的上方，且

AB

则点

的坐标为.3【答案】2

.【解析】如图，过点

作

AB

于点

D

.在

RtACB

中，

BCAB在

BCD

中，

CDBC

332

,

（第题案图）933B,ADBD,设CA22

，依题意知

nm

故

CD,AD

3m

，于是33

解得

m，故点的标为

.1(B).已ABC的最大边上的高线AD和中AM恰把BAC三分3

,则

AM

.【答案】【解析】

.（第题案图1）（第答案图）依题意得

BADDAM

0

,

故

(1若

ACB

时答图所示≌,BD

12

CM又AM平

DM1,在Rt中即cos,AC

0

,

从而

90

0

,

0

.

2020年全国初中数学联合竞赛试题及详解在

ADC中CDADDAC

3603,在

RtADM

中，

AM

DM2

.(2若

时，如答案图2示同理可得

AM

.综上所述，

AM

.2(A)在四边形

ABCD

中，

BC

∥

AD

,

CA

平分

,

O

为对角线的交点，CDAO,OD,

则

ABC

.【答案】.【解析】设

OCD

,

平分

BCD

,OCB

,

∥

AD

,OBCOCB

,(第2题案)OCDDAO

,ADCD

,

CD,AD

,AODOBC

,OC

,BCOD,OD,OCDODCOBCOCB180

180

解得

36,

，DBC72

CD,

1802

故

ABC126

【3(A)】有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍这个六位数是.【答案】.【解析】设两个三位数分别为

x,

，则

000

，①yxyxy

故

y

是

的正整数倍，不妨设

tx

（

t

为正整数代入①得

tx,x

1000t

,

是三位数，

1000t

，解得1000t,299

t

为正整数，t的能取值为,2,3.证可知，只有符，此时334.

故所求的六位数为

.3(B)若数p、满足：q0,则pq的大值为.

22020年全国初中数学联合竞赛试题及详解2【答案】.【解析

3qp得ppqq

2

qq

2,3因q为数，故pq的随着质数的大而增大，当且仅当q得最大值时，取最大值.又

111，3111,

34

，因q质数，故q的能取值为23,19,17,13,11,7,5,3,2

，但

时，

q65

不是质数，舍去当时,q53

恰为质数.故

q

max

19,(pq)

max

.将1、个2、个3个、5个共个填入一个行列的表格内（每格填入一个数得一列中何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，这和的最小值为M,则M的大值为.10.【答案】【解析】(依据1分的列数的不同情形进行讨确定

M

的最大值.(1)若布在同一列，则

M

；(2若51分布在两列中，则由题知这两列中出现的最大数至多为3故

故

M

;若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故330,;若1分布在至少四列中，则其中一列至少有一个数大于，这与已知矛.综上所述，

M另一方面，如下表的例子说明

M

可以取到.故

M

的最大值为

1122

第试(3月日上午9:50—)一题满分20分已知

b

为正整数，求

Ma22b

能取到的最小正整数.【解析】解：因为正整数，要使得

Ma

2

b

的值为正整数，则有

.当a2时b只为，此时故M能到的最小正整数不超过4当

时，

只能为或若

M

;若

2

，则

M

2020年全国初中数学联合竞赛试题及详解当

时

只能为1或或3.若

M

;若

2,24

;若

3,

则

M

(下面考虑：

Ma

22

b

的值能否为1？)（反证法）假设M，

22b即32

，a(3

2

2

①因为整数，故

2

为奇数，从而a为数，为偶数，不妨设

mn

，其中

均为正整数，则a(3a

2

)m

n)

m

2

m

2

2即

2

)被4除得余数为3

b)

被所得余数为1，故①式不可能成立，故M.因，M能到的最正整数值为2.二题分分(A).如图点

在以

AB

为直径的

O

上，

于点

D

,点

E

在

BD

上，AE,

四边形DEFM是方形，AM延长线与O交于点N.证明FNDE

.第2(A)答案)【证明接

、

BN

AB

为

O

的直径，

于点

DACBADC,ACBACB∽,,

由四边形

DEFM

是正方形及

AB

于点

D

可知:点

M

在

上，

DEDMEFNABDAM,ADM,∽,AD,ACAM

2

AMAE,

2

2020年全国初中数学联合竞赛试题及详解以点

为圆心FE

为半径作

F,

与直线

AM

交于另一点

P

,则

与

AB

切于点

E

,即是

的切线，直线AMP是的线，故由切割线理得

AE

AN

,即点

与点

P

重合，点

在

上，FN

.(注上述最后一段得证明用了“同一法)().知：

5,a

22

15,a

3

3

3

47.求

a

2abbca

的.【解析】由已知得

ab

12

)2a22)由恒等式

a

3

3

3

abc)(a

2

2

2

得，(15abc又

a2ab)()5(5)5(c同理可得

b222ca25(4)∴原式

(4)(4)125a4(abca)

[64625.【注恒等式

ttt))t2abbc)tabc

】三题满分分(A).知正实数

xyz

满足：

yzzx

,且(xy2(2(x

.求

1zx

的值.证:

xyy)()

.【解析）：由等式

(x2(22(yz

，去分母得

z(

22(y21((y(z2

，22yz22)(2)(2)xyz)xyz

2020年全国初中数学联合竞赛试题及详解xyzxy)xyxyyz))

，[y

，

z